編者按

科學(xué)傳播當(dāng)中有個有意思的現(xiàn)象，就是越為基礎(chǔ)和艱深的學(xué)問，其相關(guān)的科普著作就越為豐富和繁多，很明顯的例證就是數(shù)學(xué)、物理方面的科普讀本遠(yuǎn)超其他學(xué)科，有關(guān)數(shù)學(xué)中著名的猜想和悖論、物理學(xué)中相對論和量子力學(xué)等的通俗解讀可以用汗牛充棟來形容。這起碼說明一點，艱澀的學(xué)問，也可以有淺顯易懂的切入點。高明的科普作者可以經(jīng)由作者在闡述上下的功夫降低讀者理解的難度。本文就想從初等數(shù)學(xué)出發(fā)，來深入地談?wù)劇暗边@一數(shù)理學(xué)問中極重要的概念。

撰文?|?丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

迭代一詞對一些人或許生疏，但在數(shù)學(xué)上它歷史悠久。大約三千五百年前，古巴比倫人就想出了一個聰明的辦法來逐次近似給定正數(shù)A的平方根，以今日的標(biāo)準(zhǔn)說法，它就是用眾所周知的牛頓迭代法解方程x2?– A = 0。當(dāng)今，在數(shù)學(xué)天地的幾乎所有園區(qū)，迭代都留下活躍的身影，而求解方程各式各樣的迭代法，則是計算數(shù)學(xué)家和工程學(xué)家們從不離手的利器。

為了形象地說明什么是迭代，讓我們拿出一只假設(shè)誤差為零的理想計算器，輸進(jìn)一個數(shù)，比方說0.5，然后按一下標(biāo)有“x2”的那個平方鍵，小屏幕上就能看到結(jié)果：0.25，如果再按一次平方鍵，看到的結(jié)果是0.0625，再按一次，就有0.00390625，如此一次次地按下去，依次出現(xiàn)的是以“初始數(shù)”0.5開頭的一系列數(shù)：

0.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625, 0.0000152587890625, …

盡管算了這幾步后我們或許會失去耐心，不想再按下去，但我們至少可以從上面幾個數(shù)的變化趨勢知道，這些越來越小的數(shù)最終會趨向于0。

這樣的計算確實足夠簡單，似乎連幼兒園的孩子也能操作。即便丟掉計算器，小學(xué)生也可以用紙和筆一個接著一個地算出這樣的“平方”。如果用初中學(xué)過的數(shù)學(xué)概念表達(dá)，那么計算器上的平方鍵就代表了“x平方”這個函數(shù)。

上述數(shù)列中的第一個數(shù)0.5是我們所選定的一個初始值，第二個數(shù)0.25是x平方函數(shù)在x = 0.5時的函數(shù)值，第三個數(shù)0.0625是x平方函數(shù)在x = 0.25時的函數(shù)值，而第四個數(shù)0.00390625是x平方函數(shù)在x = 0.0625時的函數(shù)值，第五個數(shù)0.0000152587890625則是x平方函數(shù)在x = 0.00390625時的函數(shù)值，等等。

如果把x平方函數(shù)看成是一只“黑箱”，那么輸入x的值，這只黑箱就會輸出x2這個函數(shù)值。上面的計算器操作實際上就是選取一個初始值輸進(jìn)黑箱，然后再一次次地將黑箱吐出的函數(shù)值輸入同一個黑箱，周而復(fù)始，直至無窮。這種“黑箱操作”的整個過程在數(shù)學(xué)上叫作函數(shù)迭代，簡稱迭代。

一般地，假定我們有定義在某個實數(shù)區(qū)間上的一個函數(shù)y = f(x)，它把定義域區(qū)間映到自身內(nèi)——也就是說，這個函數(shù)的自變量x以及因變量y都取值于該定義域中。

