平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

平行四邊形的性質(zhì)（菱形的性質(zhì)）①中心對稱圖形

②對邊平行且相等

③對角相等

④對角線互相平分

菱形的定義：1.有一組鄰邊（相鄰的兩條邊）相等的平行四邊形叫做菱形

＊1.菱形是特殊的平行四邊形

2.平行四邊形不一定是菱形

菱形的特殊性質(zhì)：1.菱形是軸對稱圖形（兩條對稱軸，分別是對角線所在的直線）

2.對稱軸互相垂直，菱形的對角線互相垂直（定理）

3.菱形的四條邊相等（定理）

求證：

例題：

①∵AC平分角BAD，角BAD=60°

∴角BAC=角DAC=30°

∵BD=6，AC平分BD/四邊形ABCD為菱形

（∴對角線互相平分）

∴BO=OD=3

（因為30°所對的邊是斜邊的一半）

∴AD=6=AB（菱形的四條邊相等）

∵菱形的對角線互相垂直

∴AO=AC

AO2=AD2-DO2=36-9=27

AO=√27=3√3=OC

AC=AO+OC=3√3+3√3=6√3

②

例三

復(fù)習(xí)

菱形的判定

1.菱形的定義

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

3.四條邊相等的四邊形是菱形

畫圖

例題：

①

∵AB=√5，OA=2，OB=1

根據(jù)勾股定理

OA2+OB2=AB2

AB2-OA2=OB2

5-4=1

OB2=1，OB=1

∴△ABO為Rt△

∠AOB=90°

則∠AOD=90°

AC⊥BD

∴平行四邊形ABCD為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

②

∵AB=√5，OA=2，OB=1

根據(jù)勾股定理

OA2+OB2=AB2

AB2-OA2=OB2

5-4=1

OB2=1，OB=1

∴△ABO為Rt△

∠AOB=90°=∠AOD

∵平行四邊形ABCD

∴AC平分BD

BO=OD

在△ABO和△AOD中

AO=AO

∠AOB=∠AOD=90°

BO=OD

∴△ABO≌△AOD（SAS）

∴AB=AD=√5

∴平行四邊形ABCD為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）

例二

復(fù)習(xí)

菱形四邊相等

菱形的對角線互相垂直且平分

菱形是中心對稱圖形、軸對稱圖形

菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)（菱形是特殊的平行四邊形）

菱形的判定

1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

3.四條邊相等的四邊形是菱形

S菱：低×高

例題

（1）

∵四邊形ABCD為菱形，AC=10cm，

∴AE⊥BD，AE=EC=5cm，BE=ED

∵AB=AD=BC=DC=13㎝

根據(jù)勾股定理

AB2-AE2=BE2=132㎝-52㎝=144㎝=122㎝

即BE=12（㎝）

BD=BE+ED=12+12=24（㎝）

答：對角線BD的長度為24厘米。

（2）

①∵S菱ABCD=S△ABC+S△ADC

AC=10㎝ BE=12㎝

∴S△ABC=（10×12）÷2

S△ADC=（10×12）÷2

（△ABC≌△ADC）

S菱ABCD=S△ABC+S△ADC=2×（10×12）÷2=10×12=120（㎝2）

答：菱形ABCD的面積是120平方厘米。

②∵S菱ABCD=S△BDC+S△ABD

EC=5㎝，BD=24㎝

∴S△BDC=（5×24）÷2

S△ABD=（5×24）÷2

（△BDC≌△ABD）

S菱ABCD=5×24=120（㎝2）

答：菱形ABCD的面積為120平方厘米。

③求四個小三角形的面積，然后相加求出菱形ABCD的面積。

S菱形=其對角線長的乘積的一半

（例：S菱形=120㎝2，一條對角線長10㎝，另一條長24㎝。

兩條對角線相乘等于240㎝2

240÷2=120㎝2

所以菱形的面積會是它兩條對角線積的一半）

例2

擴(kuò)展

矩形

定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

矩形是特殊的平行四邊形

矩形的性質(zhì)：

1.具有平行四邊形的所有性質(zhì)

