前面曾經(jīng)說過，作為統(tǒng)計物理學(xué)中的一個基本模型，伊辛模型可以與在不同學(xué)科的多個方面發(fā)生聯(lián)系，有著很多應(yīng)用，以下就是一些例子。

01

解釋磁場現(xiàn)象

前面我們說過安培假設(shè)物質(zhì)磁場起源于其內(nèi)部運(yùn)動電荷產(chǎn)生的電流，但我們不禁要問，如果僅僅由內(nèi)部電流產(chǎn)生磁場的機(jī)制，是否足以維持一個磁鐵永久的磁性？之所以提出這個問題是因為，自然界中存在一些永磁體，這些物質(zhì)一旦被外磁場磁化后，即使脫離開此外磁場，也不會失去磁性；但是如果僅靠內(nèi)部電流元的有序排列，顯然不可能維持永久的磁性，這是因為假如離開外磁場，內(nèi)部此前在外磁場作用下有序排列的電流元，極有可能在溫度場的擾動下變得無序，從而使得磁鐵失去磁性。

事實(shí)上，永磁體之所以能長久的保持磁性，是源于內(nèi)部大量原子自身所帶的屬性造成的。這種原子本身自帶的的稟性被稱為自旋；我們可以不太準(zhǔn)確的把這種自旋“理解為”是微觀粒子像地球一樣圍繞地軸作自轉(zhuǎn)。之所以不準(zhǔn)確，是因為自旋屬于微觀屬性，它實(shí)際上并不是微觀粒子的自轉(zhuǎn)，事實(shí)上我們無法在宏觀世界中找到它的完美對應(yīng)。原子的自旋能使自身產(chǎn)生一個固有磁矩，就一個小磁鐵。

在外部磁場的干預(yù)下，物質(zhì)內(nèi)部的原子自旋磁性方向?qū)呄蛴谂c外部磁場方向相同，于是眾多的原子結(jié)合起來，在宏觀上的表現(xiàn)就是具有磁性；而當(dāng)外部磁場撤掉，這些原子的磁矩的方向并不會馬上改變，而是會保持原來的方向，這樣，宏觀的磁性也就保持下來了。

但我們還要問，這些微觀粒子它們怎么知道自己要向哪個方向旋轉(zhuǎn)？

此時我們就可以應(yīng)用伊辛模型來解決問題了。伊辛模型告訴我們，在高溫環(huán)境下，原子自旋的指向由于熱運(yùn)動的干擾是隨意的，隨著系統(tǒng)逐步冷卻并接近相變臨界點(diǎn)，原子間的磁力相互作用使得某個原子周圍的原子傾向于與它以相同的方向旋轉(zhuǎn)、又以相同的機(jī)制影響其周圍的原子……這樣逐漸聚集起許多有序的原子群“島嶼”，并越長越大，在這些島嶼內(nèi)部，所有自旋磁矩都指向同一方向。這就是宏觀物體磁性的來源?？梢杂靡列聊Ｐ椭械摹芭R界指數(shù)”來以描述這一過程，例如最大的島嶼的是怎樣生長的。

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02

退火算法與蒙特卡洛算法

伊辛模型還可以被用于計算機(jī)領(lǐng)域而成為某些著名算法的基礎(chǔ)，比如著名的退火算法，它就是蒙特卡洛方法與二維伊辛模型結(jié)合的產(chǎn)物。

退火算法，得名源于冶金行業(yè)的一個名詞“退火”；在冶金行業(yè)中，為了減少材料（如鋼材等）缺陷、增大材料顆粒粒徑，往往將材料先加熱然后以一定速率慢慢冷卻。未經(jīng)退火處理時，鋼材中的晶體顆粒會停留材料的局部晶體能量最低的位置，在加熱后，這些顆粒就可能獲得足夠的能量去逃離原來的局部能量最小的位置，并在緩慢的冷卻過程中，重新找到更大范圍內(nèi)能量最低的位置“安頓”下來，這樣，整體材料的能量就有可能進(jìn)一步降低，也就是調(diào)整了鋼材內(nèi)部的晶體組織，消除組織缺陷。

那算法上的“退火”又是怎么一回事呢？要理解這個概念，首先先認(rèn)識一下蒙特卡洛方法。

蒙特卡洛方法得名于著名的“賭城”蒙特卡洛，這一計算方法的本質(zhì)可以比喻成隨機(jī)的“擲骰子”——從整體中去隨機(jī)抽取出一些部分作為樣本，接著利用這些大小有限的樣本內(nèi)容進(jìn)行一些統(tǒng)計學(xué)量的計算，最后利用此結(jié)果估計出整體的統(tǒng)計學(xué)量，依托著計算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)行能力將數(shù)值計算推向了實(shí)用化。如下圖所示：

我們把從整體部分抽取出樣本的操作稱為抽樣。抽樣一共有兩種方法，即簡單抽樣法和重要性抽樣法。這兩種方法都是根據(jù)其抽樣的具體操作而命名的：其中，簡單抽樣正如其名一樣，指的是從整體中均勻隨機(jī)抽樣，即隨機(jī)的從整體中抽取樣本，比如在某個特定十字路口附近采訪路人。