這樣我們就可以隨心所欲、不停頓地迭代這個函數(shù)f：取定義域中的一個初始點x0，將它代入到f的具體代數(shù)表達(dá)式中，計算出其對應(yīng)的函數(shù)值，這樣就得到第一個迭代點x1；因為x1也屬于函數(shù)的定義域，再將x1代入到f的表達(dá)式中賦值，就得出第二個迭代點x2……如此進(jìn)行下去，對于所有的自然數(shù)n = 1, 2, 3, …，在得到第n-1個迭代點xn-1后，由于xn-1屬于函數(shù)的定義域，將它代入到f的表達(dá)式中計算，就得出第n個迭代點xn。這樣，我們獲得了函數(shù)f的一個迭代點數(shù)列：

x0, x1, x2, …, xn, …。

這個數(shù)列也稱為從初始點x0出發(fā)的f的迭代點軌道，或簡稱軌道?！败壍馈笔且环N很形象的說法，因為起步于初始點的迭代點數(shù)列看上去就像是向遠(yuǎn)處伸展而去的一條鐵路軌線。

在數(shù)學(xué)上，一個迭代過程可以寫成

xn?= f(xn-1)，n = 1, 2, 3, …。

本文開頭時提到的數(shù)值求解方程g(x) = 0的牛頓迭代法就是一例，它具有形式

xn?= xn-1?- g(xn-1)/g’(xn-1)，n = 1, 2, 3, …，

其中記號g’表示可微函數(shù)g的導(dǎo)函數(shù)。

迭代是一個從初始點出發(fā)，一步步從當(dāng)前迭代點計算出后繼迭代點的遞歸過程。所以在一般情況下，如果想知道第100個迭代點是什么，只好耐住性子算一百步后才能知道答案。然而，如果我們運氣好到能“一步到位”地從0跳到n，寫出n個f的復(fù)合函數(shù)fn的簡潔表達(dá)式，那么就可以一步算出第n個迭代點xn?= fn(x0)?？上В钊司趩实氖?，除了極少數(shù)簡單情形外，比如從線性函數(shù)f(x) = ax立刻可以導(dǎo)出的簡單式子fn(x0) = anx0，我們無力能將復(fù)雜的fn化簡到一個封閉的代數(shù)表達(dá)式。幸運的是，數(shù)學(xué)理解我們的苦衷而為我們提供了微積分的十八般武藝，這些武藝打造出一門專攻迭代的現(xiàn)代學(xué)科——離散動力系統(tǒng)。

考察迭代，就會不可避免地碰到“不動點”和“周期點”這兩個重要術(shù)語。如果在函數(shù)f的定義域中有個點x*，它滿足等式f(x*) = x*，即x*在f下的迭代結(jié)果還是它本身，這個點就被稱為是函數(shù)f的一個不動點。

不動點在代數(shù)上的意義就是方程f(x) = x的一個解x = x*，而在幾何上的意義是函數(shù)f在平面上xy-直角坐標(biāo)系中的圖象與坐標(biāo)系的對角線y= x之交點的坐標(biāo)，因為這個交點既在函數(shù)f的圖象上，又在坐標(biāo)系的對角線上，它的兩個直角坐標(biāo)(x*, y*)同時滿足y* = f(x*)和y* = x*這兩個等式 。

對于一個初始點x0，如果函數(shù)f被迭代到第n步后，又首次返回到初始點x0，即從初始點x0開始迭代后的第一個迭代點直到第n-1個迭代點x1?= f(x0),?x2?= f(x1) = f2(x0), …, xn-1= f(xn-2) = fn-1(x0) 都不等于x0，但第n個迭代點xn= f(xn-1) = fn(x0)等于x0，則稱x0為f的一個周期為n的周期點，其對應(yīng)的有限數(shù)列x0, x1, x2, …, xn-1或集合{x0, x1, x2, …, xn-1}稱為f的一個周期為n的周期軌道或周期-n軌道。

注意：上面的記號fk并非表示f的k次方，而是表示k個f復(fù)合而成的復(fù)合映射，即f0(x) = x, f1(x) = f(x), f2(x) = f(f(x)) = f(f1(x)), f3(x) = f(f(f(x))) = f(f2(x))，依次類推。

