【導(dǎo)圖】

一、基本概念

Ⅰ定義

Ⅱ分類(lèi)1.線(xiàn)性2.n階非線(xiàn)性3.一般式

Ⅲ通解，特解與初值問(wèn)題

Ⅳ齊次方程

二、基礎(chǔ)法

Ⅰ變量分離與齊次方程

Ⅱ邏輯斯蒂方程

三、一階線(xiàn)性微分方程

Ⅰ一階線(xiàn)性微分方程

1定義（1）（非）齊次以及對(duì)應(yīng)（2）齊次的解

2常數(shù)變易法以及非齊次特解

3初值（x0，y0）

Ⅱ伯努利方程的定義及轉(zhuǎn)化

四、高階微分方程

Ⅰ可降階 1 y（n）導(dǎo)=f（x） 2 y’’=f（x，y’）3 y’’=f（y，y’）

Ⅱ高階線(xiàn)性微分方程

1二階齊次：一般式，解的疊加，線(xiàn)性關(guān)系

2二階非齊次：定義及定理

3特解的疊加

4建立齊次與非齊次的聯(lián)系

（1）y1=x+2e*x，y2=x+e*x，y3=x+1

Ⅲ二階常項(xiàng)齊次

Ⅳ二階常項(xiàng)非齊次

五、全微分方程定義及通解

【正文】

一、基本概念

1定義：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者微分的方程

（1）未知為一元：常微分

（2）未知函數(shù)最高階導(dǎo)的階數(shù)稱(chēng)為階

（3）形式：F（x，y，…,y(n)）=0

或：f（x）=y（n）+a1（x）y（n-1）+。。+an（x）

注：y（n）是必須有的

2分類(lèi)

（1）線(xiàn)性n階：y到y(tǒng)（n）的次數(shù)都是1次

（2）否則為n階非線(xiàn)性微分方程

3 通解，特解與初值

（1）基礎(chǔ)：y這個(gè)函數(shù)n階可導(dǎo)，F(xiàn)（x，y，…,y(n)）=0

（2）通解：含有h個(gè)不定常數(shù)的解，h=方程階數(shù)

（3）特解：n階方程需要n個(gè)初值條件來(lái)確定{Cn}

4 特解為積分曲線(xiàn)，而通解為積分曲線(xiàn)族

?

Ⅳ齊次方程

1.定義：dy/dx=f（y/x）

二、基礎(chǔ)法

1變量分離

（1）dy/dx=F(x,y)=f(x)g(y)

dy/g(y)=f(x)dx,

G(y)=F(x)+C

（2）齊次式

①令u=y/x

②dy/dx=u+x du/dx=f（u），∫du/【f（u）-u】=∫dx/x

2邏輯斯蒂方程

（1）核心：假定樹(shù)的增高速度與高度，最高高度與現(xiàn)有高度差成正比

（2）步驟

①建立方程：d h（t）/dt=kh（t）【H-h（t）】

②dh/【h（H-h）】=kdt

③1/H ln[h/（H-h）]=kt+C1

④C2 e*kHt=h/(H-h)

⑤限制性增長(zhǎng)模式：lim（t→∞）h（t）=H

?

三、一階線(xiàn)性微分方程

Ⅰ一階線(xiàn)微

1定義：dy/dx+P(x)y=Q(x)

(1)齊次：Q（x）=0，非齊次：Q（x）≠0

（2）（對(duì)應(yīng)的）齊次通解：y=Ce*(-∫P（x）dx)

2常數(shù)變易法（解決非齊次通解）

（1） y= C（x）e*(-∫P（x）dx)

（2）dy/dx=C’(x) e*(-∫P（x）dx)-P（x）C（x）e*(-∫P（x）dx)

（3）代入定義式：Q(x)=C’(x) e*(-∫P（x）dx)

（4）C(x)=∫Q(x) e*(∫P（x）dx) dx+C

（5）匯總：

①齊次通解：Y（x）=Ce*(-∫P（x）dx)

②非齊特解：y￥（x）= e*(-∫P（x）dx)

∫Q（x）e*(∫P（x）dx)dx

③y= Y（x）+ y￥（x）

3.初值（x0，y0）：將下列式積分號(hào)改為：∫（下x0上x(chóng)），將C改成y0

y=e*(-∫P（x）dx)【C+∫Q（x）e*(∫P（x）dx)dx】

Ⅱ伯努利方程

1定義：dy/dx+P（x）y=Q（x）y*α

2轉(zhuǎn)變

（1）y*（-α）dy/dx+P（x）y*（1-α）=Q（x）

（2）令z=y*（1-α）

①dz/dx=（1-α）y*（-α）dy/dx

②1/（1-α）dz/dx+zP（x）=Q(x)

