外爾是德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，二十世紀(jì)最有影響的思想家。作為數(shù)學(xué)家，外爾是最后的數(shù)學(xué)全才之一；作為理論物理學(xué)家，他對(duì)量子力學(xué)、相對(duì)論都有根本性貢獻(xiàn)，且創(chuàng)立了規(guī)范場(chǎng)論。外爾是一頭闖入物理學(xué)瓷器店的數(shù)學(xué)家大象。此外，他用優(yōu)雅的文筆為我們闡述數(shù)學(xué)、物理以及作為其基礎(chǔ)的哲學(xué)思想，留下了許多膾炙人口的深刻篇章。

撰文 | 曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所研究員）

The person I admire most is Hermann Weyl.

——Michael Atiyah[1]

1

引 ?子

康德 (Immanuel Kant, 1724-1804) 的 Kritik der praktischen Vernunft (實(shí)用理性之批判) [2]一書(shū)中有這樣的一句廣為流傳的話(huà)：

“Zwei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir.”

有兩種東西，對(duì)它們的思考越是經(jīng)常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長(zhǎng)的驚奇與敬畏充滿(mǎn)心靈：這就是我頭頂?shù)男强蘸臀倚闹械牡赖侣闪睢?/p>

參照這一段， 我愿意這樣寫(xiě)出我的一個(gè)感受：

“Drei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir und die Weylsche Werke vor mir

有三種東西，對(duì)它們的思考越是經(jīng)常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長(zhǎng)的驚奇和敬畏充滿(mǎn)心靈，這就是我頭頂?shù)男强蘸臀倚闹械牡赖侣闪詈臀颐媲暗耐鉅柕闹??！?/p>

外爾是個(gè)震古爍今的數(shù)理大家。余生性淺薄，初識(shí)外爾是通過(guò)他的小冊(cè)子symmetry (對(duì)稱(chēng))。進(jìn)入新世紀(jì)的前幾年里，筆者對(duì)對(duì)稱(chēng)花樣和對(duì)稱(chēng)性理論產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣。在閱讀的諸多對(duì)稱(chēng)性文獻(xiàn)中，外爾的symmetry一書(shū)引起了我的注意，尤其是插圖67，那是用線(xiàn)條描繪的成都文殊院窗欞的花樣 (圖1)。這讓我對(duì)外爾產(chǎn)生了極大的興趣，用流暢的語(yǔ)言講解對(duì)稱(chēng)性還引用了中國(guó)古建筑的例子，我猜他一定有一個(gè)有趣的靈魂。

圖1. Symmetry一書(shū)插圖所臨摹的成都文殊院的窗欞

在日后的研究與教學(xué)中，我經(jīng)常會(huì)在不同場(chǎng)合遇到外爾這個(gè)名字，也瀏覽(或者叫翻閱，但不能稱(chēng)為讀過(guò))了他所有的書(shū)籍以及部分文章。對(duì)于外爾的不斷增長(zhǎng)的驚奇與敬畏也就慢慢充滿(mǎn)了我的心靈。撰寫(xiě)《磅礴為一——通才型學(xué)者的風(fēng)范》一書(shū)，如果沒(méi)納入關(guān)于外爾的章節(jié)，那將是不可饒恕的疏忽。然而，本書(shū)交第一稿時(shí)，我卻并沒(méi)有這么做，因?yàn)槲掖_切地知道理解外爾要比理解愛(ài)因斯坦、龐加萊等人更加艱難，勉為其難就沒(méi)意思了。后來(lái)轉(zhuǎn)念一想，反正過(guò)些年我也一樣不能深入理解外爾，為什么要留下一個(gè)那么大的遺憾呢？于是，我匆匆地撰寫(xiě)了這一章，以期成為未來(lái)認(rèn)真、深入介紹外爾的前奏。

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外爾小傳

外爾 (Hermann Weyl，1885-1955)，德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，二十世紀(jì)最有影響的思想家 (圖2)，因?yàn)閷W(xué)問(wèn)太過(guò)深邃，故他是一般的學(xué)術(shù)世界里缺失的人物。愚以為，可以形象地說(shuō)，外爾是一頭闖入物理學(xué)世界的數(shù)學(xué)家大象。

圖2. ?外爾

外爾1885年出生于漢堡附近的一個(gè)小鎮(zhèn)，父母都來(lái)自富足家庭。1904-1908年間，外爾在哥廷恩和慕尼黑兩地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，其在哥廷恩大學(xué)的博士導(dǎo)師是數(shù)學(xué)大神希爾伯特 (David Hilbert, 1862-1943)。1908年，外爾以關(guān)于積分方程的研究獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。在哥廷恩教了幾年書(shū)以后，外爾于1913年到了蘇黎世的瑞士聯(lián)邦理工 (ETH)就任幾何學(xué)教授。在那里，外爾和愛(ài)因斯坦 (Albert Einstein, 1879-1955) 熟識(shí)，當(dāng)然也就第一時(shí)間熟悉了他的相對(duì)論，似乎可以說(shuō)是愛(ài)因斯坦的影響讓外爾成了一名理論物理學(xué)家。外爾為廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)花了大量精力，尤其是在作為其基礎(chǔ)的微分幾何的拓展問(wèn)題上。1921年，外爾在蘇黎世遇到了在蘇黎世大學(xué)任教的薛定諤 (Erwin Schr?dinger, 1887-1961)，這可以說(shuō)是為量子力學(xué)數(shù)學(xué)的拓展埋下了伏筆。外爾于1928-1929年間在普林斯頓大學(xué)作訪(fǎng)問(wèn)教授，1930年回到哥廷恩大學(xué)接導(dǎo)師希爾伯特的班。此前，哥廷恩大學(xué)曾于1925年召他回去接替克萊因 (Felix Klein, 1849-1925)，但被他拒絕。1933年，外爾移居美國(guó)，在普林斯頓高等研究院一直工作到1951年退休。退休后的外爾往來(lái)于蘇黎世和普林斯頓兩地，1955年辭世。

