無窮乘積——Weierstrass分解定理

2021-12-15 23:35 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

無窮乘積

形如 $%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(1%2Bu_n)$ 的式子稱為無窮乘積，其中 $%5Cleft%5C%7Bu_n%5Cright%5C%7D$ 為一復(fù)數(shù)項(xiàng)或函數(shù)項(xiàng)序列，且 $u_n%E2%89%A0-1$

易知其收斂的必要條件是 $u_n%5Crightarrow0$ ，?而充要條件是 $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cln%20(1%2Bu_n)$ 收斂，

（引理）設(shè) $u_1%2Cu_2%2C%E2%80%A6$ 是復(fù)數(shù)序列，若

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cvert%20u_n%5Cvert%20%EF%BC%9C%5Cinfty$

則

$%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cvert1%2Bu_n%5Cvert%EF%BC%9C%5Cinfty$

證明有經(jīng)典的不等式 $1%2Bx%5Cleq%20e%5Ex$ ，于是 $1%2B%5Cvert%20u_n%5Cvert%5Cleq%20e%5E%7B%5Cvert%20u_n%5Cvert%7D$ ，即

$%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty(1%2B%5Cvert%20u_n%5Cvert)%5Cleq%20e%5E%7B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cvert%20u_n%5Cvert%7D$

又有 $%5Cvert%20a%2Bb%5Cvert%20%5Cleq%5Cvert%20a%5Cvert%2B%5Cvert%20b%5Cvert$ ，于是 $%5Cvert%201%2Bu_n%5Cvert%5Cleq1%2B%5Cvert%20u_n%5Cvert$ ，即

$%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cvert1%2Bu_n%5Cvert%5Cleq%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty(1%2B%5Cvert%20u_n%5Cvert)%5Cleq%20e%5E%7B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cvert%20u_n%5Cvert%7D$

$%5Csquare$

（推論）設(shè) $u_1(z)%2Cu_2(z)%2C%E2%80%A6$ 為區(qū)域 $D$ 的解析函數(shù)項(xiàng)序列，若

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cvert%20u_n(z)%5Cvert%20%EF%BC%9C%5Cinfty$

則

$%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cvert1%2Bu_n(z)%5Cvert%EF%BC%9C%5Cinfty$

? 這是因?yàn)樵趨^(qū)域 D 內(nèi)它們都是有界的 $%5Csquare$

設(shè)一復(fù)數(shù)序列 $%5Cvert%20a_1%5Cvert%5Cleq%5Cvert%20a_2%5Cvert%20%5Cleq%E2%80%A6%2C%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac1%7B%5Cvert%20a_n%5Cvert%7D%3D0$ ，我們將要用這個(gè)序列構(gòu)造一個(gè)以且僅以他們?yōu)榱泓c(diǎn)的全純函數(shù)，

首先，需要構(gòu)造一些能夠表述它零點(diǎn)的因式，對(duì)此給出一下定義：

$E_0(z)%3D(1-z)%2C$

$E_k(z)%3D(1-z)e%5E%7Bz%2B%5Cfrac12z%5E2%2B%E2%80%A6%2B%5Cfrac1kz%5Ek%7D%2Cn%3D1%2C2%2C%E2%80%A6$

稱它們?yōu)?strong>基本因式，下面就要用他們來做一些奇妙的事情了

易知它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)解析且僅以 z=1為零點(diǎn)，設(shè)

$F(z)%3Dz%5Em%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)$

其中? $m%3Dm(F(z)%3B0)$ ?為? $F(z)$ ?在? $z%3D0$ ?處的零點(diǎn)階數(shù)（若? $F(0)%E2%89%A00$ ，則? $m%3D0$ ?）

我們猜測(cè)這是個(gè)整函數(shù)（整個(gè)復(fù)平面上都全純的函數(shù)）且僅以 $z_1%2Cz_2%2C%E2%80%A6$ 為零點(diǎn)（若? $z_r$ ?在當(dāng)中出現(xiàn)了m次，則? $z_r$ ?是? $F(z)$ ?的m重零點(diǎn)）

若我們能證明 $%5Cprod_%7Bn%3Dr%7D%5E%5Cinfty%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)$ 在 $%5Cvert%20z%5Cvert%20%5Cleq%5Cvert%20z_r%5Cvert$ 內(nèi)一致收斂到整函數(shù)，因 $%5Cvert%20z_r%5Cvert%5Crightarrow%5Cinfty$ ，則證明我們的猜想是正確的，因此當(dāng)務(wù)之急是確定k，

（引理）當(dāng)? $%5Cvert%20z%5Cvert%20%5Cleq1$ ?時(shí)，

$%5Cvert%20E_k%5Cleft(z%5Cright)-1%5Cvert%5Cleq%20%5Cvert%20z%5Cvert%5E%7Bk%2B1%7D$

證明當(dāng)k=0時(shí)， $%5Cvert%201-(1-z)%5Cvert%5Cleq%5Cvert%20z%5Cvert$ 成立，當(dāng)k≥1時(shí)，

