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【種花家務(wù)·代數(shù)】2-2-02不等式的性質(zhì)『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-11-13 11:17 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第二章一元一次不等式?

§2-2不等式的性質(zhì)

【01】在解方程的時(shí)候，要根據(jù)方程的兩個(gè)基本性質(zhì)進(jìn)行變形，求得方程的解。同樣，為了解不等式，我們先來研究不等式的某些重要性質(zhì)。

1、不等式的兩邊加上相同的數(shù)

【02】不等式 5＞2 是永遠(yuǎn)成立的。如果在不等式 5＞2 的兩邊都加上 6，那末左邊的值是 5＋6＝11，右邊的值是 2＋6＝8? 。因?yàn)?11＞8，所以 5＋6＞2＋6? 。

【03】如果在不等式 5＞2 的兩邊都加上－7（也就是減去 7），那末不等式兩邊的值分別是－2 和－5? 。因?yàn)椋?＞－5，所以 5＋(－7)＞2＋(－7)? 。

【04】從這個(gè)事實(shí)可以看到，在不等式的兩邊不論加上同一個(gè)正數(shù)或者同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式仍能成立。

【05】一般地說：如果a＞b，那末 a＋c＞b＋c? 。這就是：性質(zhì)1.在不等式的兩邊加上同一個(gè)數(shù)或者同一個(gè)整式，不等式仍舊成立。

【說明】因?yàn)槟硵?shù)加上 c 就等于某數(shù)減去 (－c)，某數(shù)加上 (－c) 就等于減去 c，所以這個(gè)性質(zhì)也可以說成：在不等式的兩邊加上（或者減去）同一個(gè)數(shù)或者同一個(gè)整式，不等式仍舊成立。

例1.在下列不等式的兩邊各加上指定的數(shù)（或者整式），會(huì)得到怎樣的不等式？

(1) a－b＞0，加上 b；

(2) x＋3＜0，減去 3? 。

【解】根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可以得到：

????????(1) a－b＋b＞0＋b，∴ a＞b? 。

????????(2) x＋3－3＜0－3，∴ x＜－3? 。

【06】從上面這個(gè)例子可以看到，在第(1)題 a－b＞0 中，不等號(hào)左邊的－b 移到了右邊，并且改變了符號(hào)；在第(2)題 x＋3＜0 中，左邊的 3 也變號(hào)后移到了右邊。這種變形和解一元一次方程中的移項(xiàng)法則是一樣的。

【07】因此，根據(jù)不等式的這個(gè)性質(zhì)，我們得到解不等式的移項(xiàng)法則：不等式中的任何一項(xiàng)，都可以把它的符號(hào)改變后，從不等式的一邊移到另一邊。

2、不等式的兩邊乘以相同的數(shù)

(ⅰ) 如果乘數(shù)是正數(shù)

【08】在不等式 5＞2 的兩邊都乘以正數(shù) 3，那末不等式兩邊的值分別是 15 和 6? 。因?yàn)?15＞6，所以 5 × 3＞2 × 3? 。

【09】如果在不等式 5＞2 的兩邊都乘以正數(shù) 1/2（也就是除以 2），那未兩邊的值分別是 $%5Cscriptsize2%5Cfrac12$ ?和 1? 。因?yàn)? $%5Cscriptsize2%5Cfrac12$ ＞1，所以 5 ×? $%5Cscriptsize%5Cfrac12$ ＞2 ×? $%5Cscriptsize%5Cfrac12$ ? 。

【10】同樣，在不等式－15＜－10 的兩邊都乘以正數(shù) 1/5，那末兩邊的值分別是－3 和－2? 。因?yàn)椋?＜－2，所以 (－1) ×? $%5Cscriptsize%5Cfrac15$ ＜(－10) ×? $%5Cscriptsize%5Cfrac15$ ? 。

【11】一般地說：如果a＞b，c＞0，那末 ac＞bc? 。這就是：性質(zhì)2.在不等式的兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等式仍舊成立。

【說明】因?yàn)槌砸粋€(gè)正數(shù)就是乘以這個(gè)正數(shù)的倒數(shù)，所以這個(gè)性質(zhì)對(duì)于除以同一個(gè)正數(shù)，同樣適用。

例2.在下列不等式的兩邊各乘以或除以指定的正數(shù)，會(huì)得到怎樣的不等式？

(1) $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x3$ ＜5，乘以 3；

(2) 2x＞－4，除以2? 。

【解】根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可以得到：

????????(1) $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x3$ ?× 3＜5 × 3，∴ x＜15? 。

????????(2) 2x ×? $%5Cscriptsize%5Cfrac12$ ＞(－4)?×? $%5Cscriptsize%5Cfrac12$ ，∴ ×＞－2? 。

(ⅱ)如果乘數(shù)是負(fù)數(shù)