外爾在哥廷恩上大學(xué)期間曾修習(xí)過(guò)胡塞爾 (Edmund Husserl, 1859-1938) 的哲學(xué)課，由此認(rèn)識(shí)了胡塞爾的一個(gè)女弟子海倫娜 (Helene Joseph, 1893-1948)，后來(lái)成了他的妻子。他們締結(jié)了一段持續(xù)35年 (1913-1948) 的婚姻。不知道外爾對(duì)哲學(xué)的興趣是否是那時(shí)建立起來(lái)了，反正外爾深受胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)哲學(xué) (phenomenological philosphy) 的影響。外爾生性灑脫，終其一生他都追求自己做主的生活理想 (Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet)。

外爾是哥廷恩大學(xué)培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)者，其一生都和哥廷恩的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)相聯(lián)系， 當(dāng)時(shí)是由希爾伯特、克萊因和閔可夫斯基 (Hermann Minkowski, 1864-1909) 所代表的。愚以為哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的代表人物也要加上與外爾同時(shí)代的諾特 (Emmy Noether, 1882-1935)，而此前則有高斯、黎曼和狄里拆利 (Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 。在外爾所處的時(shí)代，數(shù)學(xué)家已不再追求龐加萊或者希爾伯特的那種 貫通 (universalism)，而外爾則是最接近達(dá)到融會(huì)貫通境界的。后世的數(shù)學(xué)家阿提亞爵士 (Michael Atiyah, 1929-2019) 在1984年接受采訪(fǎng)時(shí)曾感嘆道：“I have found that in almost everything I have ever done in mathematics, Hermann Weyl was there first. (我發(fā)現(xiàn)幾乎所有我做過(guò)的數(shù)學(xué)，外爾都捷足先登過(guò)。)”

外爾一生著述頗豐，其著作目錄如下：

1. Die Idee der Riemannschen Fl?che (關(guān)于黎曼面的思想), 1913；英文版為T(mén)he Concept of a Riemann Surface.

2. Raum, Zeit, Materie (空間-時(shí)間-物質(zhì))，1918.

3. Das Kontinuum (連續(xù)統(tǒng)), 1918; 英文版為T(mén)he Continuum.

4. Mathematische analyse des Raumproblems (空間問(wèn)題的數(shù)學(xué)分析), 1923.

5. Was ist Materie? (物質(zhì)是什么？), 1924.

6. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft (數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)), 1927；英文版為Philosophy of Mathematics and Natural Science.

7. Gruppentheorie und Quantenmechanik (群論與量子力學(xué))，1928; 英文版為T(mén)he Theory of Groups and Quantum Mechanics.

8. The classical groups：their invariants and representations (經(jīng)典群), 1939.

9. Elementary theory of invariants (不變量理論基礎(chǔ)), 1936.

10. Meromorphic functions and analytic curves (亞純函數(shù)與解析曲線(xiàn)), 1943.

11. Symmetry (對(duì)稱(chēng)), 1952.

12. Riemanns geometrische Ideen (黎曼的幾何思想), 1988.

此外，外爾辭世后，后人于1968年編輯出版了他的4卷本全集 (Gesammelte Abhandlungen) 。外爾的著作內(nèi)容不易懂，但讀懂一點(diǎn)就大有收獲，況且其文筆流暢，讀來(lái)算是享受。

在外爾的學(xué)問(wèn)與成就中，數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)的成分雖非渾然一體，卻也不是涇渭分明的。下文將外爾的成就分成數(shù)學(xué)的、物理的和哲學(xué)的，只是為了介紹的方便，不具有嚴(yán)格的意義。

3

外爾的數(shù)學(xué)成就

外爾共寫(xiě)過(guò)200余篇論文，是那種出自個(gè)人機(jī)杼的、有思想的論文。對(duì)大部分外爾的文章，硬要分辨其為數(shù)學(xué)的哪個(gè)領(lǐng)域或者是算數(shù)學(xué)還是算理論物理可能是不得體的。在他眼里，數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，他對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的進(jìn)步都有影響，其耕耘的范圍包括分析、拓?fù)洹⑽⒎謳缀?、微分方程、李群、表示理論、調(diào)和分析和分析數(shù)論等。有了貢獻(xiàn)者水平的數(shù)學(xué)，特別是在微分幾何、微分方程、李群和表示理論等領(lǐng)域，加上和愛(ài)因斯坦、薛定諤等人過(guò)從甚密，外爾參與近代理論物理的奠基是自然而然的事情。

外爾的數(shù)學(xué)生涯開(kāi)始于分析，包括積分方程和譜理論。1910年外爾以奇性微分方程及其用本征函數(shù)的展開(kāi)，即后來(lái)的自伴隨算符的譜理論，獲得私俸講師資格 (habilitieren)；1911年發(fā)表了über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte(本征值的漸近分布) 一文，證明了在緊致域上拉普拉斯算子本征值的漸近分布，即Weyl law，1912年又用變分原理給出了新證明。外爾后來(lái)不斷回到這個(gè)問(wèn)題，他還將之應(yīng)用于彈性體系，得到了外爾猜想。本征值漸近分布，學(xué)量子力學(xué)的看到這個(gè)概念會(huì)眼睛一亮，這是量子力學(xué)數(shù)學(xué)一大關(guān)啊，而外爾得到這些研究成果時(shí)量子力學(xué)這個(gè)詞還沒(méi)出現(xiàn)呢[3]。

關(guān)于拉普拉斯算符本征值的漸近分布，外爾在1915年指出其第一項(xiàng)正比于系統(tǒng)的體積，除了體積以外的其他參數(shù)不起作用，此乃物理學(xué)家，其中有大名鼎鼎的洛倫茲 (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928)，在提供了經(jīng)典物理到量子物理橋梁的黑體輻射研究中首先猜測(cè)的一個(gè)結(jié)果。坦白地說(shuō)，筆者雖然撰寫(xiě)過(guò)關(guān)于黑體輻射研究的長(zhǎng)篇論文，對(duì)這一點(diǎn)卻毫不知情。當(dāng)然，黑體輻射、量子力學(xué)和拉普拉斯算子本征值，這里的邏輯關(guān)系是契合的。

1913年外爾發(fā)表了小冊(cè)子Die Idee der Riemannschen Fl?che (關(guān)于黎曼面的思想)，對(duì)黎曼面進(jìn)行統(tǒng)一處理。此項(xiàng)工作的一個(gè)重要意義在于將復(fù)數(shù)從復(fù)平面中解放出來(lái)。外爾用點(diǎn)集拓?fù)渥尷杪胬碚摳訃?yán)格，為后來(lái)的流形研究樹(shù)立了榜樣。黎曼幾何的外爾張量對(duì)于理解共形幾何非常重要。

