一、進(jìn)制的原理

1.1 介紹進(jìn)制

在人類社會(huì)中，一個(gè)整數(shù)總是以十進(jìn)制的阿拉伯?dāng)?shù)字表示。（據(jù)說因?yàn)槿擞惺种福?/span>計(jì)算機(jī)中，常用進(jìn)制還有二進(jìn)制、三進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制等。而每個(gè)大于一的正整數(shù)k都可以有對(duì)應(yīng)的進(jìn)制！

對(duì)于大于一的正整數(shù)k，當(dāng)2≤k≤10時(shí)，表示方式一般為阿拉伯?dāng)?shù)字，11≤k≤36時(shí)，一個(gè)數(shù)位上的數(shù)若大于9，則以A~Z表示，其中A表示10，B表示11，以此類推。k≥37時(shí)，由于幾乎不常用，所以表示方法一般使用者自己說明（什么。

可為何k大于一呢？

一一一正? 片? 開? 始一一一

1.2 乘法原理與飲料問題

進(jìn)制計(jì)數(shù)法是用來計(jì)數(shù)的（廢話。十進(jìn)制中，0~9十個(gè)數(shù)字，在n個(gè)有序數(shù)位中出現(xiàn)，可表示出從0到10^n-1這10^n種情況。但為何這10^n種情況總能與10^n個(gè)數(shù)字一一對(duì)應(yīng)？

思考問題：有6個(gè)不同的杯子，編號(hào)從1到7（沒有4），次序不變。也有3種不同的飲料，分別是果汁、可樂和白水。你可以將一種飲料倒入一個(gè)杯子中，但一個(gè)杯子里僅能有一種飲料。選擇杯子并倒飲料后，不考慮飲料多少，只按種類分情況。

問：有多少種倒飲料的選擇？

解：

此時(shí)，一個(gè)杯子中分無、水、果汁、可樂四種情況?/*也可以不倒飲料*/

由乘法原理，六個(gè)杯子，每個(gè)都是四種情況，所以共4^6=4096種情況

答：共4096種選擇

以0表示不倒飲料，1表示水，2是果汁，3是可樂。將杯子看作6個(gè)有序數(shù)位，將最后的情況看作四進(jìn)制的數(shù)字，共4096種情況。十進(jìn)制同理，由乘法原理，得到情況數(shù)，再把數(shù)與情況一一對(duì)應(yīng)即可。因此，一進(jìn)制相當(dāng)于你手中一瓶飲料也沒有，再多的數(shù)位僅能表示一種情況。而一進(jìn)制“逢一進(jìn)一”，可表示的情況僅為0，無法表示更多數(shù)，故k>1。但是否會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或多余的情況使之無法對(duì)應(yīng)？

1.3 數(shù)表示的數(shù)值

在k進(jìn)制中，如何將數(shù)值與情況進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)？這時(shí)應(yīng)比較數(shù)值的大小。

早在小學(xué)二年級(jí)，老師就教過如何比較十進(jìn)制正整數(shù)的大小。先看位數(shù)多少（1919810>114514），位數(shù)相同再一位位地比較數(shù)的大小（514>114）。所以，從1到10^n中所有的情況（包括1與10^n）就可以按相應(yīng)的大小排列。k進(jìn)制依然同理。不過，依照k進(jìn)制的意義（如(1437)k=1*k^3+4*k^2+3k+7），這種比較方式是怎樣得來的？

已知：k進(jìn)制下a、b的形式分別為m位數(shù)、n位數(shù)，m>n

求證：a>b

（a,b,k,m,n∈N*，k>1）

證明：

設(shè)a在k進(jìn)制下表示出的m位數(shù)的最高位上的數(shù)為p

∴p≥1，a≥p*k^(m-1)≥k^(m-1)

∵b在k進(jìn)制下表示出的n位數(shù)的每一位上的數(shù)均小于等于(k-1)

∴b小于等于k進(jìn)制下每一位上的數(shù)均等于(k-1)的n位數(shù)，即

∴b<k^n

∵m>n，m,n∈N*，m-1≥n

∴a≥k^(m-1)≥k^n>b，a>b

Q.E.D.

