上一篇over了弧度制和角度制，那么接下來(lái)，就是函數(shù)了

是誰(shuí)這么天才定義了sin，cos，tan，cot。。。。不過(guò)這就不溯源了。。。

直接來(lái)，如何將sin函數(shù)作圖——這里用到了向量，平面幾何的時(shí)候才把向量給介紹了吧，感覺(jué)向量跟三角應(yīng)該同時(shí)教。。。

單位圓中，sin函數(shù)就變成了圓周上的點(diǎn)向x軸做垂線，方向是向圓周方向

于是把α從圓周變成x軸，sinα向量順勢(shì)展開(kāi)，就繪制成了sinα函數(shù)

而cos函數(shù)，則是原點(diǎn)到垂點(diǎn)之間的向量，指向垂點(diǎn)方向

這展開(kāi)得把x軸拉起來(lái)，cosα拍出去

tanα是向量的比——把向量過(guò)完了，也沒(méi)有看到向量這么比，百度確認(rèn)了，好像是沒(méi)有意義

不過(guò)，還是可以通過(guò)垂點(diǎn)到圓周和到原點(diǎn)距離來(lái)理解tanα的周期變化，在α為0時(shí)0，到α為90°-時(shí)無(wú)窮大，90°+時(shí)負(fù)無(wú)窮大，到了180°時(shí)又到了0

然后就到了三角函數(shù)的變換

先從cos（α-β）開(kāi)始，我想先去復(fù)習(xí)向量的運(yùn)算。。。。

首先，兩向量垂直，則積為0，不垂直的兩向量相乘，對(duì)其中一個(gè)向量做分解，分解為垂直另一向量和平行的分解，再用分配率，平行基向量相乘=1，模是向量模*cos夾角

。。。ok

所以，cos（α-β）=向量a*向量b，向量起點(diǎn)都是原點(diǎn)，所以就是兩點(diǎn)坐標(biāo)乘積（cosα，sinβ）*（cosβ，sinα），整理下

延展下，求cos和

怎么求sin（α-β）

哎，我苦思了半天，回憶不起來(lái)了，還是看筆記吧。。。

我要哭了

sinα和cosα的關(guān)系，我只想到了個(gè)平方和，直接怎么換根本想不起來(lái)

原來(lái)是sinα=cos（π/2-α），嗚嗚嗚，這個(gè)用單位圓里向量很容易看就是這樣的啊

然后推導(dǎo)簡(jiǎn)直簡(jiǎn)單QAQ，我保證自己再也不會(huì)忘記！在費(fèi)勁思考了sin減法推導(dǎo)失敗之后?。?/p>

然后推導(dǎo)tan，ok

倍角公式自己也推導(dǎo)下吧，搞定

最后是解三角形，其實(shí)很簡(jiǎn)單，正弦公式，余弦公式，面積公式，利用直角三角形的正弦計(jì)算，勾股定理，和面積公式，比較容易把斜三角形的公式給記住的

終于到了平面解析幾何了，想在b站上找crash course這種科普內(nèi)容，木有找到，所以，帶著過(guò)往的基礎(chǔ)來(lái)上了！

我之前有個(gè)誤區(qū)，覺(jué)得向量除了模和α之外，應(yīng)該還有起點(diǎn)，但是，貌似在具體的運(yùn)算中，都不考慮起點(diǎn)的，所以，其實(shí)把向量當(dāng)成三角形這種來(lái)理解，就三角形也不用考慮在坐標(biāo)系的哪個(gè)位置，只用確定三個(gè)要素就能定個(gè)三角形

而且，在數(shù)軸上確定線段，也不用知道起點(diǎn)啊，兩個(gè)點(diǎn)就行了

想通了

又想到一點(diǎn)，模和α確定向量，這是坐標(biāo)系的選用，xy坐標(biāo)系中還是說(shuō)的有向線段

向量的四則運(yùn)算，加法減法

向量的分解

向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這里也是先講加減，向量的長(zhǎng)度，兩點(diǎn)距離，中點(diǎn)公式，都簡(jiǎn)單

向量的積之前理解了，從此不等式判定又多了個(gè)三角函數(shù)≤1帶動(dòng)的判定法

平面解析幾何的第二個(gè)部分是，直線

直線的斜率，tan公式，想想之前涉及到的cos差公式用的向量，向量坐標(biāo)計(jì)算里面只有和差積，還是兩個(gè)向量之間的關(guān)系，兩點(diǎn)向量表達(dá)式講了距離和中點(diǎn)公式，坐標(biāo)表達(dá)