顯而易見，如果n = 1，則周期為1的周期點就是不動點。找到函數(shù)f的所有不動點等價于求出方程f(x) = x的所有解，它們的幾何意義就是f的圖象與坐標(biāo)系對角線的所有交點。當(dāng)n大于1時，f的所有周期為n的周期點都是方程fn(x) = x的解，但反之，方程fn(x) = x的解卻不一定是f的周期為n的周期點，而可能是f的周期為k的周期點，其中k是n的一個真因子。舉個簡單的例子，設(shè)f(x) = -x，則f2(x) = -(-x) = x。顯然x = 0是f2(x) = x的一個解，但它卻不是f周期為2的周期點，而是f的不動點。此外，方程f2(x) = x的每個非零解都是f的周期為2的周期點。

另一方面，一個周期-n軌道中的每一個點都是周期為n的周期點。比如說，如果{x0, x1, x2}是一個周期-3軌道，則由f(x0) = x1, f(x1) = x2及 f(x2) = x0可知，{x1, x2, x0}和{x2, x0,?x1}都是周期-3軌道，因而組成同一個周期-3軌道的三個點x0, x1, x2都是周期為3的周期點。從一個周期點開始的迭代點無窮數(shù)列是其周期軌道“周而復(fù)始”的無窮次復(fù)制，因此該數(shù)列的最終走向是事先知道的，或言之，是可以預(yù)測的。我們對自然界中的周期現(xiàn)象太熟悉不過了，所以應(yīng)該對數(shù)學(xué)中的周期點感到親切。

由上可知，當(dāng)初始點是周期點時，給定的函數(shù)迭代到某一步就會首次返回到初始點，然后再重復(fù)地?zé)o限循環(huán)下去，就像一個體格健壯的學(xué)生每天早晨繞著學(xué)校的橢圓形跑道一圈又一圈地跑個不停。當(dāng)初始點不是周期點時，由此點出發(fā)后的所有迭代點自然永遠(yuǎn)不會回到初始點。既然永遠(yuǎn)不會回到初始點，這些迭代點的最終性態(tài)一定會是不可預(yù)知的嗎？

答案是不確定。它既可能可以預(yù)知，也可能不可預(yù)知。先看一種只需要上述簡單概念而無需高深一點的初等微分學(xué)知識就能理解的情形。如果初始點x0不是周期點，即對任意的自然數(shù)j都有不等式fj(x0) ≠ x0，但它的某次迭代點xm?= fm(x0)卻首次成為周期點，周期為n，即x0, x1, …, xm互不相同，但 fn(xm) = xm并且對所有的k = 1, 2, …, n-1，都有fk(xm) ?≠ xm，那么這條迭代點軌道的最終走向還是可以預(yù)知的，亦即軌道的尾巴都是有限片段xm, xm+1, …, xm+n-1無限次的復(fù)制。這個初始點x0稱為最終周期點；如果n = 1，最終周期點也稱為最終不動點。這樣從初始點x0啟程的迭代點數(shù)列，前m+1個點互不相同，但從xm開始就一個周期-n軌道一個周期-n軌道地重復(fù)行進(jìn)下去，如此一來，這個迭代點數(shù)列的最終性態(tài)當(dāng)然還是可以預(yù)測的。例如對于簡單的二次函數(shù)f(x) = x(1-x)，x = 1是一個最終不動點，因為它的第一次迭代點f(1) = 0是f的不動點。因而從最終不動點1開始的軌道是1, 0, 0, …。

還有一種情形，初始點既不是周期點，也不是最終周期點，即它對應(yīng)的所有迭代點都互不相同，但我們依然可以預(yù)測迭代點數(shù)列的最終走向，比如說這個數(shù)列最終收斂到一個固定的數(shù)，或與一個固定的周期軌道越來越靠近，或發(fā)散到正無窮大，或發(fā)散到負(fù)無窮大，或其絕對值的數(shù)列發(fā)散到正無窮大。對這些不同狀況下可預(yù)測性的分析求解，初等代數(shù)的數(shù)學(xué)工具則顯得不夠用了，需要一點初等微分學(xué)的知識。這就是為什么高等數(shù)學(xué)是一門很有用途的學(xué)問。具體來說，微分學(xué)中的“中值定理”或“單調(diào)收斂定理”常常是這個解析過程的數(shù)學(xué)后盾。既然本文是“淺說迭代”，我在后面將依然用淺顯的語言解釋其中一個定理的應(yīng)用，但如果輔之以圖象的視覺效應(yīng)，則會幫助理解。為此，我們先介紹關(guān)于函數(shù)迭代眼睛看得更清楚的“圖象表示法”，相對于前述依賴于函數(shù)賦值的“代數(shù)表示法”。