而a、b位數(shù)相等時(shí)，欲比較大小，則僅需劃掉a、b從左往右數(shù)所有所在數(shù)位相同，且數(shù)相同的數(shù)位，直到出現(xiàn)不同時(shí)，再比較大小。

已知：k進(jìn)制下a、b的形式為m位數(shù)，a、b最高位分別為p、q，p>q

求證：a>b

（a,b,k,m,p,q∈N*，k>1，q<p<k）

證明：

∵由此題與上一題，a≥p*k^(m-1)，b<(q+1)*k^(m-1)，p≥q+1

∴a≥p*k^(m-1)≥(q+1)*k^(m-1)>b，a>b

Q.E.D.

就醬證明了k進(jìn)制下每種表示方法都代表相應(yīng)的數(shù)值，不同的數(shù)代表不同數(shù)值，并將每種表示方法與每個(gè)數(shù)值一一對(duì)應(yīng)，且能規(guī)律地比較大小，保證了1.2中的4096種不同情況（甚至更多種）對(duì)應(yīng)的4096個(gè)不同數(shù)字表示的4096個(gè)不同數(shù)值能夠一一對(duì)應(yīng)。 /*同理，這種方法對(duì)全實(shí)數(shù)比較大小都是可行的*/?（整篇都是沸話（確信

二、進(jìn)制對(duì)正整數(shù)取余的影響

2.1 經(jīng)典定理

眾所周知，小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)老師都教過：

若：n mod 9=p，且n的各數(shù)位上的數(shù)總和為s

則：(n-s)/9∈N，s除以9的余數(shù)必為p

（n,s∈N*，p∈N）

先舉一個(gè)一個(gè)一個(gè)栗子例子：

1+1+4+5+1+4=16，16/9=1······7，114514/9=12723······7（臭死力

證明也很簡(jiǎn)單：

此時(shí)，?k∈N*使10^(k-1)≤n<10^k?/*這里說明n是一個(gè)k位數(shù)*/

設(shè)n的10^(x-1)位?/*即從右往左數(shù)的第x個(gè)數(shù)位*/?上的數(shù)為nx（1≤x≤k，x∈N*），則

而對(duì)于?k1∈N*，必有

∴對(duì)于?q∈{x|1≤x≤k，x∈N*}，都有[nq*10^(q-1)-nq]/9∈N

∴(n-s)/9∈N，s≡n(mod?9)，s與n分別除以9后余數(shù)同為p

Q.E.D.

同理，可用相同的方式證明s≡n(mod 3)，m與n除以3后余數(shù)相同依然成立。

一一一正? 片? 開? 始一一一

2.2 定理在不同進(jìn)制下的拓展

任何數(shù)位終將繩之以法！用“繩子”把數(shù)位“綁”在一起，兩位兩位地算，對(duì)11、33、99成立，三位三位地算，對(duì)111、333、999也成立！而三位對(duì)37成立，五位對(duì)41成立，六位對(duì)7、11、13都成立！原因如下：

若：n mod m=p，且n以k進(jìn)制表示時(shí)各數(shù)位上的數(shù)總和為s

則：當(dāng)(k-1)/m∈N*時(shí)，s除以m的余數(shù)必為p

（k,m,n∈N*，k>1，p∈N）

例如：(1437)9=1087，除以8余7，除以4余3，1+4+3+7=15，除以8余7，除以4余3

證明思路同上：

此時(shí)，?k1∈N*使k^(k1-1)≤n<k^k1

設(shè)k進(jìn)制下，n的k^(x-1)位?/*即從右往左數(shù)的第x個(gè)數(shù)位*/?上的數(shù)為nx（1≤x≤k1，x∈N*），則

設(shè)k2=(k-1)/m，則對(duì)于?k3∈N*，必有

∴對(duì)于?q∈{x|1≤x≤k1，x∈N*}，都有[nq*k^(q-1)-nq]/m∈N

∴(n-s)/m∈N，s≡n(mod m)，s與n分別除以m后余數(shù)同為p

Q.E.D.