1918年外爾出版Raum-Zeit-Materie（空間-時(shí)間-物質(zhì)）一書(shū)，此時(shí)他已經(jīng)開(kāi)始思考如何筑牢廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并加以擴(kuò)展。同一年，外爾發(fā)表了關(guān)于規(guī)范場(chǎng)論的第一篇文章，那是從數(shù)學(xué)上將引力理論同麥克斯韋電磁理論結(jié)合起來(lái)的嘗試，詳情見(jiàn)下。也許不算巧合的是，同一年在哥廷根出現(xiàn)了諾特定理，而這是規(guī)范場(chǎng)論的重要基礎(chǔ)。

1923 -1938年間外爾發(fā)展了用矩陣表示表述的緊致群理論。關(guān)于緊致李群他證明了基本的特征標(biāo)表，這是理解量子力學(xué)的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。外爾還給出了旋量問(wèn)題的闡述。外爾關(guān)于群論的工作，加上維格納（Eugene Wigner，1902-1995）和馮·諾伊曼（John von Neumann, 1903-1957）的工作，奠立了量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，見(jiàn)下。關(guān)于非緊致群及其表示，特別是海森堡[4] (Werner Heisenberg, 1901-1976) 群，也捎帶著在1927年在外爾量子化的框架中給處理了。李群和李代數(shù)才成了純數(shù)學(xué)和理論物理的主流，外爾功不可沒(méi)。

4

外爾的物理成就

外爾的物理貢獻(xiàn)在于相對(duì)論、量子力學(xué)，以及創(chuàng)立了基于相對(duì)論和量子力學(xué)的規(guī)范場(chǎng)論。環(huán)顧天下，有此能力與機(jī)遇故而享此榮耀者，僅此一人而已。愛(ài)因斯坦是量子力學(xué)、相對(duì)論和統(tǒng)計(jì)物理的奠基人；薛定諤是量子力學(xué)奠基人，做出了挽救規(guī)范場(chǎng)論的關(guān)鍵一步。這三人是終生的好朋友，且關(guān)于自然持比較一致的哲學(xué)觀點(diǎn)，實(shí)在是物理學(xué)的幸運(yùn)。

4a) 群論與量子力學(xué)

如果將1925年底薛定諤構(gòu)思波動(dòng)方程算作新量子物理的起點(diǎn)，可以說(shuō)外爾從一開(kāi)始就參與了量子力學(xué)的創(chuàng)立。要確立薛定諤方程

的正當(dāng)性，那得有一個(gè)能表明它還算靠譜的例子。薛定諤將他的方程應(yīng)用于氫原子求解其定態(tài)波函數(shù)，不過(guò)那樣得到的三變量的二階微分方程的解，即便對(duì)于當(dāng)時(shí)已是數(shù)學(xué)物理教授的薛定諤本人來(lái)說(shuō)，也是很難的。這個(gè)工作是在外爾的幫助下才完成的，詳情見(jiàn)下。

薛定諤1926年的量子力學(xué)奠基性論文的題目就是“作為本征值問(wèn)題的量子化”，而算符的本征值問(wèn)題可是外爾得出過(guò)定理的研究?jī)?nèi)容，簡(jiǎn)直是撞到他的槍口上了。量子力學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵概念是希爾伯特空間，而希爾伯特就是外爾的導(dǎo)師。在量子力學(xué)中算符作用于波函數(shù)，那么在波函數(shù)不能得到具體形式的局面下如何研究得到物理？這就得用群論來(lái)定性分析算符及其本征函數(shù)和本征值了，而這又撞到外爾的槍口上了。僅僅到了1928年，量子力學(xué)還羽翼未豐呢，外爾的《群論與量子力學(xué)》就出版了，算得上是第一時(shí)間趕出來(lái)的。外爾的《群論與量子力學(xué)》和維格納1931年的《群論及其在原子譜量子力學(xué)中的應(yīng)用》是從群論角度理解量子力學(xué)的經(jīng)典，它們讓量子力學(xué)有了點(diǎn)學(xué)問(wèn)的樣子，極大地促進(jìn)了量子理論的發(fā)展。李群的表示論就是為量子力學(xué)量身定做的，而外爾在群表示論和算子譜理論的權(quán)威研究讓他成了新物理學(xué)當(dāng)仁不讓的代言人。由于群論對(duì)于一些物理學(xué)家來(lái)說(shuō)太難了，外爾他們當(dāng)時(shí)的努力竟然被誣為群瘟 (Gruppenpest)。后來(lái)的發(fā)展表明，群論是近代物理最有用的工具。這兩本群論，加上1930年狄拉克 (P.A.M. Dirac, 1902-1984) 的《量子力學(xué)原理》和1932年馮諾伊曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，是量子力學(xué)在建立過(guò)程中就形成的經(jīng)典著作，是理解量子力學(xué)之創(chuàng)造的第一手資料[5]。

外爾于1939年在普林斯頓期間出版了The classical groups(經(jīng)典群) 此一經(jīng)典著作。該書(shū)共分為10章，包括導(dǎo)論、矢量不變量、矩陣代數(shù)與群環(huán)、對(duì)稱(chēng)群與完全線(xiàn)性群、辛群、特征標(biāo)、不變量的一般理論、再論矩陣代數(shù)，最后一章是補(bǔ)綴。外爾之所以寫(xiě)這本書(shū)，是因?yàn)樗?925年就得到了一個(gè)半單連續(xù)群的特征，他想用直接代數(shù)構(gòu)造為所有重要的群得到類(lèi)似的結(jié)果，而當(dāng)其時(shí)他已掌握了所有的工具。學(xué)過(guò)一點(diǎn)群論的人，對(duì)外爾的The classical groups一書(shū)會(huì)特別有感覺(jué)。貫穿The classical groups 一書(shū)的是不變量理論 (invariant theory)，故可以和他的Elementary theory of invariants (不變量理論基礎(chǔ)) 一書(shū)參照著讀。不變量這個(gè)概念會(huì)把克萊因、希爾伯特、諾特和外爾聯(lián)系起來(lái)，會(huì)幫助我們理解什么叫“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”。The classical groups也被認(rèn)為是反映了外爾對(duì)數(shù)學(xué)一體性的堅(jiān)持，人們?cè)u(píng)價(jià)這本書(shū)值得一讀再讀十遍地讀 (It’s the kind of book you read ten times—Atiyah)。當(dāng)然，這本書(shū)的序言比正文更有名氣。論及書(shū)的風(fēng)格，相較于那種給讀者以把他們關(guān)入了一個(gè)照明充分的小屋子，其中每一個(gè)細(xì)節(jié)都凸顯令人炫目的清晰而毫無(wú)陰影的那種印象，外爾寫(xiě)道：

“I prefer the open landscape under a clear sky with its depth of perspective, where the wealth of sharply defined nearby details gradually fades away towards the horizon.”

