? ? ? ??對球體的研究，也遵循了由特殊到一般的思維途徑。首先我們研究了球體這種規(guī)則的完美幾何體，接著研究了半球體。但是，在平面截球體的過程中，我們可能遇到的更多是一般的截取部分，往往稱其為球缺。球體和半球體的體積公式以及它們的重心位置，我們都已經論述過了，那么，任意截取的球缺的體積又該如何計算呢？在現代數學中，遇到此類問題，大家首先想到的還是積分法，請看百度百科中給出的求法：

? ? ? ?看不懂沒關系，下面開始說人話。對于沒有微積分誕生時期的古人來說，又該如何求任意球缺的體積呢？或者說，我們能不能把它跟我們已經充分掌握的一種幾何體建立關聯呢？這條化歸與轉化之路，是數學研究常用的方法。阿基米德采用了跟球缺的內接圓錐體之間建立關聯，來確定球缺的體積，如果能在二者之間建立比例關系，那么就可以通過圓錐體的體積來求球缺的體積了。我下面給出以下問題，如果您能逐一解答，那么本文剩余的部分就不用再看了，如果不能，再詳細 閱讀我們翻譯的文本。問題如下：

1.如何創(chuàng)建杠桿求任意球缺的體積呢？? ??

2.除了球缺還需要什么立體圖形輔助證明？

3.用切面截立體圖形切面截出了哪些有用的平面圖形？

4.類比命題2球體體積公式的推導過程，這些截面圓之間存在什么樣的數量關系呢？

5.由截面圓之間的關系能推出它們對應的立體圖形之間又有什么樣的平衡關系呢？

6.這些等底等高的立體圖形的重心分別在哪里呢？

7.借助杠桿原理可以得到怎樣的比例關系呢？

8.在圓錐體與球缺之間又存在什么樣的比例關系呢？

9.如何化簡這個比例關系？

10.半球體的相關圓錐與球缺的內接圓錐有什么比例關系呢？

11.球缺與其內接圓錐體之間存在什么樣的比例關系呢？

12.最終的結論是什么？

? ?????在整個過程中，首先建立杠桿系統(tǒng)，然后進行截面分析，借助以往的第二個命題，確立這些截面之間的平衡關系，進而疊加成各自對應的立體圖形，再用杠桿確立這些立體圖形之間的平衡關系，然后再一系列的數量變換和比例換算中，確立球缺與其內接圓錐體之間的比例關系，最終，我們就可以通過圓錐求球缺的體積了。

請看譯文：