????????簡(jiǎn)單說一下現(xiàn)有方案中，在精確性、快速性、靈活性、方便性上全都最好的勻速化參數(shù)曲線的方法。

? ? ????先看一些對(duì)比舉例：

左邊是kyanko前輩的勻速貝塞爾曲線，右邊是我勻速貝塞爾曲線的效果。可以看到kyanko前輩勻速曲線的準(zhǔn)確度不夠好，在該例中，并不是kyanko前輩的求積分求長(zhǎng)度不夠精確導(dǎo)致的，而是牛頓迭代不準(zhǔn)確導(dǎo)致的，牛頓法本來就不太好使，也就是說，就算其它部分的代碼不變、只改變迭代算法，這里的曲線一樣能被很好地勻速化。下面這4張對(duì)比圖都是同樣的情況(僅因?yàn)榕ｎD法不咋地而導(dǎo)致勻速效果不準(zhǔn)確，左邊是kyanko前輩的，右邊是我的效果)：

然后對(duì)于一般的參數(shù)曲線，kyanko前輩在求長(zhǎng)度的時(shí)候有利用周期性來分段求值，但是，沒有周期的振蕩曲線當(dāng)然多得數(shù)不過來，比如：

上圖是用我的函數(shù)勻速化該曲線后的樣子，可見勻速的效果非常好。那這樣的振蕩曲線，如果用kyanko前輩的思路，自然在求積分的時(shí)候會(huì)有很大誤差。再比如，就算函數(shù)有周期，利用周期性來求也不見得計(jì)算有多正確，比如這樣的振蕩曲線：

上圖還是用我的函數(shù)將該曲線勻速化后的樣子，可見效果非常精準(zhǔn)。而如果用kyanko前輩的方法，這函數(shù)雖然有周期，但按周期來算，也會(huì)有很大誤差，更別說還需要使用者自己去計(jì)算不同函數(shù)的周期，所以，這在準(zhǔn)確性和便利性上都不太好。

? ? ? ? 說完了精確度的問題，然后是靈活性和便利性的問題。kyanko前輩的勻速一般曲線，需要使用者自己去計(jì)算導(dǎo)數(shù)，所以使用者每次想要?jiǎng)蛩倌硞€(gè)曲線時(shí)，就要自行求導(dǎo)，這怎么想都非常地不方便，而我寫的函數(shù)，可以支持使用者不自行求導(dǎo)，就是說，使用者如果自己愿意求導(dǎo)，那可以傳入使用者求出的導(dǎo)數(shù)，使用者若懶得求導(dǎo)，那就算不人為地提供導(dǎo)數(shù)，一樣能做勻速曲線效果，這樣，在靈活性和便利性上都大大的提高了。

? ? ? ??最后就是代碼速度的問題了。下圖標(biāo)紅的是kyanko前輩的耗時(shí)，標(biāo)白的是我的耗時(shí)：

可見我的代碼在速度上也是更快的，就比如勻速貝塞爾曲線，我的函數(shù)速度一般比kyanko前輩的快了約一倍，也就是說，在精度速度靈活度便利度，每一個(gè)方面，我現(xiàn)有的方案都是最佳的。