對(duì) $E_k(z)$ 取導(dǎo)數(shù)，有

$E_k'(z)%3Dz%5Eke%5E%7Bz%2B%5Cfrac12z%5E2%2B%E2%80%A6%2B%5Cfrac1kz%5Ek%7D$

易知僅有z=0為其零點(diǎn)且重?cái)?shù)為k，又有

$E_k(z)-1%3D%5Cint_0%5Ez%20E_k%E2%80%99(s)ds$

對(duì)? $E_k'(z)$ ?積分使得它在z=0處的重?cái)?shù)加1，即? $E_k(z)-1$ ?在z=0處有k+1重零點(diǎn)，因此

$%5Cphi(z)%3A%3D%5Cfrac%7BE_k(z)-1%7D%7Bz%5E%7Bk%2B1%7D%7D$

是全純函數(shù)，即

$%5Cphi(z)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_nz%5En$

并且其中所有? $a_n%5Cge1$ ，因此對(duì)? $%5Cvert%20z%5Cvert%5Cleq1$ ，有? $%7C%5Cphi(z)%7C%5Cle%5Cphi(1)%3D1$ ?，即?

$%7CE_k(z)-1%7C%5Cle%20%7Cz%5E%7Bk%2B1%7D%7C$

$%5Csquare$

由上可知若正整數(shù)k使得

$%5Csum_%7Bn%3Dr%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B%5Cvert%20z%5Cvert%5E%7Bk%2B1%7D%7D%7B%5Cvert%20z_n%5Cvert%5E%7Bk%2B1%7D%7D%3C%5Cinfty$ ?在? $%5Cvert%20z%5Cvert%5Cleq%5Cvert%20z_r%5Cvert$ 內(nèi)成立，則

$%5Csum_%7Bn%3Dr%7D%5E%5Cinfty%20%5Cleft%7C%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)-1%5Cright%7C%5Cle%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz_n%7D%5Cright%7C%5E%7Bk%2B1%7D%3C%5Cinfty$

由前面的引理，可知

$%5Cprod_%7Bn%3Dr%7D%5E%5Cinfty%20%5Cleft%7C%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)%5Cright%7C%3C%5Cinfty$

因?yàn)? $%5Cvert%20z_r%5Cvert%5Crightarrow%5Cinfty$ ?，所以我們得到：若正整數(shù)k滿足

? $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac1%7B%5Cvert%20z_n%5Cvert%5E%7Bk%2B1%7D%7D%3C%5Cinfty$

則

$F(z)%3D%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)$

定義了一個(gè)僅以? $z_1%2Cz_2%2C%E2%80%A6$ ?為零點(diǎn)的整函數(shù)

進(jìn)一步，可以得到：

（Weierstrass分解定理）設(shè)? $F(z)$ ?是整函數(shù)，其零點(diǎn)為? $z_1%2Cz_2%2C%E2%80%A6$ ?，則它有一下無窮乘積展開：

$F(z)%3De%5E%7BH(z)%7Dz%5Em%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20E_k%5Cleft(%5Cfrac%20z%7Bz_n%7D%5Cright)$

其中 H(z) 是一整函數(shù)，m是z=0處的零點(diǎn)重?cái)?shù)

? 因?yàn)? $F(z)$ ?是整函數(shù)，所以存在整函數(shù)? $G(z)$ ?由一無窮乘積給定且以? $F(z)$ ?的零點(diǎn)為零點(diǎn)，若

$P(z)%3D%5Cfrac%7BF(z)%7D%7BG(z)%7D$

因?yàn)? $P(z)$ ?的分子分母在在零點(diǎn)處可以相抵，所以? $P(z)$ ?是無零點(diǎn)的整函數(shù)，即? $P(z)$ ?的對(duì)數(shù)是整函數(shù)，也就是是存在整函數(shù) H(z) ，使

$P(z)%3De%5E%7BH(z)%7D$

所以? $F(z)%3De%5E%7BH(z)%7DG(z)$

$%5Csquare$

正弦函數(shù)的Weierstrass乘積分解

這個(gè)問題就是歐拉（Leonhard?Euler）的成名作：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac1%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D6$

前面我已經(jīng)用Poison求和公式給出了一個(gè)證明，今天來看一看歐拉的方法吧

他最開始給出了一個(gè)非常巧妙的證明，首先他注意到了

$%5Csin%20x%3Dx-%5Cfrac1%7B3!%7Dx%5E3%2B%5Cfrac1%7B5!%7Dx%5E5-%E2%80%A6$

為? $%5Csin%20x$ ?在零點(diǎn)的Taylor展開，

因?yàn)? $%5Csin%20x$ ?的零點(diǎn)為? $0%2C%5Cpm%20%5Cpi%2C%5Cpm%202%5Cpi%2C%5Cpm%203%5Cpi%2C%E2%80%A6$

