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波束成形(beamforming)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)(四)---從接收端看

2022-07-25 21:51 作者:樂(lè)吧的數(shù)學(xué)  | 我要投稿

(在本站上錄制了一個(gè)小視頻:https://www.bilibili.com/video/BV1LV4y1M7TT/

從上篇文章的分析中,我們知道 N 根接收天線,可以接收垂直與天線陣列方向上發(fā)射來(lái)的信號(hào),抑制其他方向上的信號(hào)。但是,我們看到,這個(gè)是沒(méi)有做到可以調(diào)整接收方向,即沒(méi)有做到“指哪兒收哪兒”。

用如下圖所示的天線陣列:


這 N 根天線收到的信號(hào),以第一根天線為參照,相當(dāng)于分別被乘以一個(gè)復(fù)數(shù):

e%5E%7Bj0%5Cpsi%7D%2C%5Cspace%20e%5E%7Bj1%5Cpsi%7D%2C%20%5Cspace%20e%5E%7Bj2%5Cpsi%7D%2C%5Ccdots%2Ce%5E%7Bj(N-1)%5Cpsi%7D


那么,我們可以把這個(gè)被乘上去的復(fù)數(shù)抵消掉,每個(gè)接收的信號(hào),我們乘以上面復(fù)數(shù)的共軛,即:

e%5E%7B-j0%5Cpsi%7D%2C%5Cspace%20e%5E%7B-j1%5Cpsi%7D%2C%20%5Cspace%20e%5E%7B-j2%5Cpsi%7D%2C%5Ccdots%2Ce%5E%7B-j(N-1)%5Cpsi%7D


則接收到的信號(hào)應(yīng)該是在?%5Ctheta 方向上最大。下面我們可以推導(dǎo)一下。
假如乘上去的共軛復(fù)數(shù),是以一個(gè)具體的角度? %5Ctheta_0 推導(dǎo)出來(lái)的,即,我們希望在這個(gè)角度上能收到信號(hào),其它角度的進(jìn)行抑制:


%5Cpsi_0%20%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20d%20%5Cspace%20cos(%5Ctheta_0)%7D%20%20%20%7B%5Clambda%7D


則,假如在?%5Ctheta 方向的發(fā)射信號(hào)進(jìn)來(lái),則接收的信號(hào),乘以上面的共軛之后有:

e%5E%7Bj0(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%2C%5Cspace%20e%5E%7Bj1(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%2Ce%5E%7Bj2(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%2C%5Ccdots%2Ce%5E%7Bj(N-1)(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D


則最終接收的信號(hào)為:

%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D


按照等比數(shù)列求和有(可以參考后面附錄):

%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%7C%5Cfrac%7Bsin(N(%5Cpsi-%5Cpsi_0)%2F2)%7D%7BN%20sin((%5Cpsi-%5Cpsi_0)%2F2)%7D%7C%20%26%20%5Ctext%7B%20if%20%7D%20%5Cpsi-%5Cpsi_0%20%5Cneq%200%20%20%5C%5C%0A%201%20%26%20%5Ctext%7B%20if%20%7D%20%5Cpsi-%5Cpsi_0%20%3D%200%0A%5Cend%7Bcases%7D


下面以?%5Ctheta_0%20%3D%20%5Cpi%2F6? 為例,讓%5Ctheta%20%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi%5D ,在極坐標(biāo)上畫出來(lái)信號(hào)強(qiáng)度的圖:


附錄:

%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk%5Cpsi%7D%20%20%5C%5C%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Cfrac%7B1-e%5E%7BjN%5Cpsi%7D%7D%7B1-e%5E%7Bj%5Cpsi%7D%7D%20%5C%5C%0A%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Cfrac%7Be%5E%7BjN%5Cpsi%2F2%7D%7D%7Be%5E%7Bj%5Cpsi%2F2%7D%7D%20%20%5Cfrac%7B(e%5E%7B-jN%5Cpsi%2F2%7D-e%5E%7BjN%5Cpsi%2F2%7D)%7D%7B(e%5E%7B-j%5Cpsi%2F2%7D-e%5E%7Bj%5Cpsi%2F2%7D)%7D%20%5C%5C%0A%3D%20%20%5Cfrac%7Be%5E%7BjN%5Cpsi%2F2%7D%7D%7Be%5E%7Bj%5Cpsi%2F2%7D%7D%20%5Cfrac%7Bsin(N%5Cpsi%2F2)%7D%7BNsin(%5Cpsi%2F2)%7D


若只考慮幅度,則上面推導(dǎo)中最后的兩個(gè)分式中,第一個(gè)分式的模是 1,可以忽略。

%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%20e%5E%7Bjk%5Cpsi%7D%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%5Cfrac%7Bsin(N%5Cpsi%2F2)%7D%7BNsin(%5Cpsi%2F2)%7D%20%20%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D

波束成形(beamforming)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)(四)---從接收端看的評(píng)論 (共 條)

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