前置知識(shí)：一元函數(shù)微積分

????????雙曲函數(shù)是一類很重要的初等函數(shù)，盡管重要性稍遜于三角函數(shù)，可在許多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際工程中都能見到它，其中最著名的莫過于懸鏈線問題了。雙曲(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)來定義

相應(yīng)的反函數(shù)為

????????先來看看雙曲函數(shù)的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)均可由定義出發(fā)得到，證明過程略去。

????????性質(zhì)1????復(fù)合關(guān)系

????????性質(zhì)2????平方恒等關(guān)系

據(jù)公式(4)中的第一個(gè)等式，我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)形式與雙曲線很相似。實(shí)際上，由此式可以說明，參數(shù)方程

恰可表示雙曲線

的右支(x≥a)。參數(shù)t的幾何意義是，由雙曲線上某點(diǎn)(x,y)到(a,0)這段曲邊、x軸、點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線圍成的曲邊三角形面積的2倍，稱之為雙曲角。雙曲函數(shù)這一名稱由此而來。

????????性質(zhì)3????兩角和差公式

????????性質(zhì)4????二倍角公式

????????性質(zhì)5????n倍角公式

提示：利用

結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可證。

????????性質(zhì)6????半角公式

提示：反向利用二倍角公式即得。

????????性質(zhì)7????和差化積、積化和差公式

????????性質(zhì)8????“萬能”公式

提示：對(duì)于公式(11)后兩個(gè)等式，可在左側(cè)除以

????????性質(zhì)9????雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系

提示：利用歐拉公式

????????性質(zhì)10????導(dǎo)數(shù)公式

????????聯(lián)想到不定積分中第二類換元法中存在一類換元技巧，在遇到形如

的乘積項(xiàng)時(shí)，可作變換x=asint。類似地，當(dāng)我們遇到形如

的乘積項(xiàng)時(shí)，可依據(jù)tan2x+1=sec2x，分別做變換x=atant和x=asect。實(shí)際上，我們也可以從公式(4)出發(fā)，分別作變換x=asinht和x=acosht。有時(shí)作后一種變換解決問題更快捷。

例1????計(jì)算不定積分

解????①

????????②

????????這個(gè)例子中，后一種變換的優(yōu)勢(shì)不夠明顯(其實(shí)計(jì)算sect的原函數(shù)還是比較麻煩的)，再看下例。

例2????計(jì)算積分

解????①

這個(gè)積分不太好做。下面先證明一個(gè)引理

????????由分部積分法

得

????????移項(xiàng)，引理得證。

????????于是

????????又

????????從而

????????②

????????兩種做法的復(fù)雜程度高下立判。

????????總而言之，在進(jìn)行積分計(jì)算時(shí)，如果遇到形如公式(16)的乘積項(xiàng)時(shí)就可以考慮用雙曲函數(shù)做變換。