一、整體感受

要多寫，多理解，一道題寫上三遍體會更深

二、需要掌握的

1、單調(diào)有界定理及其常用性質(zhì)（下會給出證明，證明過程多寫幾遍，多理解、真題中可以直接用到這個性質(zhì)，書寫該定理證明可充分復(fù)習(xí)單調(diào)有界原理、確界原理以及上下確界的理解深化）

2、歸結(jié)原則

3、致密性定理：有界函數(shù)必有收斂子列

4、區(qū)分間斷點類型（第一類：可去、跳躍；第二類）

(1)個人理解：

①對于可去間斷點而言，它的左右極限存在且相等，可以記為A，但是呢要么該點無定義，要么這個點處函數(shù)值不等于該點的極限值A(chǔ)；

注意：左右極限存在且相等是可去間斷點的特征！

②對于跳躍間斷點呢，是左右極限存在，但是不相等.

尤其是在單調(diào)情況下，如果是間斷點，必然是跳躍間斷點！因為如果是可去間斷點，那么左右極限存在且相等，這一點就符合連續(xù)的定義了！！

③第二類呢就是至少有一側(cè)不存在極限（比如極限趨于+∞）

(2)七道習(xí)題說明間斷點如何區(qū)分[數(shù)分上P71，Ch4.1習(xí)題2]

4、證明連續(xù)性的五種方法（利用定義、左右極限、序列語言、鄰域語言、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)五種）

三、具體真題

本節(jié)內(nèi)容有點多，分成三部分

（一）是每日一題Day10的真題及其補充

（二）是函數(shù)單調(diào)性與連續(xù)性的真題總結(jié)

（三）是裴中關(guān)于連續(xù)性證明與應(yīng)用部分的9道真題，注意其中講述的五種連續(xù)性的證明方法

（一）每日一題Day10的真題及其補充

1【安徽大學(xué)】

①假設(shè)單增

②然后反證，若不連續(xù)，存在一個點x0，使得x0為f(x)的間斷點

③利用單調(diào)有界定理的常用性質(zhì)得到左極限和右極限存在，而且滿足f(x0-0)≤f(x0)≤f(x0+0)

④下證等號取不到，反證，如果取到說明x0連續(xù)，與假設(shè)的這個間斷矛盾，所以必定有左極限嚴(yán)格小于右極限；

⑤因此任取一點ξ滿足它大于左極限同時小于右極限，而且≠f(x0)，這個點ξ必然屬于【f(a),f(b)】；

任取x∈[a,x0），有f(x)≤f(x0-0)<ξ；

任取x∈(x0,b]，有f(x)≥f(x0+0)>ξ.這說明f(x)在[a,b]上取不到ξ，這與已知的f(x)可取到f(a)與f(b)之間一切值矛盾，于是連續(xù)。

⑥另外，對端點a和b，只需考慮單側(cè)極限也可得到矛盾。

綜上，f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù).

2【電子科大】

①先設(shè)出g的值域為I

②用反證法說明f在g的值域上連續(xù)，

若f在g的值域上不連續(xù)→則存在u0∈I，s.t.f在u0處不連續(xù)（這一步容易寫錯，多寫幾遍）

③則存在｛un｝包含于I，滿足un→u0(n→∞），但不滿足f(un)→f(u0)(n→∞）

④現(xiàn)在設(shè)｛xn｝包含于【a,b】，滿足g(xn)=un，由于｛xn｝是有界數(shù)列，所以一定存在收斂子列（致密性定理），為了方便，不妨設(shè)｛xn｝收斂且極限為x0,顯然x0∈[a,b]（因為｛xn｝自身也是｛xn｝的子列）

⑤由于g在【a,b]上連續(xù)，可得g(x0)=u0;

⑥再結(jié)合fog在【a,b】上連續(xù)，可得f(un)→f(u0)（n→∞），這與③矛盾.

因此綜上，f在g的值域上連續(xù)。

【多寫幾遍，⑤和⑥的細(xì)節(jié)我這里省略了，是需要多寫幾次的，細(xì)節(jié)看圖片】

3【華南理工】

①利用有界性，找個M，然后寫出有界的定義

②利用題干函數(shù)迭代式得到F（0）=0

③再次利用題干迭代式得到F（x)=F(a^n*x)/b^n

④對于M/b^n→0（n→∞），寫出定義式，特別當(dāng)n=N時候，得到M/b^N→0（n→∞），這說明M/b^N＜ε

⑤取δ=1/aN，當(dāng)0<x<δ,s.t.a^N*x∈（0，1）

⑥|F(x)-F（0）|＜ε，這說明F（x）在x=0處右連續(xù).

【下補充兩道類似習(xí)題2022天大和華師大以及課本Ch3總練習(xí)題10+11】

4【北師大】

屬于這六道題中最難的一道，需要至少寫三遍

思路很清晰的，就是利用M（x）單調(diào)遞增，說明每一點單側(cè)極限都存在(題1也用到了），然后只要證明M（x0-0）=M(x0)=M(x0+0)即可，分兩步證，一個證左極限=M（x0）,一個證右極限=M(x0)；最后利用x0任意性，就知道M（x）在【a,b】上連續(xù)。

（細(xì)節(jié)請見圖，證右極限時候還要用一下反證法）

【補充一道上確界的題目，如果是下確界相應(yīng)符號取反即可】

5【北師大】

考察了一個壓縮映射

思路：先證存在性，再證唯一性

【補充CMC初賽二屆數(shù)學(xué)類題一】

6【中國科大】

法一：知道絕對值函數(shù)的性質(zhì)后避免分類討論做

法二：如果不知道這個絕對值函數(shù)的性質(zhì)用分類討論也可做出來

思路就是最后逼迫這個f=0即可

【補充：Ch4.1習(xí)題4，對于一些連續(xù)性質(zhì)說明、比如取絕對值/平方后是否還連續(xù)的證明】

（二）函數(shù)單調(diào)性與連續(xù)性的真題總結(jié)

（三）裴中關(guān)于連續(xù)性證明與應(yīng)用部分的9道真題，注意其中講述的五種連續(xù)性的證明方法