/*式子的目的是證明k進(jìn)制下某一數(shù)位上的數(shù)后面有再多的0，這個(gè)“后面只有一堆0的數(shù)”減去“數(shù)的本體”都必然是(k-1)的整數(shù)倍（如十進(jìn)制中20000-2=2*1111*9，9=10-1）*/

這就是十進(jìn)制運(yùn)算下三位對(duì)37成立，五位對(duì)41成立，六位對(duì)7、11、13都成立的原因了！37*27=999，41*2439=99999，7*11*13*27*37=999999，也就是說，十進(jìn)制表示時(shí)，把n位綁在一起，實(shí)際上就是在將以10進(jìn)制表示的數(shù)看作以10^n進(jìn)制表示，把n個(gè)數(shù)位看作一個(gè)更大的數(shù)位，再進(jìn)行運(yùn)算?。ㄓ?strong>費(fèi)馬小定理，k進(jìn)制下，當(dāng)(n+1)為質(zhì)數(shù)，k/(n+1)?Z時(shí)，n位n位地計(jì)算，兩個(gè)總和除以(n+1)的余數(shù)依然相等，且與循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)有一定聯(lián)系。若將1/7、1/13等化為循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度會(huì)與進(jìn)制有關(guān)嗎？欲知后事如何，且聽下回分解）

三、進(jìn)制對(duì)循環(huán)小數(shù)的影響

3.1?分?jǐn)?shù)與循環(huán)小數(shù)的轉(zhuǎn)化

√2是一個(gè)無理數(shù)，化為小數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，即不存在兩個(gè)整數(shù)p、q使p/q=√2。那么，如何證明無理數(shù)一定等價(jià)于無限不循環(huán)小數(shù)呢？僅需證明“實(shí)數(shù)x為有理數(shù)”等價(jià)于“實(shí)數(shù)x為循環(huán)小數(shù)或有限小數(shù)或整數(shù)”。

k進(jìn)制下，整數(shù)不必多說，n位小數(shù)p僅需化為p*k^n/k^n。對(duì)于循環(huán)小數(shù)q，設(shè)[q]為不超過q的最大整數(shù)，{q}=q-[q]，僅需證明{q}∈Q。{q}循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為t，t∈N*，則{q}為純循環(huán)小數(shù)時(shí)，{q}*(k^t-1)∈Z /*小數(shù)點(diǎn)右移t位后小數(shù)部分不變*/?，而k、[q]∈N*，q=[q]+{q}*(k^t-1)/(k^t-1)，q∈Q。若{q}為混循環(huán)小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后第m位開始循環(huán)，m∈Z，m>1，則證明{q}*k^(m-1)∈Q?/*將小數(shù)部分化為純循環(huán)小數(shù)*/?后，將{q}*k^(m-1)除以整數(shù)k^(m-1)便可證{q}∈Q，又因?yàn)閝=[q]+{q}，所以q∈Q。故任意進(jìn)制下，循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)與整數(shù)均為有理數(shù)。

一一一正? 片? 開? 始一一一

而k進(jìn)制下，一個(gè)大于1的正整數(shù)n的倒數(shù)化成分?jǐn)?shù)是1/n，化成小數(shù)不是循環(huán)小數(shù)就是有限小數(shù)。舉栗子：十進(jìn)制中，1/2=0.5=(0.1)2，1/3=0.33…=(0.0101…)2，1/6=0.166…=(0.2)12?/*這里直接化到最簡(jiǎn)，不考慮1=0.99…這類問題*/?。在此，如何證明一個(gè)有理數(shù)在任意進(jìn)制下必能化為循環(huán)小數(shù)或有限小數(shù)或整數(shù)？所化小數(shù)的形式是否又與k有關(guān)？先定義一個(gè)新概念：循環(huán)列。

{m,k}循環(huán)列：

寫作P{m,k}，m,k∈Z，m≥2，k≥2，k與m互質(zhì)，是有窮數(shù)列，首項(xiàng)p1=k mod m，第n項(xiàng)（n>1）pn=(pn-1k) mod m，當(dāng)且僅當(dāng)n=p時(shí)，pn滿足?q∈N*且1≤q≤n使pq=(pn+1k) mod n

例如：P{7,2}={2,4,1}，P{7,9}={2,4,1}，P{5,8}={3,4,2,1}

/*實(shí)際上這是k進(jìn)制中將1/m化為循環(huán)小數(shù)的豎式下的余數(shù)*/

接下來是它的一些性質(zhì)：

pn=(pn-1k) mod m=pn-1(k mod a)=k^n mod m（由余數(shù)乘法定理易證）

P{m,k}的項(xiàng)數(shù)t{m,k}≤(m-1)（由定義，此數(shù)列中任意兩項(xiàng)互不相同，而由k與m互質(zhì)得此數(shù)列的每項(xiàng)僅有m-1種可能）