我喜歡晴朗天空下有著深遠(yuǎn)景致的開(kāi)闊地，那里眾多細(xì)節(jié)明晰的近景漸漸融入地平線(xiàn)。

“…The book is primarily meant for the humble who want to learn as new the things set forth therein, rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject and merely look for quick and exact information about this or that detail.”

本書(shū)主要是給那些謙卑的、想將其中內(nèi)容當(dāng)作新事物學(xué)習(xí)的而非那些驕傲又博學(xué)的、早已熟悉相關(guān)主題故而只是想找點(diǎn)兒關(guān)于這個(gè)或者那個(gè)細(xì)節(jié)之便捷精確信息的人準(zhǔn)備的。

4b) 廣義相對(duì)論與規(guī)范場(chǎng)論

相對(duì)論與瑞士的蘇黎世和德國(guó)的哥廷恩兩個(gè)小鎮(zhèn)有關(guān)。在蘇黎世給出狹義相對(duì)論幾何的閔可夫斯基是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的領(lǐng)袖人物，第一個(gè)寫(xiě)出引力場(chǎng)方程的希爾伯特是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的領(lǐng)袖人物。畢業(yè)于哥廷恩的外爾于1913年到了蘇黎世的瑞士聯(lián)邦理工。外爾與愛(ài)因斯坦交好，又秉承哥廷恩的數(shù)學(xué)物理傳統(tǒng)，自然也會(huì)對(duì)相對(duì)論產(chǎn)生濃厚的興趣。廣義相對(duì)論涉及微分幾何、不變理論、群論等數(shù)學(xué)，都是外爾的拿手戲。如同閔可夫斯基完善了狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，外爾要完善和發(fā)展廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論論文于1916年3月發(fā)表，1917年夏外爾即開(kāi)設(shè)了廣義相對(duì)論課程，1918年出版了名著Raum-Zeit-Materie (空間-時(shí)間-物質(zhì)) 一書(shū)，因?yàn)?，如他所言?/p>

“Es lockte mich, an diesem gro?en Thema ein Beispiel zu geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens.”

它誘惑我關(guān)于這個(gè)主題給一個(gè)哲學(xué)的、數(shù)學(xué)的、物理的思想交相滲透的例子。

Raum-Zeit-Materie一書(shū)受真學(xué)物理的人的歡迎程度令人側(cè)目，僅僅到了1922年即已出到了第五版，法語(yǔ)和英語(yǔ)譯本也有了，被譽(yù)為不會(huì)過(guò)時(shí)的著作 (見(jiàn)1991版序) 。

Raum-Zeit-Materie一書(shū)的副標(biāo)題為Vorlesungen über Allgemeine Relativit?tstheorie (廣義相對(duì)論教程) ，分為歐幾里得空間、可測(cè)度的連續(xù)統(tǒng)、時(shí)空相對(duì)性和廣義相對(duì)論四章，意在展開(kāi)一個(gè)簡(jiǎn)單的基本思想 (die Entfaltung einer einfachen Grundidee)。一個(gè)數(shù)學(xué)家，在廣義相對(duì)論創(chuàng)立不久便及時(shí)地提供了廣義相對(duì)論的教程，詳細(xì)闡述了流形、聯(lián)絡(luò)與曲率，還有它們的物理詮釋。問(wèn)題是，外爾是要發(fā)展這門(mén)學(xué)問(wèn)，為這門(mén)學(xué)問(wèn)夯實(shí)進(jìn)而拓展其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這讓我想起了外爾導(dǎo)師希爾伯特的一件軼事。當(dāng)年希爾伯特受德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的指派撰寫(xiě)數(shù)論研究的報(bào)告，人家希爾伯特當(dāng)時(shí)的境界竟然是要趁機(jī)為數(shù)論奠立基礎(chǔ) (lay the foundation)。確實(shí)，對(duì)于廣義相對(duì)論這種學(xué)問(wèn)，不是外爾這樣的數(shù)學(xué)家還真未必能正確估量其價(jià)值——愛(ài)因斯坦本人也不行。對(duì)付廣義相對(duì)論這種學(xué)問(wèn)，“…die Physik liefert die Enfahrungsgrundlage, die Mathematik das scharfe Werkzeug (物理提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)提供鋒利的工具) ”，二者缺一不可。

外爾1918年的德語(yǔ)論文“引力與電” (Gravitation und Elektrizit?t) 在其文后即有愛(ài)因斯坦從物理角度的詰難，這讓規(guī)范場(chǎng)論差點(diǎn)成了被洗澡水淹死的嬰兒。然而幸運(yùn)的是，經(jīng)過(guò)薛定諤 (1922)、倫敦 (1927)、福克 (1927) 等人的工作，外爾最初的思想實(shí)現(xiàn)了同量子理論的結(jié)合，加上其1929年英文的“引力與電子” (Gravitation and the electron)和德文的“電子與引力 I.” (Elektron und Gravitation I.) 這兩篇文章, 其意在建立一個(gè)囊括引力、電和物質(zhì)的理論 (eine Gravitation, Elektrizit?t und Materie umfassende Theorie)，規(guī)范場(chǎng)論這門(mén)學(xué)問(wèn)終于得以建立，最后經(jīng)非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)論發(fā)展到標(biāo)準(zhǔn)模型，其間的過(guò)程波瀾壯闊。更多詳情參見(jiàn)本書(shū)的薛定諤一章及拙著《云端腳下-從一元二次方程到規(guī)范場(chǎng)論》，有興趣深入學(xué)習(xí)的讀者請(qǐng)參閱規(guī)范場(chǎng)論方面的原文與專(zhuān)著。