所以，這斜率的tan公式之前沒(méi)地方用。。。

直線公式，確定一條直線，需要，兩個(gè)點(diǎn)，或一個(gè)點(diǎn)和斜率——二維的

等下，我要想想，向量是二維的，是一個(gè)角度和長(zhǎng)度——角度的方向是360°++的，所以能唯一確定，而向量不需要起點(diǎn)確定，可以都搬到原點(diǎn)，這是最簡(jiǎn)表示法定維度嗎。。。還是最簡(jiǎn)要素定維度。。。

那直線呢，直線的角度。。。180°就行了。。。因?yàn)闆](méi)有方向，但是需要個(gè)點(diǎn)，不能都搬到原點(diǎn)，這也是種二維

ok了

所以看直線的五種表示，首先，斜截式和點(diǎn)斜式，都是點(diǎn)斜式啦，軸上的截距，那不就是確定了個(gè)點(diǎn)么

所以，截距式和兩點(diǎn)式，都是兩點(diǎn)式

最后是一般式

ok

現(xiàn)在到了兩直線的位置關(guān)系了

平行，重合，垂直，相交

相交就是方程有解，垂直是k積為-1

等我再想想垂直，向量積是0，因?yàn)閏os90°=0

那k呢，tanα*tan（90°-α）=-1，這個(gè)用單位圓的正余弦向量很容易理解的啦~~

ok

點(diǎn)到直線的距離，想花點(diǎn)時(shí)間推導(dǎo)

剛開(kāi)始推導(dǎo)的時(shí)候，把兩個(gè)方程都弄成了一般公式，然后求解交點(diǎn)就非常復(fù)雜，再帶回兩點(diǎn)距離公式，那就更復(fù)雜了。。。。

真想放棄啊。。。。

后來(lái)就開(kāi)始把方程用y單邊，來(lái)求方程解，確保方程沒(méi)寫做，還做了點(diǎn)斜式的比例

終于觀察到，首先，兩點(diǎn)距離公式里面，兩個(gè)是比例關(guān)系的，就可以直接提取出來(lái)，當(dāng)然記得加絕對(duì)值

再把（x-x0）設(shè)成X，直接求X，就不用再倒來(lái)倒去的了，這就是凱子說(shuō)的，把車?yán)锏臇|西放出來(lái)一堆的搬來(lái)搬去，還是車直接開(kāi)到終點(diǎn)再搬東西出來(lái)的麻煩度——當(dāng)然還是打包拯救雙手

其實(shí)就是兩個(gè)二元一次方程求解，相當(dāng)簡(jiǎn)單，還只用求個(gè)X

所以，解題思路雖然很簡(jiǎn)單的，但是為了計(jì)算簡(jiǎn)便，其實(shí)也是要有些總結(jié)思路的

還是得建立些公式直覺(jué)

終于到圓錐曲線了

首先，關(guān)于曲線的交點(diǎn)，跟之前本質(zhì)一樣，解析法看方程組有沒(méi)有解，圖像法看有沒(méi)有交點(diǎn)

圓，是曲線到定點(diǎn)的距離相等

點(diǎn)到距離公式值是定值，所以圓的方程就很簡(jiǎn)單啦^_^

點(diǎn)和圓的關(guān)系，就看到圓心的距離了，直線和圓的關(guān)系，就看圓心到直線的距離了——點(diǎn)到直線距離公式用起來(lái)

點(diǎn)到直線的距離，就是垂直的，跟半徑垂直，那就是切線了

切線方程的話，推導(dǎo)了一下，點(diǎn)斜式，搞定

橢圓，是到兩點(diǎn)的距離和為2a，我來(lái)推導(dǎo)下這個(gè)公式

計(jì)算其實(shí)就是二元二次方程的簡(jiǎn)化，初始條件里面有ac，還有個(gè)條件是極值推導(dǎo)出b和ac的關(guān)系，然后最終化簡(jiǎn)只要ab

所以說(shuō)，還是多路并進(jìn)的思維沒(méi)有刻到腦子里，轉(zhuǎn)了幾個(gè)彎

然后繼續(xù)使用了代數(shù)的代數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算——裝車法，避免了四次方。。。。

成功搞出橢圓公式，還是比較開(kāi)心滴~

橢圓還有第二個(gè)定義，也來(lái)推導(dǎo)下吧

一個(gè)定點(diǎn)和定直線距離比等于常數(shù)e∈（0,1），離心率和準(zhǔn)線

首先還是把已知的未知的中間量都擺出來(lái)