P{m,k}末項(xiàng)為1（由k與m互質(zhì)，對(duì)?a,b∈Z使a mod m≠b mod m，必有ak?mod m≠bk?mod m，由定義知數(shù)列末項(xiàng)的k倍除以m的余數(shù)必為數(shù)列首項(xiàng)，故末項(xiàng)必為1）?/*它循環(huán)的特點(diǎn)正能體現(xiàn)走馬燈數(shù)的原理*/

已知：p∈Z，q∈N*

求證：?k∈Z且k>1，有p/q在k進(jìn)制下必可化為整數(shù)或有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

證明：

設(shè)m=p mod q，則m∈N

當(dāng)m=0時(shí)，p/q∈Z

當(dāng)m>0，?n∈N*使k^n mod q=0時(shí)，k^n/q∈Z，p/q=p*(k^n/q)/k^n?/*就是左移整數(shù)p*(k^n/q)的小數(shù)點(diǎn)n位*/?，此時(shí)p/q可化為有限小數(shù)

當(dāng)m>0，?n∈N*使k^n mod q>0，k與q互質(zhì)時(shí)，

????設(shè)1/q小數(shù)點(diǎn)后第x位上的數(shù)為qx，2≤a≤t{q,k}且a∈Z，P{q,k}上第a項(xiàng)為pa，

????則q1*q+p1=k，qa*q+pa=kp(a-1)

????∵P{q,k}末項(xiàng)為1

????∴q(t{q,k}+1)=q1，1/q在k進(jìn)制為純循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為t{q,k}

????∴m/q在k進(jìn)制為純循環(huán)小數(shù)?/*把每個(gè)循環(huán)節(jié)里的數(shù)乘m都不會(huì)進(jìn)位，因?yàn)閙/q<1*/

? ? ∴由m=p mod q，得(p-m)/q∈Z，此時(shí)p/q=(p-m)/q+m/q，p/q為純循環(huán)小數(shù)

當(dāng)m>0，?n∈N*使k^n?mod q>0，k與q不互質(zhì)時(shí)，

????∴此時(shí)q必為合數(shù)，可令q=n1*n2，其中n1,n2∈N*，?n∈N*使k^n mod n1=0，k與n2互質(zhì)

????∴同理得1/n2在k進(jìn)制為純循環(huán)小數(shù)，k^n/n1∈Z，(k^n/n1)/n2為純循環(huán)小數(shù)

????∴k^n/q為純循環(huán)小數(shù)，1/q為混循環(huán)小數(shù) /*左移k^n/q的小數(shù)點(diǎn)n位*/?，p/q為循環(huán)小數(shù)

∴綜上，p/q在任意進(jìn)制下必可化為整數(shù)或有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

Q.E.D.

現(xiàn)已證明“實(shí)數(shù)x為有理數(shù)”等價(jià)于“實(shí)數(shù)x為循環(huán)小數(shù)或有限小數(shù)或整數(shù)”，同時(shí)還得到了一個(gè)結(jié)論：當(dāng)m,k∈N*，k≥2，m≥2時(shí)，若?n∈N*使k^n mod m=0，則k進(jìn)制下，1/m為有限小數(shù)，若?n∈N*使k^n mod m>0，則k進(jìn)制下，當(dāng)k與m互質(zhì)時(shí)，1/m為純循環(huán)小數(shù)，當(dāng)k與m不互質(zhì)時(shí)，設(shè)(k,m)=n1，1/m為混循環(huán)小數(shù)，且不循環(huán)數(shù)位的位數(shù)等于n1分解質(zhì)因數(shù)后，指數(shù)最高的一項(xiàng)的指數(shù) /*例如16200=2^3*3^4*5^2，其指數(shù)最高項(xiàng)的指數(shù)就是4*/ ，并非只和2、5有關(guān)。

3.2 費(fèi)馬小定理、循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度與走馬燈數(shù)

不難發(fā)現(xiàn)，m為質(zhì)數(shù)時(shí)，t{m,k}≤(m-1)，且必為(m-1)的因數(shù)，可以通過費(fèi)馬小定理證明，且根據(jù)P{m,k}的定義易得，此時(shí)1/m的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度等于t{m,k}。故當(dāng)m為質(zhì)數(shù)，且k/m?Z時(shí)，k進(jìn)制下的1/m必被化為純循環(huán)小數(shù)，且循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度必為(k-1)的因數(shù)，例如1/7=(0.032412032412…)5=(0.001001)2…。

