本專欄希望讀者至少學(xué)過馬原這門本科必修課，還記得高中數(shù)學(xué)。另外，這只是一篇導(dǎo)引，拋磚引玉罷了，因此本人拒絕原教旨主義式辯經(jīng)。

馬克思的社會總資本再生產(chǎn)理論主要見于《資本論》第二卷，其背后的數(shù)學(xué)模型框架可謂呼之欲出，但或許是或許是由于種種原因，馬克思一直都是在用具體數(shù)值舉例，如非實在必要，絕不會寫什么代數(shù)式?，F(xiàn)在，《馬克思主義基本原理概論》（即上文的“馬原”）的教材似乎也不怎么提，畢竟對于大多數(shù)人來說，《資本論》第一卷的內(nèi)容要重要得多。而專業(yè)教材，要么如高教版的《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)》（第五版），對此惜墨如金；要么如徐禾等編的《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)概論》，沿用馬克思的方式，用具體數(shù)字來說明理論的運行過程。

而與此同時，如今的馬克思政治經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理化進(jìn)程也在穩(wěn)步地向前發(fā)展。在上世紀(jì)各種論爭下，馬克思經(jīng)濟(jì)理論的數(shù)理模型逐漸得到發(fā)展與改進(jìn)，其形式與內(nèi)容也變得愈發(fā)艱深。雖然現(xiàn)在估計已經(jīng)沒幾個人知道，但當(dāng)時，即后來寫《經(jīng)濟(jì)學(xué)》寫到19版的薩繆爾森，也曾來此攪過渾水帶過節(jié)奏參與過討論。當(dāng)然，現(xiàn)在的話，可能連知道薩繆爾森及其經(jīng)濟(jì)學(xué)地位的人都沒多少吧。

于是，理論前沿這邊，數(shù)理模型的補丁打得飛起（還都不一定能相互兼容）；基礎(chǔ)教育這邊，連數(shù)學(xué)建模的影子都還沒有。兩者之間的空缺越拉越大，馬克思政治經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理化的這一進(jìn)路也越來越讓人難以接近。更何況，“馬克思政治經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理化”這件事本身，在大環(huán)境下，冷門得就如同在文科生里挑人考理科一樣令人不可思議，“庸俗化”、“歪曲化”的原教旨主義式批判更是不絕于耳。這也是為什么開頭就說“拒絕辯經(jīng)”的原因。如有覺得不合適的地方，各位自行辯證看待并批判吸收就好。

但即便如此，總是要有人來架一根橋的，哪怕它就是一根獨木，還容易讓人摔下萬丈深淵。我只能說盡我最大的努力來引導(dǎo)、普及了，不足之處自然是很多的，但這些東西只能靠有能大佬們?nèi)ミM(jìn)一步地解決了。

以上就算是前言吧。一沒忍住就絮絮叨叨了這么多的廢話了。

這個模型盡可能按照馬克思《資本論》第二卷里原有的具體例子來構(gòu)建，但會有所簡化，自己編的，不加補丁，也不會過多解釋漏洞，畢竟這主要還是用來拋磚引玉的，為了讓更多人能往這個方向思考。

先說一下基本的特殊處理吧。

首先，由于這是個“再生產(chǎn)”過程，涉及到資本周轉(zhuǎn)與多期的問題，所以這里主要的工具是數(shù)列。這里不考慮固定資本的問題。當(dāng)然，現(xiàn)在很多模型都直接連續(xù)化然后求導(dǎo)了，比如張宇等編的《高級政治經(jīng)濟(jì)學(xué)》，它就是按照這種思路來處理的。但這種思路不容易和原有的具體例子銜接上，而很多人可能都是順著具體例子的思路了解再生產(chǎn)理論的。為了照顧到讀者思維的連貫性，這里便用數(shù)列作為基本的數(shù)學(xué)工具。

其次，不考慮貨幣資本的轉(zhuǎn)化與流通問題，簡單理解成單純的實物交換。馬克思在《資本論》第二卷中，花了相當(dāng)多的篇幅來論述，在社會再生產(chǎn)過程中，貨幣資本的這些問題。而這些描述，固然都非常重要，但對于理解再生產(chǎn)理論來說，并不是非常必要的，甚至很可能會將初學(xué)者繞暈。因此，在這里將其數(shù)理化的話，還是比較費力不討好的。

最后，在形式上區(qū)分生產(chǎn)前資本（即“成本”）與生產(chǎn)后資本（即“產(chǎn)品”）。這主要是為了讓讀者更清晰地認(rèn)識到剩余價值的產(chǎn)生來源，以及更好地理解資本流轉(zhuǎn)的基本流程。