? ? ? ??簡(jiǎn)單的介紹一下我采用的方案。在求數(shù)值積分上，我測(cè)試了很多方法，比如修改優(yōu)化后的雙指數(shù)方法，雖然這種方法精確度不錯(cuò)，但速度十分緩慢，因?yàn)樾枰h(huán)很多次，不管是在提前準(zhǔn)備好節(jié)點(diǎn)的情況下，還是不提前生成節(jié)點(diǎn)的情況下，都十分的緩慢，所以就無所謂是否提前生成節(jié)點(diǎn)了，所以自然不能用這種方法來實(shí)現(xiàn)勻速曲線效果。那其它方法怎樣呢，比如自適應(yīng)Gauss–Kronrod積分，也就是算積分的同時(shí)也有誤差估計(jì)，根據(jù)估計(jì)的誤差來分段，每一次將誤差最大的段平分，然后計(jì)算積分以及估計(jì)誤差，直到每一段估計(jì)誤差加起來小于你設(shè)定的容忍值為止，這種方法雖然得到的結(jié)果比不用誤差估計(jì)的Gauss–Kronrod方法要精確，但速度肯定是慢的，尤其是，如果要做勻速曲線，就得不停地求積分，耗時(shí)并不會(huì)樂觀，所以這種自適應(yīng)積分也是不能用。那這么說來，實(shí)際就不可能有又快又高精度的數(shù)值積分方法了，那確實(shí)，是這樣的，沒錯(cuò)的。但這里有個(gè)問題啊，先清醒一下??！做勻速曲線的原理我在視頻里老早就講過，由于咱們等間隔的取時(shí)間參數(shù)t，采得曲線上的點(diǎn)并不是等間隔的，所以咱們需要弧長(zhǎng)參數(shù)s，當(dāng)我們等間隔地取弧長(zhǎng)參數(shù)s(如0?,?0.1?,?0.2?,?0.3)時(shí)，得到的曲線上的點(diǎn)也會(huì)是均勻的，所以重點(diǎn)就是怎樣實(shí)現(xiàn)弧長(zhǎng)參數(shù)化。這很簡(jiǎn)單，首先要求得曲線的總長(zhǎng)度L，對(duì)吧，這時(shí)咱們要均勻采樣就能得到勻速的點(diǎn)了(如取0*L?,?0.1*L?,?0.2*L?,?0.3*L)，也就是咱們要求得在長(zhǎng)度為?s*L?時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，所以只要求得在長(zhǎng)度為?s*L?處的時(shí)間參數(shù)t，就能將t代入曲線方程，就直接有點(diǎn)坐標(biāo)了。所以，現(xiàn)在只有兩個(gè)問題，一是求曲線總長(zhǎng)度，二是根據(jù)指定長(zhǎng)度求此處的時(shí)間參數(shù)t，求長(zhǎng)度需要數(shù)值積分，求t需要反復(fù)迭代，所以呢，在求t的過程中是會(huì)反復(fù)用到"求長(zhǎng)度"的函數(shù)的，什么意思，就是說假設(shè)你希望均勻地取1000個(gè)曲線上的點(diǎn)，每取一次就要求t，每求一次t就要反復(fù)使用"求長(zhǎng)度"函數(shù)，來1000次爽不爽啊，問題在哪，在求長(zhǎng)度啊，很清晰吧，求一回長(zhǎng)度，是不需要用更高精度的積分的，只要分段就行了，直接用Gauss–Kronrod積分就行了啊，總想著怎么高精度地求長(zhǎng)度很耗時(shí)，不如直接分段啊，分段以后，每一段的求長(zhǎng)度求積分是精確的(足夠)，迭代求t的時(shí)候，在這一段上找解不就完了，這好家伙，不是又快又精確嗎？分明是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問題，而如果總是糾結(jié)于高精度數(shù)值積分，那思維就完全被限制住了。

? ? ? ? 分段的話，kyanko前輩是有分的，那為什么kyanko前輩的函數(shù)這么慢呢，這是因?yàn)樵诿恳淮吻箝L(zhǎng)度時(shí)，都分成很多段來計(jì)算，可問題是，分段，只需要分一次，不需要次次分！次次分，只會(huì)又連累速度又連累精確度！一條曲線就是分成64段又如何，只分一次，又快又準(zhǔn)，而如果次次分，一條曲線總共只分5段又如何，次次分，又慢又不準(zhǔn)！分段，只分一次，每一小段的長(zhǎng)度是精確計(jì)算的(足夠)，每一段的長(zhǎng)度是已知的，這樣，指定長(zhǎng)度處的點(diǎn)，落在哪一段上也是已知的，這很清晰，在這一段上找t，自然是精確的，這很簡(jiǎn)單！

? ? ? ??當(dāng)然除了這些，剛剛也講了，我用了其它迭代算法、比牛頓法更精準(zhǔn)，同時(shí)還提供了數(shù)值求導(dǎo)。還有就是，很早以前我提過，kyanko前輩計(jì)算的切線角度明顯是有錯(cuò)誤的，在y=0時(shí)，有0和π兩種可能，kyanko前輩求的角度在y=0時(shí)只能得到0，其實(shí)，有一個(gè)函數(shù)，名叫，math.atan2，是的沒錯(cuò)，大家可以在aeg里使用這個(gè)函數(shù)，對(duì)，是這樣，自己寫不寫這函數(shù)都無所謂，但若寫錯(cuò)了就不是無所謂了。math.atan2函數(shù)和math.atan不同，math.atan2返回值的范圍，要猜猜，那當(dāng)然是-π到π了，能覆蓋整個(gè)平面直角坐標(biāo)系，求角度直接用math.atan2即可。

????????最后，具體的代碼照舊在視頻里介紹。