眾所周知，142857事一個(gè)一個(gè)走馬燈數(shù)，但它從乘1到乘6能剛好轉(zhuǎn)一圈的這條性質(zhì)，僅在十進(jìn)制下成立，因?yàn)閘g(142857*7+1)=6。同理，2232也可以從1乘到6也可以轉(zhuǎn)一圈，但需化為五進(jìn)制，得到2232=(32412)5。這里提下1/13的循環(huán)節(jié)，其長(zhǎng)度有六位，是12的一半，76923也是走馬燈數(shù)之一，而1也可以當(dāng)走馬燈數(shù)，僅需從1乘到6，再轉(zhuǎn)化為2進(jìn)制，接下來對(duì)比1/7到6/7的二進(jìn)制形態(tài)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們具有相似的特征。

本質(zhì)上，若n為質(zhì)數(shù)，且k不是n的整數(shù)倍，則1/n在k進(jìn)制的循環(huán)節(jié)就一定是k進(jìn)制的走馬燈數(shù)，關(guān)鍵是選對(duì)進(jìn)制。由P{n,k}的定義可輕易證明這一點(diǎn)。當(dāng)t{n,k}=n-1時(shí)，由費(fèi)馬小定理，對(duì)?a∈N*且1≤a≤n-1，都?b∈N*且1≤b≤n-1，使k^b≡a(mod n)。所以將a/n化為循環(huán)小數(shù)的豎式中，出現(xiàn)的余數(shù)種類不變，只有次序在改變 /*還得是最左邊一個(gè)跳到最右邊那種*/ ，進(jìn)而引發(fā)所得循環(huán)節(jié)的“走馬燈”。同理，t{n,k}<n-1時(shí)，走馬燈現(xiàn)象的產(chǎn)生也是由于余數(shù)次序的改變，只因余數(shù)種類改變導(dǎo)致“走馬燈”種類不同 /*由費(fèi)馬小定理，t{n,k}必為(n-1)的真因子，而走馬燈種數(shù)為(n-1)/t{n,k}*/ ，但循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度依然不變。

在n不是質(zhì)數(shù)，且k進(jìn)制下，1/n為純循環(huán)小數(shù) /*此時(shí)k進(jìn)制下，n所有質(zhì)因數(shù)的倒數(shù)必為純循環(huán)小數(shù)*/?時(shí)，1/n的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度又是多少？此時(shí)僅需將n分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)余數(shù)乘法定理，便可證得其循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為k進(jìn)制下，n所有質(zhì)因數(shù)倒數(shù)的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度的最小公倍數(shù)。由P{n,k}的共性，即使n不是質(zhì)數(shù)，也有一定走馬燈的性質(zhì) /*如1/30=(0.01430143…)7，7/30=(0.14301430…)7，此后每乘7，小數(shù)部分就循環(huán)一次*/?。

四、進(jìn)制中的創(chuàng)新（純整活）

4.1 坤進(jìn)制

“巔峰產(chǎn)生虛偽的擁護(hù)，黃昏見證虔誠的信徒。”數(shù)學(xué)界有一練習(xí)時(shí)長(zhǎng)兩年半的常數(shù)為坤，1坤=2.5?？梢园?/span>籃球和雞有理數(shù)與整數(shù)聯(lián)系在一起，再根據(jù)進(jìn)制的定義，造出“坤進(jìn)制”。

在這個(gè)新進(jìn)制中，1還是1，2還是2，而3呢？結(jié)果大約是：(10.1011100001101……)坤≈3……

不過，像坤進(jìn)制，甚至所有大于1的非整數(shù)進(jìn)制，有一個(gè)共同的性質(zhì)：若兩個(gè)正有理數(shù)a,b表示為坤進(jìn)制后小數(shù)點(diǎn)右側(cè)部分為0，左側(cè)部分分別為(m+1)位數(shù)與m位數(shù)（m∈N*），卻不一定說明a>b。接下來是對(duì)這個(gè)現(xiàn)象的證明。

已知：k進(jìn)制下a,b小數(shù)點(diǎn)右側(cè)為0，左側(cè)分別為(m+1)位數(shù)與m位數(shù)