③dz/dx+（1-α）zP（x）=（1-α）Q(x),（1-α）P（x），（1-α）Q(x)模塊代入

四、高階微分

Ⅰ可降階

1.y（n）=f（x）：n次積分即可

2.y’’=f(x,y’)

（1）令y’= p（x），∴p’=y’’=f(x,p)

(2)y’=φ（x，C1）,y= ∫y’dx=∫φ（x，C1）dx

3.y’’=f(y,y’)

(1)令y’=p(y),∴y’’=p dp/dy=f(y,p)

(2)dy/dx=p=φ（y，C1）,dx=dy/φ（x，C1）

X+C2=∫dy/φ（x，C1）

Ⅱ高階線(xiàn)性微分方程

1二階齊次線(xiàn)性微分方程

（1）y’’+P(x)y’+Q(x)y=0

(2)解的疊加原理：y1(x),y2(x)為上述式子兩個(gè)特解，那么y=C1y1+C2y2也為解，且當(dāng)y1，y2線(xiàn)性無(wú)關(guān)的時(shí)候，y為通解

（3）線(xiàn)性關(guān)系

①線(xiàn)性無(wú)關(guān)：y1/y2≠C(常數(shù))為其充要條件

②線(xiàn)性相關(guān)：?不全為零的{kn}，st Σ（i=1，n） kiyi（x）=0（恒等），則稱(chēng)y1……yn線(xiàn)性相關(guān)

2二階非齊次解

（1）定義y’’+P(x)y’+Q(x)y=f（x）（f（x）不恒等于0，稱(chēng)之為非齊次項(xiàng)）

（2）定理：y*為非齊次的特解，y-為齊次的通解，則y=y-+y*為非齊次的通解

其中y-=C1y1+C2y2

3.特解的疊加

?y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=Σ（i=1，n）fi（x）

若yi*為y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=f i（x）特解，那么

Σ（i=1，n）yi*為y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=Σ（i=1，n）fi（x）特解

4.非齊次與齊次的關(guān)系

（1）若y1，y2為非齊次的特解，則y=y1-y2為對(duì)應(yīng)齊次的解

（2）例子：y1=x+2e*x，y2=x+e*x，y3=x+1

①y1-y2=e*x，y1-y3=2e*x-1

y-=C1e*x+C2(2e*x-1)

②y=x+1+ C1e*x+C2(2e*x-1)

Ⅲ二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性（p，q為常數(shù)）

1. y’’+py’+qy=f（x）

2.令y=e*（rx）

∴e*（rx）（r*2+pr+q）=0，Δ=p*2-4q

（1）p*2-4q＞0，r=-p/2±√Δ/2，解得y=C1e*（r1x）+ C2e*（r2x）

（2）p*2-4q=0，r=-p/2，y=（C1+C2??? x）e*（rx）

（3）p*2-4q＜0，r=-p/2±i√（-Δ）/2，

y=e*（αx）（C1cosβx+C2sinβx）

補(bǔ)充&歐拉公式：e*ix=cosx+isinx

Ⅳ二階常系非齊次（先確定k，然后對(duì)應(yīng)次數(shù)項(xiàng)用待定系數(shù)法）

?

1.f（x）=Pm（x）e*（λx），Pm（x）=a0x*m+……amx*0

令y=x*k Qm(x) e*（λx）

(1) λ*2+pλ+q≠0，則取k=0

（2）λ*2+pλ+q=0，2λ+p≠0，則取k=1

（3）λ*2+pλ+q=0，2λ+p=0，則取k=2

2 f（x）=e*（αx）【P l（x）cosβx+P n（x）sinβx】

（1）y=x*k e*（αx）【Am（x）cosβx+Bm（x）sinβx】，m=max（l，n）

（2）①α+iβ不是特征方程根，則取k=0

①α+iβ是特征方程根，則取k=1

五、全微分方程

Ⅰ定義：若單連通區(qū)域G內(nèi)有?P/?y=?Q/?x，則Pdx+Qdy=0為全微分方程，

du（x，y）=Pdx+Qdy，u（x，y）=C

Ⅱu=∫（下（x0，y0），上（x，y））Pdx+Qdy=C

以ADB曲線(xiàn)積分為例

u（x，y）=∫（下x0上x）P（x，y0）dx+∫（下y0上y）Q（x，y）dy

Ⅲdu=Pdx+Qdy

1. ?u/?x=P，?u/?y=Q

2.u=∫Pdx+φ（y）

?u/?y=?/?y （∫Pdx）+φ’（y）=Q

3. φ’（y）=Q(x,y)- ?/?y [∫P(x,y)dx],再來(lái)一次積分即得