比較特殊的地方基本就是這幾點了， 如果還有的話到時再補充說明。

在時期（或稱周期）t ：

首先是生產(chǎn)前：

這其中，I、II 分別表示第一部類和第二部類（具體含義后面再解釋一遍），c、v 則分別表示不變資本（即生產(chǎn)資料）與可變資本（即勞動力），它們的下腳標(biāo) t 則表示它們都是在時期 t?時所對應(yīng)的量。比如?Ic_t?就表示在時期?t?時，第一部類的不變資本量，即此時第一部類的生產(chǎn)資料所對應(yīng)的價值總量；IIv_t?則表示在時期?t?時，第二部類的可變資本量，即此時第一部類工人們的勞動工資所對應(yīng)的價值總量。

然后是生產(chǎn)后：

這里的上角標(biāo)意味著，上面這些量所對應(yīng)的，都是產(chǎn)品中的價值量。這其中，(I、II)m_t?就是完全由可變資本（勞動力）所創(chuàng)造出來的剩余價值。需要注意的是，Ic_t、IIv_t與I'c_t、II'v_t在物質(zhì)形態(tài)上雖然可能已經(jīng)無法準(zhǔn)確地一一對應(yīng)了，但它們所對應(yīng)的勞動價值量相等。也就是說，生產(chǎn)后的這個等式組，只是關(guān)于產(chǎn)品進(jìn)行的一個人為劃分，以便讓原來的各價值量在生產(chǎn)后也能有所對應(yīng)。

于是有一個表示價值轉(zhuǎn)移去向的附加等式組：

另外，這種劃分除了標(biāo)記出它們各自的價值來源外，也在一定程度上標(biāo)志著它們所對應(yīng)價值的預(yù)定去向。比如I'v_t，它不僅價值量與Iv_t是相對應(yīng)，還是預(yù)定在下次生產(chǎn)時支付的勞動工資總量。當(dāng)然，這些“預(yù)定工資”，必須要在將這批新生產(chǎn)出來的生產(chǎn)資料（因為是第一部類），進(jìn)行部類間交換，即換成價值量對應(yīng)的消費資料后，才能真正地變成工資的形式，從而付給工人（即勞動力）們。

之所以強調(diào)預(yù)定，是因為還要考慮到，部類間交換時可能出現(xiàn)的多種情況，以及資本家們的想法。為了完成部門間交換，資本家們可能不得不重新調(diào)整之前預(yù)定好用途的c、v、m。此外，資本家們對剩余價值的處理也是需要好好考慮的。

此時，再引入幾個重要概念的定義：

這其中，c_v、m_v和 r?分別對應(yīng)的是馬克思所說的資本有機構(gòu)成、剩余價值率和利潤率。這三個量視為模型的外生變量，暫時認(rèn)為不變（因此也都沒有標(biāo)記下腳標(biāo)?t?）。為了簡潔，這三個參數(shù)在兩部類間都對應(yīng)相等，因此對于所對應(yīng)的部類也不特別區(qū)分。

這其中，利潤率的對應(yīng)相等有著重要的理論意義。它意味著利潤率的平均化，利潤轉(zhuǎn)化為了平均利潤，一般利潤率已經(jīng)形成。

以上就是關(guān)于生產(chǎn)過程的描繪了。

下面就是最后，也是最為關(guān)鍵的一個等式組了，同時也是一個遞推公式組，因為它是關(guān)于資本流通過程的描繪：

如果完全按照例子來建模的話，這里面的待定內(nèi)容大約只有兩種情況。但馬克思在例子之外，還詳細(xì)說明了不同于例子的其他幾種情況，這些內(nèi)容也是比較必要的，因此部分內(nèi)容待定，等分析具體情況時再一一確定下來。至于已經(jīng)確定的部分，后面會有解釋，主要和“相對過剩人口”的存在有關(guān)。

在進(jìn)一步的具體分析前，先簡單說一下交換的過程。

第一部類是專門生產(chǎn)全社會所需生產(chǎn)資料的部門。第一部類中，I'c_t?這部分新生產(chǎn)出來的生產(chǎn)資料，預(yù)定在進(jìn)行部類內(nèi)交換后，填補生產(chǎn)過程中造成的生產(chǎn)資料 Ic_t 的消耗，從而為下一期生產(chǎn)做好準(zhǔn)備。而剩下的 I'(v_t+m_t) 這部分新生產(chǎn)出來的生產(chǎn)資料，則預(yù)定在與第二部類交換變成消費資料后，分別拿來給勞動力們發(fā)勞動工資和供資本家自己使用。