首先是已知一個(gè)關(guān)系，定點(diǎn)（c,0）和準(zhǔn)線方程x=±a2/c，離心率=c/a，先求出坐標(biāo)軸交點(diǎn)，確定abc關(guān)系，然后再把關(guān)系式化簡(jiǎn)，這次還比較簡(jiǎn)單

雙曲線，到兩定點(diǎn)的距離差絕對(duì)值=2a

首先用代數(shù)式把各個(gè)已知關(guān)系列出來(lái)，d1/d2，c2=ab平方和，已知關(guān)系式，然后要把c給代換成ab，把關(guān)系式整理出來(lái)

設(shè)個(gè)大X=xy平方和，A=ab平方差，B=ab平方和，開(kāi)始化簡(jiǎn)公式

就幾步就好了~~~

另外一個(gè)定義，到定點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離比例e＞1，在雙曲線中，c最大，所以e=c/a＞1的，在橢圓公式中，e＜1，a最大，e=c/a＜1

這里的準(zhǔn)線方程也還是x=±a2/c

多了個(gè)漸近線，不過(guò)也get了，y=±bx/a，推導(dǎo)一遍，印象深刻^_^

拋物線，到一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定直線的距離相等

那不就是，這個(gè)橢圓和雙曲線之間？差別就是e的三種取值，1，＞1，＜1

等我先構(gòu)思下，首先，這個(gè)定點(diǎn)也是焦點(diǎn)，定直線也是準(zhǔn)線，我先用上面的方法求一下

c=a=p/2，準(zhǔn)線是x=-c，定點(diǎn)是（c,0），很簡(jiǎn)單求得y2=2px

終于到最后的概率論了

首先，是做一件事是n類方法和還是n個(gè)步驟

概率論我一直是有點(diǎn)清楚又糊涂的——大學(xué)的時(shí)候還學(xué)了，高中估計(jì)就是糊的。。。

所以很想搞懂的

概率論的本質(zhì)是事件，所以從事件分類還是分步——分類是邏輯，分步是策略

排列是有序，組合是集合無(wú)序

有序，化學(xué)實(shí)驗(yàn)就是有序的，做飯也是有序的，組合是集合，分類就是無(wú)序的

排序呢，如果給m個(gè)學(xué)生排序，這是分步驟，第一個(gè)學(xué)生m種選法。。。。最后就是m！

然后來(lái)理解下公式的連乘還有階乘，連乘是列舉法，階乘是函數(shù)法？

性質(zhì)這里來(lái)看下，把n挑出來(lái)，剩下的做有序排序，理解

所以階乘公式的性質(zhì)，就是，總數(shù)和元素減一，或者元素減一的公式變換

組合是無(wú)序的，無(wú)序的特征是，集合的特性，就是不重復(fù)

有序的里面把重復(fù)的合并，這個(gè)怎么思考？就在這m個(gè)數(shù)之間排序無(wú)所謂，有所謂的情況是多少種，然后，感覺(jué)應(yīng)該是減掉吧。。。

百度了下推導(dǎo)方法，其實(shí)是逆向思維

上面我也思考了有序里面合并重復(fù)的，把m個(gè)數(shù)重復(fù)的減掉

但逆向思維是，選m個(gè)的全排列，其實(shí)是先選m個(gè)的組合，再組合的全排列

于是這個(gè)就是分步法，完成一件事，是不同的方法，還是不同的步驟，不同方法后的總方法是相加，不同步驟是步驟分別的方法相乘

這里不是問(wèn)總方法，而是問(wèn)結(jié)果有多少種

全排列直求，或者先選好組合，再對(duì)組合的m個(gè)全排列

于是就可以算出組合有多少種

組合的性質(zhì)里面證的頭禿的那個(gè)，用全排列推導(dǎo)，失敗，然后換成列舉法，成功！

就剩最后的概率了

互斥事件和對(duì)立事件性質(zhì)，互斥事件的定義，事件們中有一個(gè)發(fā)生的概率，等于事件分別單獨(dú)發(fā)生概率的和

先拿特殊的對(duì)立事件來(lái)看，肯定會(huì)發(fā)生，就是1

互斥事件其實(shí)有點(diǎn)不好理解，不過(guò)，先這樣吧

我繼續(xù)去搞ppt了

over~

代數(shù)2的數(shù)列導(dǎo)數(shù)合并了，ok，over~