愛因斯坦的廣義相對(duì)論是一個(gè)描述引力作用的基本理論。在這個(gè)理論中，引力是由物體的質(zhì)量和能量引起的時(shí)空曲率所產(chǎn)生的。黑洞是廣義相對(duì)論的一種解，代表了一個(gè)具有極強(qiáng)引力的天體。

要推導(dǎo)出黑洞的具體過程，我們需要從愛因斯坦場(chǎng)方程出發(fā)。愛因斯坦場(chǎng)方程描述了時(shí)空的曲率與物質(zhì)分布之間的關(guān)系：

G_{μν} = (8 * π * G) / c^4 * T_{μν}

其中，G_{μν}?是愛因斯坦張量，表示時(shí)空的幾何屬性；T_{μν}?是能量-動(dòng)量張量，表示物質(zhì)分布；G?是引力常數(shù)，c?是光速。

要求解場(chǎng)方程，我們需要首先確定合適的度規(guī)張量?g_{μν}?來描述時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)。對(duì)于球?qū)ΨQ的黑洞，我們可以選擇 Schwarzschild 度規(guī)（靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)）：

ds^2 = -(1 - 2 * G * M / (r * c^2)) * c^2 * dt^2 + (1 - 2 * G * M / (r * c^2))^(-1) * dr^2 + r^2 * (dθ^2 + sin^2(θ) * dφ^2)

這里，M?是黑洞的質(zhì)量，(t, r, θ, φ)?是 Schwarzschild 坐標(biāo)系。

將 Schwarzschild 度規(guī)代入愛因斯坦場(chǎng)方程，求解場(chǎng)方程。經(jīng)過一系列計(jì)算，我們可以得到對(duì)應(yīng)的能量-動(dòng)量張量?T_{μν}。在 Schwarzschild 度規(guī)中，能量-動(dòng)量張量非零分量?jī)H在對(duì)角線上，即物質(zhì)分布呈球?qū)ΨQ。

當(dāng)考慮一個(gè)靜態(tài)黑洞時(shí)，物質(zhì)分布在無窮遠(yuǎn)處。此時(shí)，我們需要關(guān)注 Schwarzschild 半徑?r_s?的定義：

r_s = (2 * G * M) / c^2

當(dāng)?r < r_s?時(shí)，時(shí)空發(fā)生奇異性，引力無法克服，所有物體都將被吸入黑洞。這個(gè)臨界半徑也被稱為黑洞的視界。

總結(jié)一下，我們從愛因斯坦場(chǎng)方程出發(fā)，選擇合適的度規(guī)張量，求解場(chǎng)方程，得到描述黑洞的 Schwarzschild 解。這個(gè)解給出了黑洞視界的定義以及黑洞引力場(chǎng)的性質(zhì)。