而重要性抽樣法則是根據(jù)對象的重要性程度來決定抽取多少；比如對一個文科班來說，可能女生的數(shù)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于男生——假設(shè)女生與男生數(shù)量比為5:1。這時候假設(shè)我們要調(diào)查某一款游戲的受歡迎程度而在該班中分發(fā)調(diào)查問卷，如果我們?nèi)匀贿x擇簡單抽樣法，那很顯然這樣做所得到的結(jié)果是很不準(zhǔn)確的，因為明顯女生數(shù)要遠(yuǎn)大于男生數(shù)，這樣我們所可能得到的結(jié)果大抵是此游戲不受歡迎。這時，重要性抽樣法登場了；這種方法是這樣的，首先將整體分類，接著根據(jù)這些類的大小在整體中所占的比重來決定要從中抽取多大的內(nèi)容進(jìn)入最終的樣本。顯然，對上面所舉的例子我們應(yīng)當(dāng)用重要性抽樣法進(jìn)行抽樣。

一個運(yùn)用蒙特卡洛法的例子就是用撒點(diǎn)的方法求得某不規(guī)則二維平面的面積?，F(xiàn)在假設(shè)給定一個不規(guī)則二維平面，要求求出其面積S0，我們可以這么考慮：首先我們在此不規(guī)則二維平面周圍畫上一個規(guī)則的、我們可以輕易求出其面積S的二維平面，比如說一個正方形；接著我們向這個正方形撒點(diǎn)（硬幣、骰子都可以，甚至花生也行，但一定要保證它們大小相近），假設(shè)一共撒了N個點(diǎn)；觀察有幾個點(diǎn)落在此不規(guī)則平面內(nèi)，記為N0。

則S0≈(N0/N)S，如下圖所示。

利用同樣的方法，我們甚至可以求出相當(dāng)精確的π值。

那么，蒙特卡洛方法如何與我們的二維伊辛模型進(jìn)行結(jié)合呢？根據(jù)此前我們對伊辛模型的介紹我們知道，伊辛模型在一、二、三維都具有相應(yīng)的圖像，分別對應(yīng)著鏈、正方形和正方體。其中，一維伊辛模型具有嚴(yán)格解；二維伊辛模型的嚴(yán)格解很難被理解；三維伊辛模型的嚴(yán)格解則仍是未解之謎。

隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家將難以理解的二維伊辛模型的嚴(yán)格解交給計算機(jī)處理，將其與蒙特卡洛方法結(jié)合之后就是模擬退火算法。模擬退火算法的計算步驟可以歸納如下：首先我們在體系中隨機(jī)的選定一個原子，然后看它是否翻轉(zhuǎn)，假如它翻轉(zhuǎn)我們就去計算翻轉(zhuǎn)前后體系的能量差，然后我們會有一個評價函數(shù)（這個評價函數(shù)由具體研究的體系而決定，而且它往往是進(jìn)行這種算法的核心所在），根據(jù)這個評價函數(shù)我們將可以判斷最初隨機(jī)選擇的那個原子是否可以翻轉(zhuǎn)：如果可以，繼續(xù)選定一個隨機(jī)原子、重復(fù)以上步驟；如果不行，則回到第一步重新選定一個隨機(jī)原子。

這個算法與伊辛模型的聯(lián)系之處在于，它借用了二維伊辛模型網(wǎng)格狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行問題的考慮，并且其中“原子的翻轉(zhuǎn)”就對應(yīng)著二維伊辛模型中一格點(diǎn)原子的兩種自旋狀態(tài)；另外，我們知道，二維伊辛模型只考慮近鄰的作用，所以此時體系能量的改變會與此隨機(jī)原子周圍四個原子的自旋狀態(tài)有關(guān)（它們的自旋狀態(tài)聯(lián)系著它們所具有的能量）。事實(shí)上，體系能量的改變往往是最近鄰四個原子能量改變值總和的四倍。

03

社會學(xué)問題應(yīng)用

你大概不會想到，物理學(xué)領(lǐng)域的伊辛模型也能用于社會學(xué)問題的研究中。我們舉一個例子。

比如歐美地區(qū)現(xiàn)有一個地區(qū)要進(jìn)行選票，每個選民可以選擇支持或反對，這就對應(yīng)著伊辛模型中的兩種可能的自旋狀態(tài)；而這些選民的態(tài)度會受到環(huán)境的影響而發(fā)生變化，比如某個選民本來決定投支持票，但是他于當(dāng)天看到某個新聞或者聽說其他選民的觀點(diǎn)，可能臨時決定投反對票，這就對應(yīng)著伊辛模型中溫度對系統(tǒng)的影響；

最后，選民之間的關(guān)系就對應(yīng)于伊辛模型中格點(diǎn)之間自旋的相互作用，而對每一個選民來說，更可能影響到他最終所投選票的更可能是他的鄰居而不會是住的離他很遠(yuǎn)的人，這樣就完全與伊辛模型中采取的只計入最近鄰相互作用相對應(yīng)。這樣，就能利用伊辛模型對選票及選民的趨勢問題進(jìn)行計算和預(yù)測了。

這組對應(yīng)關(guān)系如下圖所示。