①中心對稱圖形

②對邊平行且相等

③對角相等

④對角線互相平分

2.矩形是軸對稱圖形（兩條對稱軸，分別是對邊中點所在的直線）

3.矩形的四個角都是直角（定理）

4.矩形的對角線相等（定理）

5.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

例題

思路①：我們已經(jīng)知道四邊形ABCD為矩形，所以BO=1/2AC，即BO=AO（△AOB為等腰三角形）。

題目中給出∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，便可以得知△AOB為等邊三角形（一個等腰三角形中有一個60°，那這個等腰三角形便是等邊三角形）。

因為△AOB為等邊三角形，又得知AB長為2.5，便可以得知三角形另外的兩條邊均為2.5。（就是AO=BO=2.5）

（任取一條對角線，這里拿BO）前面說過四邊形ABCD為矩形，而矩形又有對角線互相平分的性質(zhì)，所以BO=OD=2.5，即BD為5。

②

復(fù)習(xí)

矩形的判定

①矩形的定義（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

②對角線相等的平行四邊形是矩形

③有三個角是直角的四邊形是矩形

例題

思路①：題目要求我們求出平行四邊形ABCD的面積，我們都知道平行四邊形的面積公式是底乘高。

在這題中，我們知道△AOB為等邊三角形，AB為4。我們便可以知道AB=BO=AO=4。

因為整個圖形ABCD是一個平行四邊形，便可以得知對角線互相平分，所以AO=OC=4，即整個AC為8。

（CD也等于4，與上面方法相同，可以得知這個平行四邊形是一個矩形，運用的定理是對角線相等的平行四邊形是矩形）

知道了平行四邊形ABCD是矩形，便可以運用勾股定理求出BC邊或AD邊。

（這里拿BC邊），根據(jù)勾股定理我們可以得出BC2=AC2-AB2=64-16=48，即BC=4√3。

再帶入底乘高的公式中，我們便可以得出4√3×4=16√3。

練習(xí)：

正方形的性質(zhì)和判定

復(fù)習(xí)

正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

正方形是特殊的菱形也是特殊的矩形

正方形的性質(zhì)：

四個角都是直角，四條邊相等（定理）

對邊平行

對角線相等且互相垂直平分（定理）

正方形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，有四條對稱軸

例題

A，一般平行四邊形與菱形的對角線都不會相等

B，一般平行四邊形和矩形對角線不會互相垂直平分，一般平行四邊形的對角線不相等

D，一般平行四邊形和矩形的四條邊不會相等，一般平行四邊和菱形四個角不相等

例2

（1）

思路：因為四邊形ABCD為正方形，所以四條邊相等AB=BC。

所以△ABC為等腰三角形

∠BAC=∠BCA

正方形四個角相等都是90°，所以∠BCA=（180-90）÷2=45°

（2）

思路：因為四邊形ABCD是正方形，所以四條邊相等，對角線互相平分且垂直平分。

我們又知道AO為2，那么BO=OD=OC=2。

根據(jù)勾股定理

a2+b2=c2

（任取一個組合，這里選取AB為斜邊）

4+4=8

AB2=8，AB=2√2。

其余三條邊皆是2√2，因為它是正方形。

正方形的周長便等于4×2√2=8√2

（3）

思路：上一問已經(jīng)求出一條邊的長度為2√2。

正方形的面積公式為底乘高。

即，2√2×2√2=8。

（其他方法不寫了）

（4）

8個

例3

結(jié)論：相等

思路：四邊形ABCD是正方形，所以BC=CD。

F為BC延長線上的一點，DC⊥BF，∠BCD=∠DCF=90°。

題目已經(jīng)說出CE=CF。

兩邊夾一角，△BCE≌△DCF。

所以BE=DF。

復(fù)習(xí)

