牛頓306、有界函數(shù)，無界函數(shù)

有界是指有上界或者有下界中的一個即可，還是既有上界又有下界？——網(wǎng)友提問

…有、界、有界：見《牛頓303~305》…

2021-07-20，百度網(wǎng)友78f12a1：既有上界又有下界。

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函數(shù)f在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是：在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

舉例，一般來說，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間具有有界性。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

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例如：y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函數(shù)值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。

…變、化、變化：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

2017-12-10，百度網(wǎng)友bc649d2：有界指的是存在M>0，|f（x）|<M成立。
所以-M<f（x）<M。
因此既有上界，又有下界。

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……

2020-11-08，網(wǎng)友“菠蘿的學(xué)堂”發(fā)布名為《【極限】第四節(jié) 極限運算法則》的文章。（19人贊同了該文章）

…極、限、極限：見《歐幾里得218~303》…

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

文章內(nèi)容：

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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極限運算法則就像加減乘除四則運算一樣，是一種計算規(guī)則，那么極限也有屬于它自己的一套計算規(guī)則。

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…規(guī)、則、規(guī)則：見《牛頓75》…

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極限運算法則的常用定理

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

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定理1、兩個無窮小的和是無窮小

有限個無窮小之和也是無窮小

…無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280》…

…和：見《牛頓35》…

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定理2、有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

…有：見《歐幾里得25》…

…界：見《歐幾里得47》…

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有界函數(shù)（百度百科）：

有界函數(shù)是：設(shè)f（x）是區(qū)間E上的函數(shù)，若對于任意的x屬于E，存在常數(shù)m、M，使得m≤f（x）≤M，則稱f（x）是區(qū)間E上的有界函數(shù)。其中m稱為f（x）在區(qū)間E上的下界，M稱為f（x）在區(qū)間E上的上界。

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等價定義

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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設(shè)f（x）是區(qū)間E上的函數(shù)。若對于任意屬于E的x，存在常數(shù)M>0，使得|f（x）|≤M，則稱f（x）是區(qū)間E上的有界函數(shù)。

例：正弦函數(shù)sin x 和余弦函數(shù)cos x為R上的有界函數(shù)，因為對于每個x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

…R：實數(shù)（Real number）…

[…Real（英文）：adj.真實的；真正的；真的；實際存在的；非憑空想象的；正宗的；非假冒的；非人工的；確實的。

adv.非常；很。

n.現(xiàn)實；實在；實數(shù)…

…number：n.數(shù)字；數(shù)；數(shù)量；編號；序數(shù)；（電話、傳真等的）號碼。

v.標號；給…編號；總計；共計；數(shù)以…計；把…算作；（被）歸入…]

附：

無界函數(shù)（百度百科）：無界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說，函數(shù)y=f（x）在定義域上只有上界（或只有下界）；或者既沒有上界又沒有下界，稱y=f（x）在定義域上無界。在定義域無界的函數(shù)稱為無界函數(shù)?。

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“對于極限的運算，主要就是化簡，替換。

請看下集《牛頓307、極限計算規(guī)則》”

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