復習筆記Day114：概率論知識總結(六)

2023-03-05 01:47 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

這個天數(shù)好像是梗小鬼很喜歡的數(shù)字

第八章? ?特征函數(shù)

§8.1 特征函數(shù)

定義8.1.1 設 $%5Cxi$ 是 $d$ 維隨機變量， $F$ 是 $%5Cxi$ 的分布函數(shù)，那么復值函數(shù)

$%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Ccdot%20y%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7Bix%5Ccdot%20%5Cxi%7D%2Cx%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed$

被稱為分布函數(shù) $F$ 的特征函數(shù)，實際上也就是對分布函數(shù)做了傅里葉變換

引理8.1.1 介紹了一些分布函數(shù)的性質，不過就(6)看起來比較重要：設 $F$ 是隨機變量 $%5Cxi$ 的分布函數(shù)，如果 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20%5Cright%7C%5En%3C%5Cinfty%20$ ，那么 $%5Chat%7BF%7D$ 在 $0$ 處 $n$ 次可導，且此時有 $%5Cmathrm%7Bi%7D%5En%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5En%3D%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20$

§8.2 唯一性定理

定理8.2.1 (反演公式)設 $%5Cxi$ 是隨機變量， $a%3Cb$ ， $F$ 是 $%5Cxi$ 的分布函數(shù)， $a%2Cb$ 是 $F$ 的連續(xù)點，那么有反演公式

$F%5Cleft(%20b%20%5Cright)%20-F%5Cleft(%20a%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cunderset%7BT%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cint_%7B-T%7D%5ET%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7Dax%7D-e%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7Dbx%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%7D%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$

如果 $%5Chat%7BF%7D$ 絕對可積，那么 $F$ 絕對連續(xù)且 $F'%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dxy%7D%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$

通過這個公式，可以由特征函數(shù)來確定分布函數(shù)，所以如果知道了特征函數(shù)，對應的分布函數(shù)也是唯一的

定理8.2.2?隨機變量 $%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n$ 相互獨立當且僅當 $%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Ccdot%20%5Cxi%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx_k%5Cxi%20_k%7D%7D$ ，其中 $%5Cxi%20%3D%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n%20%5Cright)%20$

課本好像默認了 $d$ 維的唯一性，如果承認這個的話，對 $%5Cxi$ 和 $%5Cxi_k$ 都求一下特征函數(shù)就可以證明了

§8.3?連續(xù)性定理

定理8.3.1?設 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 是分布函數(shù)列，若 $%5Chat%7BF%7D$ 點點收斂于一個在零點連續(xù)的函數(shù) $%5Cvarphi$ ，則 $%5Cvarphi$ 是一個分布函數(shù) $F$ 的特征函數(shù)且 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$

這個定理的證明我看的比較懵，完全不知道是怎么想到的。有了這個定理，可以通過特征函數(shù)的逐點收斂來判斷分布函數(shù)的弱收斂

第九章? ?中心極限定理

§9.1 DeMoivre-Laplace的估計

老東西的估計方法早就過時辣

§9.2 獨立同分布場合的中心極限定理

定義9.2.1 稱平方可積的隨機序列 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 滿足中心極限定理，如果

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cleft(%20%5Cxi%20_i-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_i%20%5Cright)%7D%7D%7B%5Csqrt%7BD%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%7D%7D%5Cle%20x%20%5Cright)%20%3D%5CPhi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

定理9.2.1?( $%5Ctext%7BLevy-Lindeberg%7D$ )設 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是平方可積的獨立同分布的標準話隨機變量列，則 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的分布弱收斂于標準正態(tài)分布，即

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Cle%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Ex%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D$

作為這個系列的最后一個定理（暫定），我就完整的寫一下證明吧！

證明的思路是通過估計 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的特征函數(shù)，證明其收斂于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

首先來計算一下 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的特征函數(shù)，因為 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是獨立的，所以根據(jù)引理8.1.1的性質(4)（懶得打了），其特征函數(shù)為

$%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7B%5Cxi%20_k%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7D%7D%3D%5Cleft(%20%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cleft(%20%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7Dy%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En$

其中 $F$ 為 $%5Cxi_k$ 的分布函數(shù)， $%5Chat%7BF%7D$ 為特征函數(shù)，再根據(jù)引理8.1.1的性質(6)，有

$%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%200%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%201%3D1%2C%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0%2C%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%202%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E2%3D-1$

所以 $%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%5Cleft(%20x%5E2%20%5Cright)%20%2Cx%5Crightarrow%200$

另一方面

$%5Cleft%7C%20a%5En-b%5En%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%7Ba%5E%7Bn-i-1%7Db%5Ei%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20a-b%20%5Cright%7C%5Cleft%7C%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%7Ba%5E%7Bn-i-1%7Db%5Ei%7D%20%5Cright%7C%5Cle%20n%5Cleft%7C%20a-b%20%5Cright%7C$

于是

$%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En-%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright)%20%5En%20%5Cright%7C%5Cle%20n%5Cleft%7C%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20-1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright%7C%3Dno%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%20%3Do%5Cleft(%201%20%5Cright)%20$

這意味著

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright)%20%5En%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D$

接下來用反演公式計算可知特征函數(shù) $e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D$ 的概率密度函數(shù)正是它自身，這就證明了定理

§9.3?一般中心極限定理

太復雜了，我這樣的笨蛋看不懂啦！

最后寫一道習題作為這個系列的終結（暫定）吧

114.1 用中心極限定理證明

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

看到這個式子很容易想到 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布，而 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布是具有可加性的，即若 $%5Cxi_1%2C%5Cxi_2$ 獨立且服從參數(shù)為 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的隨機變量，那么 $%5Cxi_1%2B%5Cxi_2$ 是服從參數(shù)為 $%5Clambda_1%2B%5Clambda_2$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的隨機變量

那么取 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 為獨立且服從參數(shù)為 $1$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的隨機變量，那么

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%5Cle%20n%20%5Cright)%20%3De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

另一方面，依中心極限定理，

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%5Cle%20n%20%5Cright)%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cleft(%20%5Cxi%20_k-1%20%5Cright)%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Cle%200%20%5Cright)%20%3D%5CPhi%20%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

這就證明了

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

標簽：考研概率論數(shù)學分析

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復習筆記Day114：概率論知識總結(六)

第八章? ?特征函數(shù)

第九章? ?中心極限定理