【12】在不等式 5＞2 的兩邊都乘以－3，那末兩邊的值分別是－15 和－6? 。因?yàn)椋?5＜－6，所以 5 × (－3)＜2 × (－3)? 。

【13】如果不等式 5＞2 的兩邊都乘以? $%5Cscriptsize-%5Cfrac12$ （也就是除以－2），那未兩邊的值分別是? $%5Cscriptsize-2%5Cfrac12$ ?和－1? 。因?yàn)? $%5Cscriptsize-2%5Cfrac12$ ＜－1，所以 5 × ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac12$ )＜2 × ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac12$ )? 。

【14】同樣，在不等式－15＜－10 的兩邊都乘以? $%5Cscriptsize-%5Cfrac15$ ，那末兩邊的值分別是 3 和 2? 。因?yàn)?3＞2，所以 (－15) × ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac15$ )＞(－10) × ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac15$ )? 。

【15】一般地說：如果 a＞b，c＜0，那末 ac＜bc? 。這就是：性質(zhì)3.在不等式的兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)必須改成和它相反的不等號(hào)（即“＞”改成“＜”，或者“＜”改成“＞”），不等式才能成立。

【說明】因?yàn)槌砸粋€(gè)負(fù)數(shù)就是乘以這個(gè)負(fù)數(shù)的倒數(shù)，所以這個(gè)性質(zhì)對(duì)于除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，同樣適用。

例3.在下列不等式的兩邊各乘以或除以指定的負(fù)數(shù)，會(huì)得到怎樣的不等式？

(1)? $%5Cscriptsize-%5Cfrac%20x5$ ＞－1，乘以－5；

(2)－4x＜12，除以－4? 。

【解】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可以得到：

????????(1) ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac%20x5$ ) × (－5)＜(－1) × (－5)，∴ x＜5；

????????(2) (－4) × ( $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2014$ )＞12×( $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2014$ )，∴ x＞－3? 。

(ⅲ)如果乘數(shù)是零

【16】因?yàn)榱愫腿魏螖?shù)的積仍舊是零，所以不等式兩邊的值都等于零，這時(shí)原不等式就變成一個(gè)等式了。例如，5＞2，5 × 0＝2 × 0；－7＜3，(－7) × 0＝3 × 0。

【17】一般地說：如果 a＞b，c＝0，那未 ac＝bc? 。

【18】必須特別注意，在應(yīng)用不等式的性質(zhì)2時(shí)，一定要看清楚用來乘不等式兩邊的那個(gè)乘數(shù)（或者那個(gè)代數(shù)式的值）是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零。

習(xí)題2-2

1、在下列各不等式的兩邊各加上指定的數(shù)，所得的不等式是否仍舊成立？

(1) 9＞5，加上 3；

(2)－9＜5，加上－5；

(3)－9＜－5，加上 4；

(4) $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2012$ ＞ $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023$ ，加上? $%5Cscriptsize%5Cfrac%2012$ ? 。

2、把下列各不等式的兩邊各乘以指定的數(shù)，寫出仍舊能夠成立的不等式：

(1) 8＞3，乘以 2；【16＞6】

(2) 8＞3，乘以－2；【－16＜－6】

(3)－5＜2，乘以5；【－25＜10】

(4)－5＜2，乘以－5；【25＞－10】

(5)－4＞－8，乘以? $%5Cscriptsize%5Cfrac%2012$ ；【－2＞－4】

(6)－4＞－8，乘以? $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2012$ ；【2＜4】

(7) a＜b，乘以－1；【－a＞－b】

(8) m＞n，乘以－3? ?！荆?m＜－3n】

3、把下列各不等式的兩邊各除以指定的數(shù)，寫出仍舊能夠成立的不等式：

(1) 16＞12，除以 2；【8＞6】

(2) 16＞12，除以－2；【－8＜－6】

(3)－4＜－3，除以－1；【4＞3】

(4) 6＞－9，除以－3；【－2＜3】

(5)－25＜－10，除以－5；【5＞2】

(6)－a＜－b，除以－1? ?！綼＞b】

4、已知 a＞b，用不等號(hào)“＞”或者“＜”連結(jié)下列各題中的兩個(gè)式子：

(1) a＋5 和 b＋5；【a＋5＞b＋5】

(2) a－b 和 0；【a－b＞0】

(3)－7a 和－7b；【－7a＜－7b】

(4) $%5Cscriptsize%5Cfrac%20a3$ 和? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20b3$ ；【 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20a3$ ＞ $%5Cscriptsize%5Cfrac%20b3$ 】

(5)? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20a%7B-5%7D$ ?和? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20b%7B-5%7D$ ；【 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20a%7B-5%7D$ ＜ $%5Cscriptsize%5Cfrac%20b%7B-5%7D$ 】

(6) $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023a$ ?和? $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023b$ ? ?！?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023a" alt="%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023a">＜ $%5Cscriptsize-%5Cfrac%2023b$ ?】