在高中生物學(xué)選擇性必修2第一章第二節(jié)《種群數(shù)量的變化》一課，我們學(xué)到了兩種種群增長的形式——“J”型增長和“S”型增長。

“J”型增長的模型假設(shè)為：在食物和空間條件充裕、氣候適宜、沒有天敵和其他競爭物種等條件下，種群的數(shù)量每年以一定的倍數(shù)增長，第二年的數(shù)量是第一年的倍。

課本上“J”型增長的數(shù)學(xué)模型被表示為：

但事實上這是一個離散函數(shù)，僅能表示第幾年，這就意味著和之間是割裂開的，這更為適用于描述一年生植物和昆蟲等這種世代分離種群的數(shù)量變化。

因此，為了表示世代連續(xù)的種群（如人和多數(shù)獸類）數(shù)量變化，我們將上面的公式改寫為：

其中為自然對數(shù)，為增長率，我們遇到的大多數(shù)種群的數(shù)量變化用這種模型更為合理。

但是，在一些較為復(fù)雜的題目當(dāng)中，卻提到了書中沒有提到的增長速率。

什么是增長速率呢？它和增長率有什么區(qū)別？

事實上，我們可以將增長速率看作是單位時間內(nèi)，種群數(shù)量的增長量，類似于我們學(xué)過的導(dǎo)函數(shù)，即：

增長率則是單位時間內(nèi)種群數(shù)量增長量占種群數(shù)量的多少，即：

從這里我們能夠看出，“J”型增長的增長率是一個常函數(shù)，而增長速率是一個指數(shù)函數(shù)。

說完了“J”型增長，那么“S”型增長呢？

我們可以從“S”型增長的模型假設(shè)想起，“S”型增長的模型正好與“J”型相反——我們將其描述為“現(xiàn)實”環(huán)境，也就是種群的增長會受到種群密度或者說環(huán)境的制約，這種制約我們用表示，隨著種群數(shù)量的增加，制約會由0增長到1（當(dāng)種群數(shù)量達到環(huán)境容納量時）。

那么也就是說，“S”型增長的增長率并不是始終維持在最大——，而是要將乘一個系數(shù)，這個系數(shù)就是，表示在受制約條件下，種群數(shù)量的實際增長率，即

那么，“S”型增長的增長速率為，即邏輯斯蒂方程（logistic equation）：

其積分式為：

其中：

這也是“S”型增長數(shù)學(xué)模型的具體形式，從而得出“S”型增長的增長率為：

“S”型增長的增長速率為：

PS1：曲線圖中各項參數(shù)如下：?；；。

PS2：嘿嘿，回想起來王朝老師在教我的時候說算不出來“S”型增長的增長率我還是記得的。

參考資料：

[1] 孫儒泳. 基礎(chǔ)生態(tài)學(xué)[M]. 高等教育出版社, 2002.