求證：?a,b∈Q，?m∈N*，使a<b

（a,b,k∈Q，k?N*，m∈N*，a>0，b>0，k>1）

例如：坤進(jìn)制中，(100)坤=6.25，(22)坤=7

證明：

設(shè)[x]為不超過x的最大整數(shù)，則a與b在k進(jìn)制下每一數(shù)位中的數(shù)必然小于等于[k]

可令a=k^m，并將a表示為1后連續(xù)m個(gè)0的形式

可令b=[k](k^m-1)/(k-1)，并將b表示為連續(xù)m個(gè)[k]的形式

∵k?N*，k>1

∴[k]/(k-1)>1

∵k^m/(k^m-1)=1/(1-1/k^m)>1，k>1，x∈N*時(shí)易得函數(shù)f(x)=1/(1-1/k^x)單調(diào)遞減

∴可得

∴k>1，x∈N*時(shí)，f(x)=k^x/(k^x-1)單調(diào)遞減且收斂于1

∴?m∈N*，使1<k^m/(k^m-1)<[k]/(k-1)

∴?m∈N*，使k^m<[k](k^m-1)/(k-1)，此時(shí)a<b

Q.E.D.

這就是小數(shù)進(jìn)制難以作常用進(jìn)制的原因之一，有些整數(shù)難以寫出來……甚至連比較大小都很麻煩……實(shí)在是難以捉摸（個(gè)人水平就到這了……）……不過，厲不厲害你雞坤哥！

4.2 函數(shù)進(jìn)制與數(shù)位的命名

一般地，一個(gè)k進(jìn)制數(shù)每個(gè)數(shù)位均為逢k進(jìn)一，因此能夠使k進(jìn)制下表示為1后連續(xù)n個(gè)0的整數(shù)代表的值為k^n。接下來可以思考：如果不同的數(shù)位本應(yīng)“逢k進(jìn)一”，所逢的“k”卻不一定相同，那么這種計(jì)數(shù)方法會(huì)有怎樣的特點(diǎn)呢？

先回憶1.2中的飲料問題。若加一些限制，例如2、5、7號(hào)（沒錯(cuò)還是沒有4杯子不能倒入可樂，又有多少種倒飲料的方法？解決方法就是擱積吧乘法原理，共(43)*(33)=1728種?；鲾?shù)字看待，可以看作一個(gè)六位數(shù)，且從左往右數(shù)，奇數(shù)位逢四進(jìn)一，偶數(shù)位逢三進(jìn)一，能在這種新的進(jìn)制中表示出1728種不同的數(shù)值。為此，可定義一個(gè)新概念——函數(shù)進(jìn)制。

函數(shù)進(jìn)制：

f(x)進(jìn)制中，f(x)定義域?yàn)閆，值域?yàn)镸，M滿足M?N*，而且

/*說白了就是不能讓滿足f(x)>1的x值有限*/

其中x<0時(shí)，f(x)表示小數(shù)點(diǎn)后第|x|位逢f(x)進(jìn)1，x≥0時(shí)，f(x)表示小數(shù)點(diǎn)前第(x+1)位逢f(x)進(jìn)1

例如：2^|x|進(jìn)制中，1=(10)2^|x|，2=(100)2^|x|，4=(200)2^|x|，0.5=(0.1)2^|x|，1/3=(0.0255A…)2^|x|??/*我們?nèi)晕粗?/3在2^|x|進(jìn)制下是否為循環(huán)小數(shù)*/

在這幾個(gè)例子中，數(shù)的最末位一直是0，這是因?yàn)?^0=1，所以個(gè)位上只能填0，要是填1，就會(huì)被進(jìn)到從右往左數(shù)的第二位，這個(gè)數(shù)位，我們依然將其稱之為——“個(gè)位”。原因很明顯，一個(gè)數(shù)位的名稱，取決于在這個(gè)數(shù)位填1而其他數(shù)位均為0時(shí)，這個(gè)數(shù)表示的大小。 /*默認(rèn)小數(shù)點(diǎn)左側(cè)所有數(shù)位中離小數(shù)點(diǎn)最近的數(shù)位為個(gè)位*/

所以，f(x)進(jìn)制中，為防混淆，稱默認(rèn)的個(gè)位為初個(gè)位。以位于初個(gè)位左側(cè)且與之相鄰的數(shù)位開始，從右往左，第n個(gè)個(gè)位稱為左n個(gè)位，并可以通過同樣方式命名右n個(gè)位。

