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• 上期傳送門:『數(shù)學』幾何難題精講1(隱圓)

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  第一期:幾何難題精講1(隱圓)

  第二期:幾何難題精講2(瓜豆＆胡不歸)(現(xiàn)在你所在的位置)

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  第一至五期:關于圓的最值

  第六期:瓜豆＆胡不歸(此處至少有一人觀看)

? ? ? ??(話說這些傳送門有人看嗎?我應不應該刪掉傳送門呢?)

讀前須知:

? ? ? ??本期內(nèi)容適合備戰(zhàn)中考的同學們觀看,不滿足條件的同學們散了吧.

正文:

? ? ? ? 其實在重慶,中考前有一次指標到校考試,之后才是中考,而中考難度是比指標到校的難度大的,所以說在重慶這邊的同學們刷一些中考的難題還是有用的,因為這樣的話你在本地的指標到?？荚囍幸苍S又可以多得到幾分呢.

? ? ? ? 那我們廢話不多說,看看今天的例題吧.

一.例題

例.(2021重慶B卷)如圖,在等邊三角形ABC中,AB=6,,垂足為D,點E為AB邊上一點,點F為直線BD上一點,連接EF.

? ? ? ? (1)將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連接FG.

? ? ? ? ①如圖1,當點E與點B重合,且GF的延長線過點C時,連接DG,求線段DG的長;

? ? ? ? ②如圖2,點E不與點A,B重合,GF的延長線交BC于H,連接EH,求證:BE+BH=;

? ? ? ? (2)如圖3,當點E為AB中點時,點M為BE中點,點N在邊AC上,且DN=2NC,點F從BD中點Q沿射線QD運動,將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP,連接FP,當最小時,直接寫出△DPN的面積.

? ? ? ? (完了我GD沒連接,你們就當連接了吧)

? ? ? ? (好像下問的PD也沒連接,那么你們也當無事發(fā)生,好吧(╯▽╰))

? ? ? ? 如果要看瓜豆or胡不歸的就跳過這個題吧.

二.講解

? ? ? ? (1)問感覺沒什么好講的,做一條垂線即可.

? ? ? ? 算得.

? ? ? ? 像(2)問這種就是典型的"截長補短"類型的題目,那我們就延長EA至K,使EK=BH.如圖5:

? ? ? ? 當然也可以延長HC至K,使HK=BE.

? ? ? ? 乍一看,△BFH和△KFE是不是像全等呢?那我們就證明它們?nèi)劝?

? ? ? ? 是不是有∠EBH+∠EFH=180°?那么B、E、F、H四點共圓沒錯了.

? ? ? ? 又因為垂直有三線合一,即BD平分∠ABC∠FBE=∠FBH=30°.

? ? ? ? 根據(jù)圓周角定理,有EF=FH沒錯了.

? ? ? ? 又∠BHF+∠BEF=180°和∠BEF+∠KEF=180°,有∠BHF=∠KEF.

? ? ? ? 那就有(SAS)∠FBH=∠FKE=∠FBK=30°,BE+BH=BK.

? ? ? ? 那么△BFK是含120°的等腰△,那就有底邊長為腰長的倍,即.

? ? ? ? 綜上,有BE+BH=.

? ? ? ? 當然,輔助線還可以這樣作:延長BA(BC)至K,使∠BKF=30°(∠BFK=120°).像"截長補短"類型的題輔助線有時有多條,所以別看到這種題輔助線和參考答案不一樣時就認為自己錯了,說不定是想到了出題人沒想到的地方去了呢!

? ? ? ? 對于(3)問呢,我們要先找的最值對吧,那我們肯定先把動點P的軌跡給求出來,看是圓還是直線,這樣才可以判斷用阿氏圓還是胡不歸.

? ? ? ? 那我們就把EQ和MP給連接了.如圖6:

? ? ? ? 連EQ的話是因為中位線,而連MP的話是因為連了EQ后看起來有△EQF和△EMP全等,有全等為什么不證明呢?

? ? ? ? 易得∠BQE=90°,BM=ME=EQ(中點+sin30°),EP=EF,∠BEQ=∠PEF=60°∠MEP=∠QEF.

? ? ? ? 綜上,則有,得∠EQF=∠EMP=90°.

? ? ? ? 乍一看,M是定點對吧,而PM又和定直線AB的夾角是一個定值,那么直線MP是不是一條定直線呢?這就是說,點P的運動軌跡就是射線MP,對吧.

? ? ? ? 其實這前面的過程就是證明一遍瓜豆原理罷了,如果不懂的就先看看下面寫的關于瓜豆的講解吧.

? ? ? ? 那我們就接著講吧.

? ? ? ? 其實這個題的難點就是如何把給轉(zhuǎn)換了,看到你會想到什么呢?有沒有sin30°呢?如果有的話,那么恭喜你,胡不歸的精髓就被你吳彥祖發(fā)現(xiàn)了(什,但確實.

? ? ? ? 我們就過點M作平行于AC的射線,過點P作PR垂直于剛剛作的平行線于R.如圖7:

? ? ? ? 是不是有∠PMR=30°,那就有.