1928年，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克給出了 (電子的) 相對(duì)論量子力學(xué)方程

，其中m是粒子質(zhì)量， γ是4×4的狄拉克矩陣，

，

，

，

，可看作是從單位2×2矩陣Ι2和泡利矩陣σx, σy, σz構(gòu)造而來(lái)的[6]。這里的波函數(shù)Ψ是復(fù)四分量的。將此方程中的質(zhì)量m 設(shè)為零，即得到所謂的外爾方程

，其中σμ= (Ι2, σx, σy, σz)，而波函數(shù)Ψ是復(fù)二分量的。外爾方程是將狄拉克中的m設(shè)為零的結(jié)果，故被理解為描述質(zhì)量為零的費(fèi)米子的方程，相應(yīng)的費(fèi)米子被稱(chēng)為外爾費(fèi)米子。1933年，泡利指出外爾方程破壞宇稱(chēng)對(duì)稱(chēng)性，但泡利1930年預(yù)言的中微子卻被認(rèn)為是無(wú)質(zhì)量的，被當(dāng)作了外爾方程要描述的對(duì)象。當(dāng)然了，當(dāng)中微子被發(fā)現(xiàn)以后，更多的研究結(jié)果表明它不僅有質(zhì)量，而且有三種類(lèi)型不同的中微子，且有振蕩現(xiàn)象，所謂中微子是外爾費(fèi)米子的說(shuō)法自然也就破滅了?？梢哉f(shuō)，到目前為止，外爾費(fèi)米子還是個(gè)沒(méi)有任何現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)的概念而已。

狄拉克方程來(lái)自電子的相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系E2=(pc)2+(mc2)2，雖然推導(dǎo)過(guò)程中狄拉克也是大膽施為，但應(yīng)該說(shuō)它還是有堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)的。狄拉克方程導(dǎo)致了反粒子的概念，且很快得到了證實(shí) (參見(jiàn)拙著《驚艷一擊》)。與此相反，外爾方程來(lái)自將狄拉克方程中的一項(xiàng)之系數(shù)m 設(shè)為零，這樣做當(dāng)然沒(méi)有什么物理基礎(chǔ)。這種做物理的方法，未免顯得上不了臺(tái)面；沒(méi)有物理基礎(chǔ)的推導(dǎo)未能結(jié)出物理的果子，于情于理倒也說(shuō)得過(guò)去。其實(shí)，要求存在無(wú)質(zhì)量的外爾費(fèi)米子，從概念上說(shuō)還有許多困難。將一個(gè)已知方程中的一項(xiàng)系數(shù)設(shè)為零，這對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)直就是舉手之勞。如果外爾做過(guò)這樣的研究，得算是他人生的污點(diǎn)。有人愿意頑強(qiáng)地從外爾方程出發(fā)往下編故事是法律保障的自由，但以為大自然非要滿(mǎn)足這個(gè)方程就讓大自然太為難了。大自然沒(méi)有義務(wù)滿(mǎn)足某個(gè)人寫(xiě)下的方程，哪怕是外爾的方程也不行。

更加有趣的是，關(guān)于外爾方程和外爾費(fèi)米子的文章、書(shū)籍都說(shuō)是在1929年德文的“電子與引力 I.”一文中外爾得到外爾方程的，然而翻遍原文也不見(jiàn)相關(guān)內(nèi)容，其中曲折，值得進(jìn)一步考證。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，外爾似乎對(duì)物理理論該是什么樣兒沒(méi)有什么先驗(yàn)的負(fù)擔(dān)。比如，關(guān)于左右對(duì)稱(chēng)，在1929年那篇經(jīng)典論文中外爾就寫(xiě)道：

“Wir werden sehen, da? man mit zwei Komponenten auskommt, wenn die Symmetrie von links and rechts aufgehoben wird().……Die Einschr?nkung 2 hebt die Gleichberechtigung von links und rechts auf.”

我們將看到，如果將左右對(duì)稱(chēng)性取消，則兩個(gè)分量就夠用了?！拗茥l件2取消了左和右的平權(quán)。

后來(lái)的外爾旋量就分為左手的和右手的。三十年后的物理學(xué)界為是否放棄左右對(duì)稱(chēng)性而經(jīng)歷的心靈掙扎，是物理學(xué)史上有趣的一頁(yè)。

4

外爾的哲學(xué)成就

哥廷恩的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)是包括哲學(xué)的。構(gòu)建數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該是哲學(xué)性的勞動(dòng)。外爾熟悉古希臘哲學(xué)和德國(guó)古典哲學(xué)，大學(xué)時(shí)選修過(guò)胡塞爾的哲學(xué)課，據(jù)信他對(duì)物理的處理方式多基于胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)哲學(xué)。外爾所著的Was is Materie?， Raum-Zeit-Materie，Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)），以及Das Kontinuum (連續(xù)統(tǒng)) [7]都是哲學(xué)味十足的名篇。后人編纂的Mind and Nature (思維與自然) 收錄的也是外爾的一些哲學(xué)思考。

在1918年的Das Kontinuum一書(shū)中，外爾使用羅素 (Bertrand Russell, 1872-1970) 的分支類(lèi)型論 (ramified theory of types) 的較低層次發(fā)展了謂詞分析的邏輯，他實(shí)際上是發(fā)展了經(jīng)典運(yùn)算的大部，但他既不使用選擇公理也不使用反證，還避免使用康托 (Georg Cantor，1845-1918) 的無(wú)限集合。這期間外爾采用的是費(fèi)希特 (Johann Gottlieb Fichte，1762-1814) 的構(gòu)造主義。在連續(xù)統(tǒng)中，可構(gòu)造的點(diǎn)是分立的存在，而我們需要的不是那種作為點(diǎn)之集團(tuán)的連續(xù)統(tǒng),應(yīng)該構(gòu)造同物理意義自恰的連續(xù)統(tǒng)。該書(shū)出版后, 外爾轉(zhuǎn)向了布勞威爾 (L. E. J. Brouwer, 1881–1966) 的直覺(jué)主義。后來(lái)，外爾又覺(jué)得布勞威爾的直覺(jué)主義對(duì)數(shù)學(xué)施加了太強(qiáng)的限制。1921年，外爾寫(xiě)了“關(guān)于數(shù)學(xué)新的基礎(chǔ)危機(jī)”一文，在數(shù)學(xué)界引起了極大的騷動(dòng)。約在1928年后，外爾就公開(kāi)認(rèn)為數(shù)學(xué)的直覺(jué)主義同他對(duì)現(xiàn)象學(xué)哲學(xué)的熱情不相容。晚年的外爾認(rèn)為數(shù)學(xué)是“符號(hào)構(gòu)造(symbolic construction)”。

