預備知識：

1. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮小；

2. 收斂數(shù)列必有界；

3. 有限個無窮小的和還是無窮??；

4. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮?。?/p>

5. 對三角形ABC，D為BC中點，則有AD=（AB+AC）/2。

參考資料：

1. 《數(shù)學分析習題演練》（周民強 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習題集》（楊子胥 編）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析習題演練（周民強?編著）》）——

設lim an=a，則

a.lim（a1+a2+……+an）/n=a

b.lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a.

證明：

a.

1. 根據(jù)定義，lim an=a，即對任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N'，當n>N'，|an-a|<ε/2；

2. |（a1+a2+……+an）/n-a|

   =|（a1-a）+（a2-a）+……+（an-a）|/n

   <=|（a1-a）+（a2-a）+……+（aN'-a）|/n+|（aN'+1-a）+……+（an-a）|/n

   <=（|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|）/n+（n-N'）ε/2n；

3. 對數(shù)列{（|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|）/n}，存在N"，n>N"，（|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|）/n<ε/2，取N"=[（|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|）ε/2]+1即可；

4. 令N=max{N'，N"}，當n>N時，|（a1+a2+……+an）/n-a|<ε，證畢。

b.

1. lim?an=a，即對任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N'，當n>N'，|an-a|<ε/2；
   

2. 令an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮小，即n>N'，|ɑn|<ε/2

3. |（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）-a|

   =|[（a+ɑ1）+2（a+ɑ1）+……+n（a+ɑn）]/（1+2+……+n）-a|

   =|[（1+2+……+n）a+（ɑ1+2ɑ2+……+nɑn）]/（1+2+……+n）-a|

   =|a+（ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN'）/（1+2+……+n）+[（N'+1）ɑN'+1+……+nɑn]/（1+2+……+n）-a|

   =|（ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN'）/（1+2+……+n）+[（N'+1）ɑN'+1+……+nɑn]/（1+2+……+n）

4. 令ɑ'=max{|ɑ1|，|ɑ2|，……，|ɑN'|}，則（ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN'）/（1+2+……+n）<=（1+2+……+N'）ɑ'/（1+2+……+n）={[N'（1+N'）/2]/[n（1+n）/2]}ɑ'={[N'（1+N'）]/[n（1+n）]}ɑ'；

5. 由2：[（N'+1）ɑN'+1+……+nɑn]/（1+2+……+n）<[（N'+1）+……+n]ε/2（1+2+……+n）<ε/2；

6. 對數(shù)列{{[N'（1+N'）]/[n（1+n）]}ɑ'}，存在N"，當n>N"，{[N'（1+N'）]/[n（1+n）]}ɑ'2<ε/2，取N"=[[2N'ɑ'（1+N'）/ε+1/4]^（1/2）-1/2]+1即可；

7. 由4，5，6，當n>N=max{N'，N"}時，|（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）-a|<ε，證畢。

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

設A，B，C，D是一個四面體的頂點M，N分別是邊AB，CD的中點。試證MN=（AD+BC）/2

證明——

1. M為AB中點，則DM=（DA+DB）/2；

2. N為CD中點，則DN=DC/2；

3. MN

   =DN-DM

   =DC/2-（DA+DB）/2

   =（DC-DB+AD）/2

   =（AD+BC）/2.

   證畢。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習題集（楊子胥 編）》）——

設A，B為n階方陣.證明：如果A+B=AB，則A-E可逆，并求其逆方陣。

證：因為A+B=AB，則（A-E）（B-E）=AB-A-B+E=E，即，A-E可逆，且（A-E）^（-1）=B-E.

到這里！