洛倫茲變換的無(wú)窮小參數(shù)可以轉(zhuǎn)化為：

其中定義為：

容易看出，它是反對(duì)稱的：

它的另一種寫法是：

這樣的話，無(wú)窮小洛倫茲變換就是：

與的對(duì)易關(guān)系為：

即：

可見，滿足洛倫茲代數(shù)關(guān)系，是洛倫茲群的四維矢量表示。因而就是矢量表示的生成元矩陣，作用的對(duì)象是洛倫茲矢量。

無(wú)窮小洛倫茲變換的矩陣記法為：

它可以看作矩陣級(jí)數(shù)：

展開到一階項(xiàng)的結(jié)果。矩陣與度規(guī)矩陣滿足：

即：

從而：

若兩個(gè)同階方陣互相對(duì)易，即，那么二項(xiàng)式定理是成立的：

把階乘推廣到負(fù)整數(shù)，對(duì)于整數(shù)，定義：

從而，對(duì)于，有。這樣一來(lái)，可以把（12.13）右邊的級(jí)數(shù)化為無(wú)窮級(jí)數(shù)：

由此推出：

上式對(duì)對(duì)易的算符也成立。

由于，根據(jù)（12.12）與（12.16），有：

故，即由（12.9）定義的滿足保度規(guī)條件，確實(shí)是洛倫茲變換。此時(shí)，變換參數(shù)可以不是無(wú)窮小，而是一個(gè)有限值，所以，

是用洛倫茲群矢量表示生成元表達(dá)出來(lái)的有限變換。由于變換參數(shù)可以連續(xù)地變化到，用（12.18）式表達(dá)的洛倫茲變換在群空間中與恒等變換相連通，因而它屬于固有保時(shí)向洛倫茲群。當(dāng)遍歷群空間中所有參數(shù)取值時(shí)，洛倫茲變換（12.18）遍歷所有的固有保時(shí)向洛倫茲群元素。