1949年，外爾放棄了數(shù)學(xué)的直覺(jué)主義的價(jià)值。在1949年英文版Philosophy of mathematics and natural science中，外爾寫(xiě)道:

"Mathematics with Brouwer gains its highest intuitive clarity. He succeeds in developing the beginnings of analysis in a natural manner, all the time preserving the contact with intuition much more closely than had been done before. It cannot be denied, however, that in advancing to higher and more general theories the inApplicability of the simple laws of classical logic eventually results in an almost unbearable awkwardness. And the mathematician watches with pain the greater part of his towering edifice which he believed to be built of concrete blocks dissolve into mist before his eyes.

“數(shù)學(xué)從布勞威爾那里獲得了高度的直覺(jué)上的清晰。他成功地以一種自然的方式開(kāi)啟了分析的發(fā)展，一直保持住了比從前更加緊密的同直接的接觸。不可否認(rèn)的是，為了尋求更加高級(jí)、更具一般意義的理論，運(yùn)用經(jīng)典邏輯的簡(jiǎn)單法則最終會(huì)導(dǎo)致令人難以容忍的糟糕局面。數(shù)學(xué)家痛苦地看著他以為是用混凝土磚建立起來(lái)的大廈之大部眼睜睜地消解在迷霧中" 。

德語(yǔ)的Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft出版于1927年，那一年外爾已對(duì)相對(duì)論的幾何做了充分的研究、參與了1926年薛定諤量子力學(xué)波動(dòng)方程解氫原子問(wèn)題，泡利寫(xiě)出了他的兩分量量子力學(xué)波動(dòng)方程，而狄拉克的四分量相對(duì)論量子力學(xué)波動(dòng)方程還要再等來(lái)年。在這本書(shū)里，外爾談了他關(guān)于數(shù)學(xué)邏輯、公理、連續(xù)統(tǒng)、無(wú)限、幾何[8]、時(shí)空、方法論、物質(zhì)以及因果律等觀念，而這些在筆者看來(lái)，是理解量子力學(xué)和相對(duì)論的關(guān)鍵。從筆者個(gè)人經(jīng)歷來(lái)看，缺乏對(duì)這些基本觀念的思考是大學(xué)階段學(xué)習(xí)量子力學(xué)和相對(duì)論時(shí)感到困惑的緣由。

外爾的科學(xué)哲學(xué)是對(duì)我們科學(xué)家有益的學(xué)問(wèn)，如他所言，die Besch?ftigung mit der Philiosophie der Wissenschaften die Kenntnis der Wissenschaft selbst voraussetzt (拿科學(xué)哲學(xué)說(shuō)事兒要以科學(xué)知識(shí)本身為前提)。如同萊布尼茲，對(duì)于外爾來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是其哲學(xué)體系的有機(jī)組成部分。因?yàn)槭紫仁莻€(gè)職業(yè)科學(xué)家，哲學(xué)家外爾的著作中多有實(shí)踐痕跡的表述，或者說(shuō)，他的哲學(xué)論述是技術(shù)性的。略舉幾例，供讀者品味。

Wir haben die Wahrheit nicht, sondern sie will durch Handeln gewonnen sein

不是我們擁有真理，而是它可通過(guò)實(shí)踐被獲得；

Eine wahrhaft realistische Mathematik sollte, parallel zur Physik, als ein Zweig der theoretischen Konstruktion der einen realen Welt aufgefa?t warden

真正現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)應(yīng)該作為關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的理論構(gòu)造的一個(gè)分支，與物理平行，來(lái)理解；

Tats?chlich schreibt die allgemeine Relativit?tstheorie nicht die Topologie der Welt vor, und so mag es kommen, da? die Welt nicht blo? nach dem Unendlichen zu, sondern auch nach innen hinein unerreichbar S?ume tr?gt

實(shí)際上，廣義相對(duì)論并沒(méi)有規(guī)定世界的拓?fù)?，故而可能是這樣，世界不只是朝著無(wú)限之外也可能朝著內(nèi)里攜帶著不可抵達(dá)的遲疑。

此書(shū)包含大量數(shù)學(xué)與物理的基礎(chǔ)思想，有一定數(shù)學(xué)和物理知識(shí)儲(chǔ)備的讀者不妨讀讀，此處恕不詳述。

5

多余的話(huà)

外爾作為一個(gè)職業(yè)數(shù)學(xué)家，但卻對(duì)量子力學(xué)、相對(duì)論和規(guī)范場(chǎng)論都有根本性的貢獻(xiàn)，原因不外有二：其一，這確實(shí)是理論物理，撞到他這個(gè)真數(shù)學(xué)家的槍口上了；其二，他和量子力學(xué)和相對(duì)論的物理學(xué)家奠基者們有親密的接觸。外爾研究廣義相對(duì)論，因?yàn)閻?ài)因斯坦是他在瑞士聯(lián)邦理工的同事，擴(kuò)展作為廣義相對(duì)論基礎(chǔ)的微分幾何的努力最終導(dǎo)向了規(guī)范場(chǎng)論的創(chuàng)立，而碰巧那中間的關(guān)鍵一步來(lái)自量子力學(xué)。

外爾和同時(shí)期在蘇黎世大學(xué)訪(fǎng)問(wèn)的薛定諤過(guò)從甚密，進(jìn)而在學(xué)術(shù)上互有啟發(fā)與襄助。1922年，薛定諤引入了虛因子