于是

$%5Csin%20x%3Dcx%5Cleft(1-%5Cfrac%20x%7B%5Cpi%7D%5Cright)%5Cleft(1%2B%5Cfrac%20x%7B%5Cpi%7D%5Cright)%5Cleft(1-%5Cfrac%20x%7B2%5Cpi%7D%5Cright)%5Cleft(1%2B%5Cfrac%20x%7B2%5Cpi%7D%5Cright)%5Cleft(1-%5Cfrac%20x%7B3%5Cpi%7D%5Cright)%5Cleft(1%2B%5Cfrac%20x%7B3%5Cpi%7D%5Cright)%E2%80%A6$

? ? ? ? ? ? $%3Dcx%5Cleft(1-%5Cfrac%20%7Bx%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%5Cright)%5Cleft(1-%5Cfrac%20%7Bx%5E2%7D%7B4%5Cpi%5E2%7D%5Cright)%5Cleft(1-%5Cfrac%20%7Bx%5E2%7D%7B9%5Cpi%5E2%7D%5Cright)%E2%80%A6$

將這個(gè)無窮乘積展開，根據(jù)? $%5Csin%20x$ ?的Taylor展開中的一次項(xiàng)系數(shù)可確定c=1，并且

$%5Csin%20x%3Dx-%5Cleft(%5Cfrac1%7B%5Cpi%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5E2%5Cpi%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5E2%5Cpi%5E2%7D%2B%E2%80%A6%5Cright)x%5E3%2B%E2%80%A6$

對(duì)比三次項(xiàng)系數(shù)可得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cfrac1%7B%5Cpi%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5E2%5Cpi%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5E2%5Cpi%5E2%7D%2B%E2%80%A6%3D%5Cfrac1%7B3!%7D%5C%5C%5CRightarrow%201%2B%5Cfrac1%7B2%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5E2%7D%2B%E2%80%A6%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D6%5Cend%7Baligned%7D$

這就是Euler的證明過程，優(yōu)雅且簡(jiǎn)潔，但實(shí)際上這個(gè)證明存在的一個(gè)問題就是Euler并沒有嚴(yán)格證明? $%5Csin%20x$ ?可以像那樣展開為無窮乘積

ps：其實(shí)歐拉給出過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，但由于這一個(gè)證明太出名了，導(dǎo)致一些人認(rèn)為他沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)證明

考慮? $%5Ccos%20zt%2Ct%5Cin%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ ?，對(duì) t 以周期為 2π 的Fourier級(jí)數(shù)展開，

$%5Ccos%20zt%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D2%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20a_n%5Ccos%20nt%2Bb_n%5Csin%20nt$

之所以這樣展開，是因?yàn)楫?dāng)中的

$b_n%3D%5Cfrac1%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%5Ccos%20zt%20%5Csin%20nt%20%5Cmathrm%20dt%3D0$

即展開式中只有余弦函數(shù)，并且以 2π 為周期展開也提供了許多方便

又通過高端的計(jì)（硬）算，可得

$a_n%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%5Ccos%20zt%5Ccos%20nt%5Cmathrm%20dt%3D(-1)%5En%5Cfrac%7B2z%7D%7Bz%5E2-n%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cpi%20z%7D%7B%5Cpi%7D$

則有：

$%5Ccos%20zt%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cpi%20z%7D%7B%5Cpi%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20(-1)%5En%5Cfrac%7B2z%7D%7Bz%5E2-n%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cpi%20z%7D%7B%5Cpi%7D%5Ccos%20nt$

現(xiàn)在令 t=π ，可得

$%5Ccos%20%5Cpi%20z%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cpi%20z%7D%7B%5Cpi%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B2z%7D%7Bz%5E2-n%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cpi%20z%7D%7B%5Cpi%7D$

$%5CRightarrow%20%5Ccot%20%5Cpi%20z%3D%5Cfrac1%7B%5Cpi%20z%7D%2B%5Cfrac1%5Cpi%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B2z%7D%7Bz%5E2-n%5E2%7D$

根據(jù)上面的定理，由于? $%5Csin%20z$ ?是整函數(shù)，因此它可以由Weierstrass分解定理展開，但是為了方便，我們展開一下乘積：

$%5Csin%20%5Cpi%20z%3De%5E%7BH(z)%7Dz%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(1-%5Cfrac%20%7Bz%7D%7Bn%7D%5Cright)e%5E%7Bz%2Fn%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%20%7Bz%7D%7Bn%7D%5Cright)e%5E%7B-z%2Fn%7D$

$%5CRightarrow%5Csin%20%5Cpi%20z%3De%5E%7BH(z)%7Dz%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(1-%5Cfrac%20%7Bz%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%5Cright)$

取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，可得：

$H'(z)%3D%5Cpi%5Ccot%20z-%5Cpi%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac1%7B%5Cpi%20z%7D%2B%5Cfrac1%5Cpi%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B2z%7D%7Bz%5E2-n%5E2%7D%5Cright)%7D$