任何兩個有理數(shù)之間存在無窮多個有理數(shù)：

同理，一個有理數(shù)和一個無理數(shù)之間存在無窮多個無理數(shù)。

兩個有理數(shù)之間存在無窮多個無理數(shù)：

把根號2換成根號p,p為非完全平方數(shù)，即得無窮多個。

兩個無理數(shù)之間存在無窮多個有理數(shù)：

先介紹阿基米德性質(zhì)。

阿基米德性質(zhì)可以認為以下二句敘述的任一句：

1. 給出任何數(shù)，你總能夠挑選出一個整數(shù)大過原來的數(shù)。

2. 給出任何正數(shù)，你總能夠挑選出一個整數(shù)其倒數(shù)小過原來的數(shù)。

這等價于說，對于任何正實數(shù)a、b，如果 a<b，則存在自然數(shù)n，有na>b,即

上述性質(zhì)可以認為是公理。

現(xiàn)在假設(shè)y-x<1，則根據(jù)阿基米德性質(zhì)，有n(y-x)>1,n為自然數(shù)。由于ny和nx之間的間隔大于1，所以兩者之間必然包含一個整數(shù)，假設(shè)這個整數(shù)是m,則存在關(guān)系nx<m<ny,也就是

而m/n是有理數(shù)，再取半操作重復(fù)應(yīng)用，所以得到兩個無理數(shù)之間存在無窮多個有理數(shù)。

綜合上述內(nèi)容，數(shù)軸上任意兩個數(shù)（包括有理數(shù)和無理數(shù)）之間，包含了無窮多個其它的數(shù)字（同樣包括有理數(shù)和無理數(shù)），所以數(shù)軸是稠密的。