前置知識(shí)：二項(xiàng)式定理

????????我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)，可能已經(jīng)習(xí)慣了將最終結(jié)果保留為解析解而不是數(shù)值解了?？稍趯?shí)際應(yīng)用過(guò)程中，必然要將解析解轉(zhuǎn)化為數(shù)值解才能使用。當(dāng)然，我們可以利用計(jì)算機(jī)，使用相應(yīng)的數(shù)值方法算出數(shù)值解。如果沒(méi)有計(jì)算機(jī)，數(shù)值方法使用起來(lái)可能就存在困難。這里我們來(lái)說(shuō)說(shuō)一種手開(kāi)平方的方法。

例1????計(jì)算√71824

解????從個(gè)位開(kāi)始，2位分為一組；

? ? ????試商，22=4<7, 32=9>7，于是第一位結(jié)果上2；

????????試商，20×6×2+62=276<318, 20×7×2+72=329>318，于是第二位結(jié)果上6；

????????試商，20×8×26+82=4224，于是第三位結(jié)果上8；

????????于是√71824=268。

例2????計(jì)算√2

解????試商，12=1<2, 22=4>2，于是第一位結(jié)果上1；

????????補(bǔ)2位0，試商，20×4×1+42=96<100, 20×5×1+52=125>100，于是第二位結(jié)果上4；

????????補(bǔ)2位0，試商，20×1×14+12=281<400, 20×2×14+22=564>400，于是第三位結(jié)果上1；

????????補(bǔ)2位0，試商，20×4×141+42=11296<11900, 20×5×141+52=14125>11900，于是第四位結(jié)果上4；

????????于是√2=1.414…。

????????接下來(lái)我們來(lái)說(shuō)明這種算法為何是逐位精確的。

????????任意一個(gè)1~9之間的整數(shù)的平方結(jié)果必為1位或2位數(shù)，據(jù)此出發(fā)，我們可以證明：一個(gè)n位數(shù)的平方結(jié)果必為2n-1位或2n位數(shù)。這是我們對(duì)整數(shù)部分劃分成2位1組的依據(jù)。?

????????然后是試商的原理。

????????我們假設(shè)要對(duì)數(shù)b開(kāi)平方，已經(jīng)求出前面若干位的精確值am-1，下一位待求的數(shù)是xm。我們要找到一個(gè)比較好的xm，使得

(10?的作用是調(diào)整位數(shù))比較接近b，但又不要大于b，否則下一位待求數(shù)xm+1就是負(fù)數(shù)，這是不被允許的。

????????我們?cè)O(shè)當(dāng)前誤差為en，下一次誤差為en+1。首先能求出x1，于是a1=x1；這時(shí)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化成找到使非負(fù)數(shù)e1最小的x2。隨后a2=10a1+x2，就有

看到20a2x3+x32了吧？現(xiàn)在就能夠說(shuō)清楚我們開(kāi)方試商的原理了。我們把整數(shù)部分劃為2位1組，其實(shí)就是解決了調(diào)整位數(shù)的問(wèn)題，每次試商只要湊出最大的20am-1xm+xm2，其實(shí)是在從真實(shí)值的較小側(cè)，以最接近的幅度逐步逼近真實(shí)值，這樣就能逐位精確開(kāi)平方了。

????????用類似的思路，你能否想到如果手開(kāi)n次方呢？提示：先將被開(kāi)方數(shù)以n位劃分為一組，然后用(10am-1+xm)?進(jìn)行推導(dǎo)。

????????最后，試著利用這種方法計(jì)算一下3√2吧。Key: 3√2=1.259…