? ? ? ? 那么什么時候NP+RP最小呢?我們來分析一下.

? ? ? ? 由三角形三邊關系,有(當且僅當N、P、R三點共線時等號成立),而線段NR在什么時候最短呢?肯定是NR是垂線段,即NRmin最小了.

? ? ? ? 你看,上面兩個不等式的取等條件是相同的,那兩個不等式綜合起來,NP+RP的最小值就是三點共線的垂線段NRmin了,對吧.

? ? ? ? 題目要我們求的是什么?S△DPN嗎?那就求它吧.

? ? ? ? 那我們先"簡單"標注一下線段的長度吧:

? ? ? ? 易得AM=9/2,DN=2,NC=1則AT=9,CT=3,NT=4,可得.

? ? ? ? 又∠RminND=90°,所以S△DNPmin=.

? ? ? ? 又是輕松解決問題的一天(((┏(;￣▽￣)┛裝完逼就跑

三.方法講解:瓜豆原理＆胡不歸

? ? ? ? 我們先來講解瓜豆原理.

? ? ? ? 問題背景大概如圖9所示:P在一定直線上運動,B為該平面內(nèi)一定點,Q在該平面上且滿足PB=kBQ(k>0),∠PBQ=α°(α為定值),求點Q的運動軌跡.

? ? ? ? 那么遇到類似的題的話,你就可以知道這題用的是瓜豆原理了,而瓜豆原理就是主動點和從動點的軌跡關系,等我們把Q的軌跡求出來就懂了.

? ? ? ? 如圖10,作于C,將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α°至BD所在直線,作于D.

? ? ? ? 易得△BPC∽△BQD(k=1時就不用我說了吧),那么因為C是定點,BC是定直線,可得D是定點,BD是定直線.

? ? ? ? 那么過定直線BD上一點D作該直線的垂線有也只有一條,對吧.而且我們還可以知道DQ是定直線,而且它就是點Q的運動軌跡.

? ? ? ? 為什么要作垂線而不是其他和定直線成β°(β≠90k,k為整數(shù))呢?如果這樣的話,那么過點D作的線的話會出現(xiàn)兩條直線,對吧,而Q的運動軌跡只是一條直線,對吧.所以說在做大題的時候要證明瓜豆原理的話建議還是作垂線好.

? ? ? ? 那么這時肯定存在聽不懂的同學,由于up主寫專欄時間有限,如果有不懂的話可以私信up主或在專欄下方評論,我盡力幫你們講懂.

? ? ? ? 接下來就是胡不歸,我們就不講那個古老的傳說了吧,直接進入問題背景.

? ? ? ? 胡不歸的話一般都是AP是定直線,A是定點,P是動點,B是直線外一定點,連接BP,求kAP+BP的最小值(0<k<1).

? ? ? ? 像這種題的話我們要過點A將直線AP往沒有B點的方向旋轉(zhuǎn)α°,使得sin?α=k,然后過P作PQ垂直于剛剛旋轉(zhuǎn)的直線于Q.

? ? ? ? 那么kPA=PQ,而BP+PQ的最小值就是當B、P、Q三點共線時的線段BQmin.

? ? ? ? 這些應該就是有關于瓜豆原理和胡不歸的講解了吧,有不懂的就私信或評論哈.

四.練習

? ? ? ? 那么下一期的例題我就先放在這里了,感興趣的同學們可以先看看.

例.如圖,經(jīng)過定點A的直線y=k(x-2)+1(k<0)交拋物線于B,C兩點(點C在點B的右側(cè)),D為拋物線的頂點.

? ? ? ? (1)直接寫出點A的坐標;

? ? ? ? (2)如圖13,若△ACD的面積是△ABD面積的兩倍,求k的值;

? ? ? ? (3)如圖14,以AC為直徑作,若與直線y=t所截的弦長恒為定值,求t的值.

? ? ? ? 記得沒錯的話這題好像是武漢的一道題,但題目卻沒有標明出處,但沒事,畢竟B站已經(jīng)有人用視頻講過這個題了,我就不計較什么版權問題了(手動滑稽).

? ? ? ? 誒嘿,這題有點圓錐曲線的味道,但不濃.

? ? ? ? 說這題難的主要原因是這題和圓錐曲線一樣,有含參計算就會難,并且在初中哪個出題人會把圓和二次函數(shù)放在一起啊?那不就是把高中的圓錐曲線給拉來做了嗎?你說對吧.

后記

? ? ? ? ?看在up主盡力周更并且盡心寫這么多的面子下,這個東西不應該少吧:

? ? ? ? 那我們下一期再見咯,ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~.

? ? ? ? 工程鏈接:

? ? (1,2)問:?https://www.desmos.com/geometry/luqnqovbjp?lang=zh-CN ;

? ? (3)問:?https://www.desmos.com/geometry/rkfitjl8eb?lang=zh-CN ;

? ? 瓜豆＆胡不歸:?https://www.desmos.com/geometry/4lhathcq7c?lang=zh-CN .