在檢查迭代點數(shù)列的最終走向時，如果覺得一次又一次地用手或計算器算出函數(shù)值來得到一個又一個的迭代點太費時間，我們也可以借函數(shù)的圖象來做與代數(shù)方法等價的事，只要圖象曲線能夠足夠精確地畫出。該幾何方法讓我們從初始點出發(fā)沿著一條上下和左右方向交替轉(zhuǎn)彎的快捷路徑急速地向前移動，這樣就能直觀地觀察到迭代點列的“運動軌跡”，進(jìn)而很方便地看出軌道的最終目標(biāo)。

首先在平面上的xy-直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y = f(x)的圖象，然后在x-軸上取一個初始點x0，再從這個點出發(fā)，沿著y-軸的平行線朝著圖象方向走，一直走到與它相交為止，在交點處向左或向右沿著x-軸的平行線走，一直走到和坐標(biāo)系的對角線相交為止，這個交點的坐標(biāo)為(x1, x1)，代表著第一個迭代點x1。然后從這點起沿著鉛錘線走，直到和圖象相交，在交點處沿著水平線走，直到和對角線相交，這個交點則代表著第二個迭代點x2。如此這般地走下去，我們就依次得到對角線上代表著各個迭代點x1,?x2, x3, x4, x5, … 的一個幾何點列。

讀者如果將上一段的走路加轉(zhuǎn)彎法則分別用到函數(shù)f(x) = x/2和g(x) = 2x，就很容易地幾何論證出下列結(jié)論：對于函數(shù)f，從任一初始點出發(fā)的迭代點軌道最終將趨向于f 的唯一不動點0，而對于函數(shù)g，從任一正的初始點出發(fā)的迭代點軌道最終將發(fā)散到正無窮大，而從任一負(fù)的初始點出發(fā)的迭代點軌道最終將發(fā)散到負(fù)無窮大。這自然和從代數(shù)表達(dá)式fn(x0) = x0/2n及gn(x0) = 2nx0得到的結(jié)論一致。第一個函數(shù)的迭代令人想起兩千三百年前戰(zhàn)國時期的學(xué)者莊子?(約公元前369-約公元前286)?已包含樸素極限思想的那句名言“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。

更一般地，用上述的“圖象迭代法”就能快速地證明：對于線性函數(shù)f(x) = ax + b，只要x項的系數(shù)a的絕對值嚴(yán)格小于1，即|a| < 1，則以任意實數(shù)作為初始點的迭代點數(shù)列最終都將趨向于f 唯一的不動點x* = b/(1-a)，而若|a| > 1，則從任意不等于b/(1-a)的實數(shù)出發(fā)的迭代點數(shù)列最終都將發(fā)散到無窮遠(yuǎn)處。相比之下，這兩個事實的分析證明則要多花一點時間了。

對于上述其直線圖象相當(dāng)平坦以至于斜率絕對值小于1的線性函數(shù)，因為不動點x* = b/(1-a)像美麗的姑娘吸引周圍的男孩一樣將其周圍的各點吸引到自己，令從這些附近點出發(fā)的所有迭代點軌道統(tǒng)統(tǒng)最終將趨向于它，所以這個不動點被形象化地稱為是吸引的。其實，不動點x*不光吸引了它附近的所有點，而且也吸引了實數(shù)軸上所有的點，因而它是一個全局吸引的不動點。

