法一:牛頓恒等式+盛金判別式

設(shè)a,b,c為方程x3-e?x2+e?x-e?=0的3個(gè)根

對(duì)應(yīng)冪和對(duì)稱多項(xiàng)式通項(xiàng)為:

Pn-e?P(n-1)+e?P(n-2)-e?P(n-3)=0

結(jié)合已知得:P?=ao+bo+co=3

P?=e?=a+b+c=1

P?=a2+b2+c2=2

則e?=ab+bc+ac=1/2[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-1/2

即方程為x3-x2-1/2x-e?=0

通項(xiàng)式為Pn=P(n-1)+1/2P(n-2)+e?P(n-3)

則P?=P?+1/2P?+3P?=5/2+3e?

需求取e?的取值范圍

∵a,b,c為實(shí)數(shù)

∴方程x3-x2-1/2x-e?=0無(wú)虛數(shù)根

由盛金公式，只需總判別式非正即可

即A=(-1)2-3*1*(-1/2)=5/2

B=(-1)*(-1/2)-9*1*(-e?)=1/2+9e?

C=(-1/2)2-3*(-1)*(-e?)=1/4-3e?

△=B2-4AC=(1/2+9e?)2-4*5/2*(1/4-3e?)≤0

即108e?2+52e?-3≤0

解得:(-13-5√10)/54≤e?≤(-13+5√10)/54

則(32-5√10)/18≤5/2+3e?≤(32+5√10)/18

即(32-5√10)/18≤a3+b3+c3≤(32+5√10)/18

即原式最小值為(32-5√10)/18

ps：上述法轉(zhuǎn)化為方程無(wú)虛數(shù)根后，亦可分離參數(shù)+求導(dǎo)解決，具體如下:

x3-x2-1/2x=e?

即函數(shù)f(x)=x3-x2-1/2x與y=e?有2或3個(gè)交點(diǎn)

f'(x)=3x2-2x-1/2=0

解得x=(2+√10)/6,經(jīng)判斷為極大值

x=(2-√10)/6,經(jīng)判斷為極小值

當(dāng)f((2-√10)/6)≤e?≤f((2+√10)/6)

即(-13-5√10)/54≤e?≤(-13+5√10)/54

則(32-5√10)/18≤5/2+3e?≤(32+5√10)/18

即(32-5√10)/18≤a3+b3+c3≤(32+5√10)/18

故原式最小值為(32-5√10)/18

法二:拉格朗日乘數(shù)法
L=a3+b3+c3+m(a+b+c-1)+n(a2+b2+c2-2)
?L/?a=3a2+m+2an=0
?L/?b=3b2+m+2bn=0
?L/?a=3c2+m+2cn=0
即-m=?L/?a=3a2+2an=3b2+2bn=3c2+2cn
即3a2+2an=3b2+2bn且3a2+2an=3c2+2cn
3(a2-b2)=2n(b-a)且3(a2-c2)=2n(c-a)
即a=b或a+b=-2/3n
且a=c或a+c=-2/3n

若a=b且a=c,則a=b=c，無(wú)法同時(shí)滿足兩約束條件，舍

若a=b且3(a+c)=-2n
則2a+c=1且2a2+c2=2
即2a2+(1-2a)2-2=0
2a2+4a2-4a+1-2=0
6a2-4a-1=0
解得a=(2±√10)/6
即a=b=(2+√10)/6,c=(1-√10)/3
或a=b=(2-√10)/6,c=(1+√10)/3

若a+b=-2/3n且a=c
同理得
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3
或a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3

若a+b=-2/3n且a+c=-2/3n
即a+b=a+c,即b=c
同理得
b=c=(2+√10)/6,a=(1-√10)/3
或b=c=(2-√10)/6,a=(1+√10)/3

綜上，原式駐點(diǎn)及其駐點(diǎn)值如下:
a=b=(2+√10)/6,c=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=b=(2-√10)/6,c=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
b=c=(2+√10)/6,a=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
b=c=(2-√10)/6,a=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
綜上，原式最小值為(32-5√10)/18

法三:線性換元+消元求導(dǎo)

令a=√3x+y+√2z,b=-√3x+y+√2z,c=-2y+√2z

化為求取3√2z=1,x2+y2+z2=1/3條件下

(√3x+y+√2z)3+(-√3x+y+√2z)3+(-2y+√2z)3的最小值

即求取x2+y2=5/18條件下

-6y3+6y2+18x2y+6x2+1/9的最小值

-6y3+6y2+18x2y+6x2+1/9

=-6y3+6(y2+x2)+18(5/18-y2)y+1/9

=-24y3+5y+16/9

由x2+y2=5/18得，y∈[-√10/6,√10/6]

令原式=f(y)=-24y3+5y+16/9，y∈[-√10/6,√10/6]

f'(y)=-72y2+5

可得f(y)在(-√10/6,-√10/12)遞減,(-√10/12,√10/12)遞增,(√10/12,√10/6)遞減

f(-√10/12)=(32-5√10)/18

f(√10/6)=(32-5√10)/18

故原式最小值為(32-5√10)/18

ps:上述換元思路參考:(解釋或許不太專業(yè))

a+b+c=1為三維坐標(biāo)系中一平面,a2+b2+c2=2為圓心在原點(diǎn),半徑為√2的一球面

則點(diǎn)(a,b,c)在平面與球面所截的圓周上

考慮尋找一線性變換矩陣A，使得變換后平面與x-o-y平面平行(表達(dá)式上即將平面方程化為z=m(m為常數(shù))的形式)

取平面一法向量為(1,1,1)

平面上兩點(diǎn)(1,0,0)和(0,1,0)構(gòu)成向量(1,-1,0)

取與二者均垂直的一向量為(1,1,-2)

根據(jù)右手系定i=(1,-1,0),j=(1,1,-2),k=(1,1,1)

伸縮向量至模長(zhǎng)均相等得

i=(√3,-√3,0),j=(1,1,-2),k=(√2,√2,√2)

則構(gòu)成矩陣B，其基底為上述向量(由于該矩陣基底兩兩垂直且模長(zhǎng)相等，故該矩陣對(duì)坐標(biāo)系具有相似化放縮和旋轉(zhuǎn)的效果)

A則為B的逆矩陣，故矩陣A可將曲面變換為平面平行于x-o-y平面

即(x,y,z)=A·(a,b,c)

則(a,b,c)=A^(-1)·(x,y,z)=B·(x,y,z)

得a=√3x+y+√2z,b=-√3x+y+√2z,c=-2y+√2z

根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，將上式代入原曲面方程即可求取變換后曲面方程

若有更多解法，歡迎于評(píng)論區(qū)共討