，救了外爾的規(guī)范場(chǎng)論。1926年，薛定諤構(gòu)造了量子力學(xué)波動(dòng)方程

，即薛定諤方程。將薛定諤方程應(yīng)用于氫原子，得到了E～Enlm的結(jié)果，即氫原子中電子 (就一個(gè)) 的能量是三個(gè)量子數(shù)的函數(shù)。加上電子的自旋，原子中的電子一般就有四個(gè)量子數(shù)，這四個(gè)量子數(shù)的取值方式?jīng)Q定了元素周期表的樣子。關(guān)于這個(gè)小問(wèn)題，今天的中學(xué)生都應(yīng)該知道，參見(jiàn)拙著《量子力學(xué)-少年版》。解氫原子的薛定諤方程實(shí)際上是非常難的，這一點(diǎn)只要看看其定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)式就知道了：

其中

，

是玻爾半徑。一般的教科書(shū)中會(huì)記

，這使得波函數(shù)表達(dá)式

中量子數(shù)n被部分地隱藏了，這是不懂物理的表現(xiàn)。這個(gè)表達(dá)式很復(fù)雜，其中的函數(shù)L和Y分別是推廣的拉蓋爾函數(shù)和球諧函數(shù)[9]。一般教科書(shū)作者照抄這個(gè)解，但會(huì)假裝自己會(huì)解這個(gè)方程的樣子來(lái)。殊不知作為維也納大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授到蘇黎世大學(xué)訪(fǎng)問(wèn)的薛定諤自己也得求助于外爾。這一點(diǎn)，薛定諤在其1926年的經(jīng)典論文第一部分的腳注中是明確鳴謝了的。一般教科書(shū)作者假裝也會(huì)解這個(gè)方程，估計(jì)是從沒(méi)有讀過(guò)原文的緣故。

外爾1924年出版了具有哲學(xué)意味實(shí)際上是學(xué)不分科的Was ist Materie? (什么是物質(zhì)？) 一書(shū)，這是一個(gè)學(xué)會(huì)思考了的學(xué)者對(duì)自然存在的思考。不知道是不是受這本書(shū)的啟發(fā)，反正20年后薛定諤出版了 What is life? (什么是生命？)一書(shū)，一樣的是學(xué)不分科式的著作，一樣的是一個(gè)學(xué)會(huì)思考了的學(xué)者對(duì)自然存在的思考?？赡苎Χㄖ@的書(shū)更貼近生活吧，故What is life? 比Was ist Materie? 更為流行。然而，論學(xué)問(wèn)，尤其是涉及到淵源，筆者可能會(huì)給予Was ist Materie?以更高的評(píng)價(jià)。當(dāng)然，把這兩本書(shū)放到一起看會(huì)帶來(lái)更大的收獲。

至于規(guī)范場(chǎng)論，規(guī)范場(chǎng)論始于外爾1918年的“引力與電”一文，其初始動(dòng)機(jī)是擴(kuò)展廣義相對(duì)論用的微分幾何。希爾伯特第一個(gè)寫(xiě)出廣義相對(duì)論場(chǎng)方程，比愛(ài)因斯坦早5天。外爾是希爾伯特的學(xué)生，是愛(ài)因斯坦的同事, 好象就是通過(guò)外爾的介紹，希爾伯特才邀請(qǐng)愛(ài)因斯坦于1915年夏去哥廷恩講學(xué)的?？梢哉f(shuō)，外爾參與廣義相對(duì)論的進(jìn)一步發(fā)展是自然而然的事兒。規(guī)范場(chǎng)論其后發(fā)展的硬核思想基礎(chǔ)是1918年的諾特定理。諾特1915年應(yīng)克萊因和希爾伯特之邀到哥廷恩大學(xué)工作。雖然外爾和諾特可能在哥廷恩沒(méi)有交集，但無(wú)疑地他們都是深受克萊因和希爾伯特影響的哥廷恩學(xué)派頂級(jí)人物。1918年，諾特的“不變的變分問(wèn)題” 和外爾的“引力與電”同時(shí)出現(xiàn)絕非偶然，是數(shù)學(xué)物理史上值得關(guān)注的大事件。

1954年出現(xiàn)的楊-米爾斯理論是對(duì)規(guī)范場(chǎng)論的提升與拓展。這里的主角楊振寧先生曾談到: “…當(dāng)我還是中學(xué)生的時(shí)候，就從父親那里接觸到群論的基本原理，也常常被父親書(shū)架上的一本斯派澤關(guān)于有限群的書(shū)中的美麗插圖所迷住?！?看看，人家是在中學(xué)生時(shí)代就接觸到了群論，而且是通過(guò)斯派澤（Andreas Speiser，1885-1970）的書(shū)籍。群論是相對(duì)論、量子力學(xué)和規(guī)范場(chǎng)論的基礎(chǔ)，先通群論對(duì)學(xué)習(xí)理論物理的益處，楊振寧先生可為一例。有趣的是，外爾在1937年的Symmetry一書(shū)的序言中赫然寫(xiě)道:

“Andreas Speiser's Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung and other publications by the same author are important for the synopsis of the aesthetic and mathematical aspects of the subject……”

斯派澤的有限群理論以及該作者的其他著述對(duì)于(對(duì)稱(chēng)性)這一主題的美學(xué)與數(shù)學(xué)方面的概覽特別重要。

楊振寧先生后來(lái)發(fā)展了規(guī)范場(chǎng)論，看來(lái)不是偶然的。

羅嗦這么多，我特別想說(shuō)，一個(gè)人要成為大學(xué)者，成長(zhǎng)的環(huán)境太重要了。欲做學(xué)問(wèn)者，須到學(xué)問(wèn)家窩里去。如果你不明白這個(gè)道理，請(qǐng)好好理解維也納圈子 (Viena circle) 是什么意思。外爾的成就是在哥廷恩以外做出來(lái)的，可他依然是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的標(biāo)志性人物。在德國(guó)詩(shī)人海涅 (Heinrich Heine, 1797-1865) 筆下，哥廷恩是一個(gè)以香腸和大學(xué)而聞名的城市。這個(gè)城市睥睨天下的氣質(zhì)，可以從刻在老市政廳入口處的一句拉丁語(yǔ)口號(hào)看出： “Extra Gottingam non est vita, si est vita non est ita (哥廷恩以外沒(méi)有生活，有生活那也不是這里那樣的)。在外爾求學(xué)的時(shí)代，其導(dǎo)師希爾伯特是數(shù)學(xué)的旗幟，純粹思想的神龕(shrine of pure thought )，至于“全世界想學(xué)數(shù)學(xué)的人們打起背包，到哥廷恩去，那里有希爾伯特”的噱頭，雖說(shuō)出處可疑，畢竟有其發(fā)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束前，美英法盟軍沒(méi)有轟炸哥廷恩，算是強(qiáng)盜有文化的案例，也是因?yàn)楦缤⒍魈^(guò)令人肅然起敬了。