另一方面，當(dāng)線性函數(shù)的直線圖象看上去相當(dāng)陡峭，以至于其斜率絕對值大于1時，由于不動點x* = b/(1-a)像戰(zhàn)爭狂人遠(yuǎn)離周圍的和平主義者那樣“排斥”了其周圍與之相異的各點，令從這些點出發(fā)的迭代點數(shù)列統(tǒng)統(tǒng)最終將對它“敬而遠(yuǎn)之”而不愿與之靠近，這個不動點被稱之為是排斥的，更進(jìn)一步它還是全局排斥的。

由上可知，對于滿足條件|a| ≠ 1的任意線性函數(shù)，其唯一的不動點不是全局吸引的就是全局排斥的。一個直接的推論是該函數(shù)沒有其他周期點。理由很簡單，因為如果有一個周期大于1的周期點，比方說其周期為三，那么從這個周期點出發(fā)的所有迭代點總是在同一個周期-3軌道的三個點中間“輪流坐莊”，它們怎么可能會趨向于不動點或發(fā)散到無窮大？

讀到這里，我相信讀者們不僅讀懂了其中的數(shù)學(xué)，而且還會將獲得的知識用到不符合上述條件的兩個剩余的線性函數(shù)f(x) = x + b和g(x) = -x + b上，看一看它們各自的迭代軌道最終將走向何方。

看來既有不動點又有周期點的例子只能在非線性函數(shù)堆里去找了，好在這樣的例子無窮多，隨便抓來一個：f(x) = -x3。易見，0還是f唯一的不動點，但由于f(1) = -1并且f(-1) = 1，這個三次多項式函數(shù)有了一個周期為2的周期軌道{1, -1}。

本文的讀者一定能夠作出y = -x3的圖象，然后用圖象迭代法就會發(fā)現(xiàn)：對位于開區(qū)間(-1, 1)內(nèi)的任意一個初始點x0，迭代點數(shù)列{fn(x0)}將趨向于極限0，故不動點0是吸引的；而當(dāng)初始點x0的絕對值大于1時，迭代點的絕對值數(shù)列{|fn(x0)|}將趨向于正無窮大。也就是說，f的周期-2軌道{1, -1}排斥了它附近不等于1和-1的各個點。

上面函數(shù)f的反函數(shù)f-1(x) = - x1/3則給出了周期軌道的另一個性質(zhì)。對f-1的圖象進(jìn)行幾何迭代就會知道，不動點0具有排斥性，而周期-2軌道{1, -1}則成為吸引的了，理由是當(dāng)非零初始點x0的絕對值小于1或大于1時，迭代點數(shù)列{(f-1)n(x0)}都將會無限接近于這個周期-2軌道{1, -1}。

再一次地，上面這兩個非線性函數(shù)都展示出其迭代點軌道的正規(guī)性態(tài)：對所有的初始點，迭代點數(shù)列的最終走向都是可以預(yù)測的，并且，除了唯一的不動點和兩個周期為2的周期點外，它們都沒有其他的周期點。我將在下一篇的科普文章中討論既有不動點又有周期為2的更高次方的周期點的那些簡單函數(shù)，并追溯它們與自然科學(xué)的一些歷史因緣。

到目前為止，我還沒有正式地運用過高等數(shù)學(xué)，全是用初等數(shù)學(xué)談?wù)摰鷨栴}，引進(jìn)基本概念，可能一部分擁有博士、碩士甚至學(xué)士學(xué)位的理工科讀者感到“內(nèi)容太淺”，然而正如數(shù)學(xué)寫作與演講大師、匈牙利裔的美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(Paul Halmos，1916-2006)在生前一直強(qiáng)調(diào)的那樣，越是初等的公眾報告越能俘獲人心?，F(xiàn)在，我試圖用一個二次多項式來示范一下初等微分學(xué)在函數(shù)迭代中的一個妙用，即便讀者沒有接觸過微積分，那也無妨，因為我知道她或他至少懂得中學(xué)代數(shù)并具有一定的幾何直覺力，而且我在之前已經(jīng)保證過用淺顯的語言解釋數(shù)學(xué)，否則我就愧對標(biāo)題中保證的“你一定能懂”五字。

