題目：在一高度為h的臺(tái)上拋出一個(gè)物體(視為質(zhì)點(diǎn))，不考慮空氣阻力，求落到地面時(shí)的最遠(yuǎn)射程？

原視頻：BV16V4y1J7Ho

該視頻精華即運(yùn)用了參考系變換來(lái)求解，體現(xiàn)了多角度思考分析問(wèn)題的重要性，下面再分享幾種個(gè)人所想的門(mén)檻較低些的方法。

法一：利用函數(shù)思想

設(shè)初速度大小為v?，拋射角為θ,θ∈[-π/2,3π/2](這樣就可以描述所有的情況了)

則拋體運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程為：

其中t為參數(shù)且t≥0

令y=0，即

用求根公式解關(guān)于t的一元二次方程得：

舍去負(fù)根，得落地時(shí)間為：

此時(shí)

這時(shí)就得出射程x與拋射角θ的關(guān)系式，利用函數(shù)思想，求取最大值即可

由于左右兩側(cè)對(duì)稱(chēng)，所以只需研究θ∈[-π/2,π/2]的情況即可

這時(shí)就頭一次鐵了，求導(dǎo)暴算

令其=0求出極值點(diǎn)

(這個(gè)運(yùn)算寫(xiě)了將近一頁(yè)草稿紙，由于文章有圖片數(shù)限制所以就省去了)

整理得：

解得：

即當(dāng)時(shí)取得最大射程

下面有個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單但門(mén)檻高一些的方法

法二：求運(yùn)動(dòng)曲線族的包絡(luò)線

運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程：

上式化為代入下式消去參數(shù)t得直角坐標(biāo)方程：

這時(shí)視拋射角θ為參數(shù)對(duì)其求偏導(dǎo)得：

令其=0，解得：

其中，

將其代入原方程即可得包絡(luò)線方程：

令y=0，解得：

此時(shí)拋射角

ps:有關(guān)求該包絡(luò)線的方法有更低門(mén)檻的理解方法，有關(guān)內(nèi)容的文章鏈接在評(píng)論區(qū)置頂處

另外，視頻中所提及的結(jié)論也可以用參數(shù)方程的知識(shí)證明

拋體運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程為：

在初速度相同時(shí)，往各個(gè)方向拋出質(zhì)點(diǎn)，取一特定的時(shí)間t(控制t不變)，讓?duì)热”閇-π/2,3π/2]的所有數(shù)，每一個(gè)θ對(duì)應(yīng)此時(shí)刻的一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)就構(gòu)成了所求的曲線

因此上述方程可視為關(guān)于θ的參數(shù)方程，由形式即可得出其為一個(gè)圓

(ps:注意標(biāo)紅部分的重點(diǎn)，這時(shí)控制t不變意思就是取定一個(gè)t研究此時(shí)刻下相同初速度沿不同方向拋出的質(zhì)點(diǎn)的分布，因此θ視為參變量)

對(duì)比圓的參數(shù)方程可得：

半徑為，圓心為

計(jì)算機(jī)模擬的參考圖如下：

拓展到空間中，我們可視x-O-y為水平面，在z-O-x平面上研究上述問(wèn)題，再將曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)1周即可得到空間中的所有情況，因此在空間中同一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所排列的就是一個(gè)球

半徑為，球心為

計(jì)算機(jī)模擬的參考圖如下：