一個(gè)人能成為學(xué)術(shù)巨擘不是偶然的。大抵說(shuō)來(lái)，他應(yīng)該生來(lái)聰穎過(guò)人，導(dǎo)師也是學(xué)術(shù)巨擘級(jí)的，能教他深入的學(xué)問(wèn)，引導(dǎo)他到學(xué)問(wèn)的前沿。由此看來(lái)，老師們要不遺余力地教多、教深，才算是合格的，這也是一個(gè)教師的起碼良知。至于學(xué)生們能走多遠(yuǎn)，那要看學(xué)生們自己的造化。成巨擘的人，心思只可在學(xué)問(wèn)本身。這樣看來(lái)，他還應(yīng)該是富足的，物質(zhì)上與精神上都富足，心無(wú)旁騖，不會(huì)為了生活所迫違心去做根本算不上研究的研究。

關(guān)于數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，我總覺(jué)得一個(gè)人只有實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)家and數(shù)學(xué)家的運(yùn)算才可能實(shí)現(xiàn)理解數(shù)學(xué)or物理的結(jié)果。實(shí)際上，從牛頓、拉格朗日、歐拉、貝努里們、哈密頓、格拉斯曼、龐加萊、希爾伯特、外爾、諾特到眼前的阿諾德、阿提亞、彭羅斯等人，一個(gè)大數(shù)學(xué)家沒(méi)有對(duì)物理學(xué)的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)簡(jiǎn)直是不可想象的。反過(guò)來(lái)，好的物理學(xué)家，如狄拉克、薛定諤、錢(qián)德拉塞卡、李政道先生、楊振寧先生等，其數(shù)學(xué)水平也不是一般意義的數(shù)學(xué)愛(ài)好者能比的。外爾的一句“In some way Euclid’s geometry must be deeply connected with the existence of the spin representation (歐幾里得幾何肯定以某種方式同自旋表示的存在深度關(guān)聯(lián)) ”讓我渾身一顫，當(dāng)然這主要是因?yàn)槲覕?shù)學(xué)差的原因。

外爾是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，也是文采斐然、風(fēng)格獨(dú)特的作家，其文筆優(yōu)美、頑皮，有人甚至夸獎(jiǎng)他的文風(fēng)是詩(shī)意的。多么深沉、嚴(yán)肅的內(nèi)容，外爾都能寫(xiě)出優(yōu)美的文字來(lái)，并且灌注入思想，因此讓人覺(jué)得讀來(lái)是個(gè)享受。外爾1939年在普林斯頓出版The classical groups時(shí)在序言中為自己的英語(yǔ)不流利而道歉：

The gods have imposed upon my writing the yoke of a foreign tongue that was not sung at my cradle.

“Was dies heissen will, weiss jeder,

Der im Traum pferdlos geritten.”

諸神給我的寫(xiě)作強(qiáng)加上了枷鎖，那是我在搖籃中未曾聽(tīng)過(guò)歌聲的語(yǔ)言。“那是什么樣的感覺(jué)呢，夢(mèng)到自己胯下無(wú)馬還縱橫馳騁的人都知道?！?/p>

這讓英語(yǔ)是native language的人都無(wú)地自容。同一年，談?wù)摮橄蟠鷶?shù)同拓?fù)鋵W(xué)的競(jìng)爭(zhēng)，外爾寫(xiě)道：

“In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain."

這些日子里，拓?fù)鋵W(xué)的天使和抽象代數(shù)的魔鬼在為每一塊數(shù)學(xué)地盤(pán)的靈魂而打斗！

嗯， 天使，魔鬼，還為了靈魂在打斗，這數(shù)學(xué)就顯得比較熱鬧。

不知道數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)的思想在外爾的靈魂里是怎樣打斗的，激烈而且和諧？

參考文獻(xiàn)

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10. Eugene Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren (群論及其在原子譜量子力學(xué)中的應(yīng)用), Vieweg (1931). ?英文版為Group Theory: And its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press (1959).

11. John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer (1932).

12. Michael Atiyah, Hermann Weyl 1885-1955, The national academy press (2002).

注釋

[1] 我最佩服的就是赫爾曼.外爾——邁克爾.阿提亞

[2] 中文譯本名為《實(shí)用理性批判》，但這容易讓筆者這樣的糊涂人理解為實(shí)用的‘理性批判’。此處故意點(diǎn)明這是關(guān)于‘實(shí)用理性’之批判。

[3] Quantenmechanik, 量子力學(xué)，一詞最早出現(xiàn)于1924年

[4] 海森堡因?qū)仃嚵W(xué)的貢獻(xiàn)而作為量子力學(xué)奠基人之一而聞名。實(shí)際上，他提出同位旋和交換相互作用的概念才更見(jiàn)水平。

[5] 忽然明白某些地方的量子力學(xué)的教與學(xué)差在哪兒了。

[6] 狄拉克說(shuō)是自己硬推導(dǎo)出來(lái)的。

[7] 連續(xù)統(tǒng)的譯法涉嫌同義反復(fù)。‘統(tǒng)’字本身就是連續(xù)關(guān)系的意義

[8] 雖然初二就學(xué)過(guò)，但筆者打死也不敢說(shuō)自己會(huì)歐幾里得幾何。牛頓能用平面幾何證明平方反比力下行星運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓錐曲線(xiàn)，外爾從歐幾里得幾何能看到自旋表示。信誓旦旦敢說(shuō)會(huì)的，都是因?yàn)橹赖纳佟?/p>

[9] 球諧函數(shù)，聽(tīng)著莫名其妙吧？Spherical harmonic function, 其實(shí)是球安裝函數(shù)，即用這樣的函數(shù)可以湊出一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的分布來(lái)。Harmony, 本義是安裝到位。