我所給出的函數(shù)是f(x) = 2x(1-x)，但將它的定義域限制在閉區(qū)間[0, 1]上。顯然f的圖象是經(jīng)過兩點(0, 0)和(1, 0)、開口朝下、對稱軸為x = 1/2、最高點為(1/2, 1/2)的一段拋物線，它位于坐標(biāo)平面上的單位正方形內(nèi)，故f的值域是[0, 1/2]，因而f將[0, 1]映到自身內(nèi)。所以，從定義域區(qū)間中的任意一點出發(fā)，我們可以無限地將f迭代下去。

這條拋物線與坐標(biāo)系的對角線有兩個交點(0, 0)和(1/2, 1/2)，換言之，f有兩個不動點0和1/2。我們給自己提出的問題是：從[0, 1]中任一初始點x0啟程的迭代點軌跡，最后將通向何方？自然，當(dāng)x0分別取為0、1/2或1時，讀者馬上就知道它們對應(yīng)的軌道，因為前兩者是不動點，第三者是最終不動點。所以我們只需著眼于初始點x0為正但小于1，而且不為1/2。

當(dāng)然，滿心希望快速求得答案的那些人馬上會想起“圖象迭代法”，用鉛筆尖在拋物線和對角線之間豎直線段、水平線段地畫上幾筆，就能獲得結(jié)論：對所有的大于0并且小于1的初始點，由此出發(fā)的迭代點數(shù)列總是趨向于第二個不動點1/2。然而，一位分析學(xué)家不會僅僅滿足于幾何直覺帶來的結(jié)果，他追求的是怎樣嚴(yán)格地證明它。

下面就是證明，除了最后一步外，前幾步都屬于中學(xué)代數(shù)。首先我們提請注意，如果初始點x0選在(1/2, 1)內(nèi)，那么第一個迭代點x1就落到(0, 1/2)內(nèi)了，之后的迭代點最終走向就與初始點選在(0, 1/2)之內(nèi)沒有什么兩樣了?；谶@個觀察，不失一般性，我們可以假設(shè)初始點x0滿足0 < x0?< 1/2。那么2(1-x0) > 1，故2x0(1-x0) > x0。注意2x0(1-x0)即為第一個迭代點x1，從而x1?> x0。這就嚴(yán)格論證了為什么在開區(qū)間(0, 1/2)上，拋物線嚴(yán)格位于對角線的上方。顯然x1?< 1/2。

第二步，我們證明f在[0, 1/2]上是嚴(yán)格遞增的。一個函數(shù)在其定義域的某個子區(qū)間上被稱為是嚴(yán)格遞增的，如果在此區(qū)間上，自變量的值變大導(dǎo)致因變量的值也變大。設(shè)0 ≤ s < t ≤ 1/2，則t – s > 0及0 < t + s < 1，故t2?– s2?= (t + s)(t - s) < t - s，即s – s2?< t – t2，因而f(s) = 2s(1-s) < 2t(1-t) = f(t)。這就證明了f在[0, 1/2]上的嚴(yán)格遞增性。

第三步，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明迭代點數(shù)列{xn}是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，并且總是小于1/2。既然f在[0, 1/2]上是嚴(yán)格遞增的正函數(shù)，不等式0 < x0?< x1?< 1/2推出不等式0 < x1?= f(x0) < f(x1) = x2?< f(1/2) = 1/2。假設(shè)對自然數(shù)n > 1有0 < xn-1?< xn?< 1/2，則0 < xn?= f(xn-1) < f(xn) = xn+1?< f(1/2) = 1/2。這就證明了數(shù)列{xn}的嚴(yán)格單調(diào)遞增性并以1/2為一嚴(yán)格上界。用數(shù)學(xué)符號表示，就是：