(2310)2^|x|的值是？此時(shí)定義新概念：位峰與位價(jià)。若f(x)進(jìn)制中某數(shù)位逢f(x0)進(jìn)一，則此數(shù)位位峰為f(x0)。默認(rèn)個(gè)位的位價(jià)為1。f(x)進(jìn)制中，小數(shù)點(diǎn)前第n位（n>1）與小數(shù)點(diǎn)后第m位的位價(jià)分別等于

特別地，若f(x)=C， /*表示常函數(shù)*/ 則f(x)進(jìn)制中，小數(shù)點(diǎn)前第n位（n>1）與小數(shù)點(diǎn)后第m位的位價(jià)分別為C^(n-1)與C^(-m)。此時(shí)，我們便可以位價(jià)命名數(shù)位，例如2^|x|進(jìn)制中，(2310)2^|x|的2在8位，3在2位，1在左1個(gè)位，2在初個(gè)位，將數(shù)位上的數(shù)分別乘數(shù)位的位價(jià)，可得(2310)2^|x|=23，此時(shí)它意味著2*8+3*2+1*1=2*10+3*1。 /*可通過這種方式命名位價(jià)相同的非個(gè)位數(shù)位，如“左m十位”“右n六分位等”，但不必?fù)?dān)心一個(gè)數(shù)會(huì)有多種表示方法，因?yàn)闊o論造成位價(jià)相同的那個(gè)數(shù)位的位價(jià)是多少，其位峰必為1，數(shù)位上的數(shù)字必為0*/

4.3 函數(shù)進(jìn)制中大小的比較與運(yùn)算的特征

若規(guī)定f(x)進(jìn)制中每一數(shù)位的位峰均為整數(shù)，則兩個(gè)f(x)進(jìn)制的正整數(shù)依然能用1.3中的經(jīng)典比大小方式，根據(jù)位數(shù)與數(shù)位上的數(shù)進(jìn)行比較。對(duì)于f(x)進(jìn)制下的k位整數(shù)m，k∈N*，能夠輕易得到f(x)進(jìn)制下，m大于或等于1后連續(xù)(k-1)個(gè)0所表數(shù)值，m小于等于所有數(shù)位上的數(shù)均為其位峰減一的k位數(shù)所表數(shù)值，且1后連續(xù)k個(gè)0的(k+1)位整數(shù)減1必等于所有數(shù)位上的數(shù)均為其位峰減一的k位數(shù)。通過這些理論，便可通過數(shù)位的多少與數(shù)位上數(shù)的大小比較兩個(gè)f(x)進(jìn)制的整數(shù)。同理，f(x)進(jìn)制小數(shù)的大小也可用相同方法比較。

C進(jìn)制 /*常函數(shù)*/ 下，把x乘C，相當(dāng)于右移小數(shù)點(diǎn)一位，除以C則是左移一位，但這種簡(jiǎn)便運(yùn)算方式僅對(duì)常函數(shù)進(jìn)制有用。乘C本質(zhì)上是“將所有數(shù)位上的數(shù)翻C倍，若達(dá)到位峰再進(jìn)位”，而對(duì)C進(jìn)制，可理解為“將所有數(shù)位的位價(jià)翻C倍再調(diào)整小數(shù)點(diǎn)”。因此，僅當(dāng)數(shù)位的位峰為C時(shí)，這個(gè)數(shù)位上的數(shù)才滿足C倍的自己進(jìn)到下一位上的數(shù)依然是自己。但f(x)進(jìn)制中，只要f(x)不是常函數(shù)，這種簡(jiǎn)單移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的方式就不行，因?yàn)楸赜袛?shù)位的位峰不是C。

韓信帶凈化，任何數(shù)位終將繩之以法！（梅開二度）依然是用“繩子”把數(shù)位“綁起來”，再把被綁在一起的多個(gè)數(shù)位看作一個(gè)整體，位峰為其中所有數(shù)位的位峰之積，若是個(gè)位，則位價(jià)為1，反之，則根據(jù)公式定義。而幾個(gè)小的數(shù)位上的數(shù)字的大小、排序決定“大數(shù)位”上的“數(shù)”，也就是這個(gè)數(shù)值。若f(x)是周期為T的函數(shù)，T∈N*，便可T位T位地綁在一起，方便進(jìn)行運(yùn)算。

數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)的思想與認(rèn)識(shí)似乎被幾何“骨”化了，只看本質(zhì)，忘記表面……

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