正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

正方形是特殊的菱形也是特殊的矩形

正方形的性質(zhì)：

四個角都是直角，四條邊相等（定理）

對邊平行

對角線相等且互相垂直平分（定理）

正方形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，有四條對稱軸

例題

思路：已知條件，ABCD為矩形、BE平分∠ABC、CE平分∠DCB、BF∥CE、CF∥BE

BE平分∠ABC可以得到∠ABE=∠EBC

CE平分∠DCB可以得到∠DCE=∠ECB（四個角相等）

BF∥CE（a） CF∥BE（b）

a:∠ECB=∠CBF

b:∠EBC=∠BCF

（四個角相等）

∠EBC+∠CBF=90°=∠EBF（∠ECB=∠CBF，∠ECB+∠EBC=90°）

四邊形BECF兩組對邊分別平行，是平行四邊形。

ΔBEC≌ΔBFC（ASA）

即EB=BF

所以四邊形BECF為正方形（有一組鄰邊相等，且有個角是直角的平行四邊形為正方形）

例2

認(rèn)識一元二次方程1

概念：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）（此形式中，a為二次項系數(shù)，ax2為二次項，b為一次項系數(shù)，bx為一次項，c為常數(shù)項）

例子

例題

（1）二次項系數(shù)：7 一次項系數(shù)：-6

常數(shù)項：0

（2）二元一次方程

（3）分式方程

（4）二次項系數(shù)：1/2 一次項系數(shù)和常數(shù)項：0

（5）一元一次方程

拓展

配方法求解一元二次方程

（1）2x2+3=5 （2）（x+3）2=1

解：2x2=2 解： x+3=±1

x2=1 x?=-2 x?=-4

x?=1 x?=-1

（3）x2+2x+1=5 ＊完全平方公式：

解：（x+1）2=5 （a+b）2=a2+2ab+b2

x+1=±√5 （a-b）2=a2-2ab+b2

x?=√5-1 x?= -√5-1

（4）（x+6）2+72=102

（x+6）2=100-49

（x+6）2=51

x+6=±√51

x?=√51-6 x?= -√51-6

*平方差公式：（a-b）（a+b）=a2-b2（平方差公式與完全平方公式并不相通，也不存在完全平方差公式）

綜合以上例題，方程可以轉(zhuǎn)化成x2=n/（x+m）2=n的形式

（x?不符合題意，因此舍去）

得出x2+px+（p/2）2=（x+p/2）2

例題

解：x2+8x=9

x2+8x+42=9+42

（x+4）2=25

x+4=±5

x?=1 x?= -9

配方法定義：通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法

（1）x2-10x+25=7

解：（x-5）2=7

x-5=±√7

x?=√7+5 x?= -√7+5

（2）x2+2x+2=8x+4

解：x2+2x+2-8x-4=0

x2-6x-2=0

（x-3）2=11

x-3=±√11

x?=√11+3 x?= -√11+3

用公式解一元二次方程

復(fù)習(xí)

公式法定義：

例題

①解：x2-7x=18

x2-7x+(-7/2)2=18+(-7/2)2

(x-7/2)2=18+49/4

(x-7/2)2=121/4

x-7/2= ±11/2

x?=9 x?=-2

②解：a=1 b=-7 c=-18

b2-4ac=49+72=121

121>0

再帶入-b±√b2-4ac/2a=x

7±√121/2×1=x

x?=9 x?=-2

例題2

①解：4x2-4x+1=0

(2x-1)2=0

2x-1=0

x=1/2

②

例3

步驟

例題（4）

①

②

③

④

＊根號下不能有負(fù)數(shù)

用因式分解求解一元二次方程

例題

5x2=4x

解：5x2-4x=0

x(5x-4)=0

①x=0 ②5x-4=0 x=4/5

x-2=x(x-2)

解：(x-2)-x(x-2)=0

(x-2)(1-x)=0

x?=2 x?=1

x2-4=0

解：(x-2)(x+2)=0

x?=2 x?=-2

(x+1)2-25=0

解：[(x+1)-5][(x+1)+5]=0

(x+1-5)(x+1+5)=0

(x-4)(x+6)=0

x?=4 x?=-6

*平方差公式：（a-b)(a+b）=a2-b2

x2-4x+4=0

解：(x-2)2=0

x=2

完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

例題2

3(x-1)2=27

解：3(x-1)2-3×9=0

3[(x-1)-3][(x-1)+3]=0

(x-4)(x+2)=0

x?=4 x?=-2

5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0

解：[5x-(x+1)](x-3)=0

(4x-1)(x-3) =0

x?=3 x?==1/4