0 < x0?< x1?< x2?< x3?< ··· < xn-1?< xn?< xn+1?< ··· < 1/2。

這時，我們不得不從初等數(shù)學(xué)一躍跳上高等數(shù)學(xué)，需要的就是上文提及過的“單調(diào)收斂定理”：單調(diào)有界數(shù)列一定有極限。它的證明需要關(guān)于實數(shù)全體的“完備性公理”，此公理在美國是《高等微積分》教材的起點，在中國屬于數(shù)學(xué)系的《數(shù)學(xué)分析》課程。但是我們可以用如下形象化的例子來幫助理解上述定理：設(shè)想一列有上萬名士兵組成的隊伍步行前進(jìn)，這相當(dāng)于一個單調(diào)遞增的數(shù)列，如果前方永遠(yuǎn)沒有障礙，這隊士兵將一直走向遠(yuǎn)方，然而如果前面有一座爬不過去的城墻擋住他們，則這群保持向前走的士兵最終只能聚集在城墻腳下，這就相當(dāng)于有上界的遞增數(shù)列一定收斂到一點。

這樣，從位于(0, 1/2)的初始點x0出發(fā)的迭代點數(shù)列{xn}將趨向于一個極限x*。但是，x*為什么一定就是1/2呢？要回答這個問題，我們又得求助于在高等數(shù)學(xué)里學(xué)過的“連續(xù)性”概念了。我們說一個函數(shù)h在其定義域區(qū)間中的一點x = a連續(xù)，是指這個函數(shù)h當(dāng)自變量x趨向于a時不僅極限存在，而且極限等于它在a點的函數(shù)值，這個定義可用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式完全概括：limx→a?h(x) = h(a)。連續(xù)性定義還有一個等價性的數(shù)列說法，即函數(shù)h在a點連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于定義域中任一個收斂于a的數(shù)列{xn}，對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{h(xn)}也都收斂于同一個數(shù)h(a)。哪些函數(shù)是連續(xù)函數(shù)呢？所有的“初等函數(shù)”，即有單個代數(shù)表達(dá)式的函數(shù)，包括那些代數(shù)課本里人人熟知的多項式函數(shù)，在它們的“自然定義域”內(nèi)是處處連續(xù)的，這里的二次函數(shù)f(x) = 2x(1-x)為其一例，它在每一個實數(shù)點連續(xù)。

好了，我們可以快樂地用到如上的基本事實了。對所有自然數(shù)n都成立的恒等式xn?≡ f(xn-1)，其左右兩端是一模一樣的數(shù)列，故它們的極限也必定是一模一樣的數(shù)。左端數(shù)列{xn}的極限從上一段已知是x*，而數(shù)列{xn-1}只是數(shù)列{xn}的“左移一位”的平移，因而它也收斂到極限x*，故根據(jù)上一段中關(guān)于連續(xù)性的數(shù)列說法，右端數(shù)列{f(xn-1)}收斂到極限f(x*)。由于收斂數(shù)列的極限是唯一的，我們便得到等式x* = f(x*)。換句話說，x*是f的某個不動點。

然而二次多項式方程x = f(x)有兩個解，一個是0，另一個是1/2。試問，x*會是不動點0嗎？不可能！原因是x*是從一個大于0的數(shù)x0出發(fā)的遞增的無窮數(shù)列的極限，這個向前推進(jìn)的數(shù)列怎么可能后退收斂到比初始點還要后的0呢？因此，唯一的可能是x* = 1/2。這樣，我們嚴(yán)格地證明了如下結(jié)論：對于定義在[0, 1]上的函數(shù)f(x) = 2x(1-x), 從(0, 1)中任意一點出發(fā)的迭代點軌道都收斂到1/2。

事實上，我們在上面順便證明了一個一般性的斷言。我們將它作為本文的最后禮品：

命題. 若函數(shù)f的一個迭代點數(shù)列收斂到x*，且f在x*連續(xù)，則x*是f的不動點。

“函數(shù)迭代”是一個內(nèi)容豐富、用途寬廣的數(shù)學(xué)話題，鑒于篇幅，我在本文中僅僅普及了“可以預(yù)見未來”的某些有序迭代過程。然而，從有序到無序——即混沌，更為神奇的情景還在前頭，用淺顯的初等語言解釋背后的數(shù)學(xué)操作，將是繼續(xù)講述迭代的指導(dǎo)思想。
寫于2023年3月27日星期一美國哈蒂斯堡夏日山莊