第二部類是專門生產(chǎn)全社會所需消費資料的部門。第二部類中，II'c_t?這部分新生產(chǎn)出來的消費資料，預(yù)定在與第二部類交換變成消費資料后，填補生產(chǎn)過程中造成的生產(chǎn)資料IIc_t的消耗，從而為下一期生產(chǎn)做好準(zhǔn)備。而剩下的 I'(v_t+m_t) 這部分新生產(chǎn)出來的消費資料，則預(yù)定在進(jìn)行部類內(nèi)交換后，分別拿來給勞動力們發(fā)勞動工資和供資本家自己使用。

因此，這里至關(guān)重要的，是部類間交換，即 I'(v_t+m_t) 與 II'c_t 之間的關(guān)系。

如果兩者剛好相等，則為馬克思所提的簡單再生產(chǎn)。整個社會年復(fù)一年地重復(fù)著同樣的事情，無論是社會總資本量，還是各部類間的對應(yīng)量，都沒有發(fā)生過任何變化。當(dāng)然，馬克思還有說過不相等的各種情況，但一般都被各類教材選擇性省略了。但此時，模型的嚴(yán)謹(jǐn)性要求這些情況必須一一討論。

在進(jìn)一步討論之前，再說明一下各個量決定的優(yōu)先級。

首先是部類間交換的完成絕對優(yōu)先于其他決定。第一部類如果沒有部類間交換，消費資料都沒有，第一部類的所有人那不得活活餓死？第二部類如果沒有部類間交換，生產(chǎn)資料都沒有，那在下一期，第二部類的所有人不也得活活餓死？而其他部分的預(yù)定量，則視部類間交換的情況來相應(yīng)調(diào)整。

然后是同一部類間的下次生產(chǎn)決定。由于資本有機構(gòu)成 c_v 不變，c 和 v 只要決定出其中一種的量，另一種的量也就相應(yīng)確定了。因為考慮到“相對過剩人口”的存在，這里假設(shè)可變資本 v 的決定服從于不變資本 c 的決定。換句話說，此時，勞動力（即可變資本），以及沒能成為勞動力的失業(yè)人口，在大街上一抓一大把。在這種情況下，比起生產(chǎn)資料（即不變資本），勞動力自然要“賤”得多了。

至此，對上面那個等式組，即等式組（5）的說明，就基本解釋完了。

再進(jìn)一步分析之前，先給出下面這一個示意圖，以便讀者能理清這幾個等式組的關(guān)系，以及整個模型大致的框架與運行流程。

梳理清楚后，現(xiàn)在再繼續(xù)對等式組（5）進(jìn)行進(jìn)一步的分情況討論。

為簡潔起見，下面均不考慮克扣工資的情況。

先只考慮資本家只會將剩余價值拿來消費的情況：

此時即上面提到的“簡單再生產(chǎn)”。雖然存在著剝削，但人們的生活仿佛一成不變。

此時第一部類預(yù)定拿來部類間交換的生產(chǎn)資料相對過多，交換很難使得雙方都滿意。此時至少需要有一方資本家對預(yù)定作出調(diào)整：

此時，第二部類的資本家可以通過減少當(dāng)期的剩余價值消費來完成部類間交換。需要注意的是，此時由于 IIc_{t+1}>IIc_{t} ，即下一期中第二部類的不變資本增加，I'(v+m) 與 II'c 之間的差距將會得到彌補，從而回到（5.1）的“簡單再生產(chǎn)”模式。但此時，第一部類的資本家不能將多余部分的生產(chǎn)資料挪去參與下次生產(chǎn)，即加入到 Ic_{t+1}，因為這樣只會使得差距越拉越大，從而使得經(jīng)濟(jì)體系崩潰。

此時，第二部類的資本家已經(jīng)無法通過減少消費來彌補空缺了。于是第一部類資本家只好將此次的多余部分生產(chǎn)資料舍棄，且減少下一期中對生產(chǎn)資料（即不變資本）的投入，并相應(yīng)地減少對勞動力（即可變資本）的投入。之后同樣將回到（5.1）的“簡單再生產(chǎn)”模式。只是此時，“相對過剩人口”進(jìn)一步增多，生產(chǎn)資料出現(xiàn)浪費現(xiàn)象。此時可能會有人問：“生產(chǎn)資料有這么多過剩到?jīng)]人要的，失業(yè)人口也這么多，那這些人為什么不自己辦廠創(chuàng)業(yè)呢？”當(dāng)然，不要問我，我是不知道該怎么回答的。

此時第二部類預(yù)定拿來部類間交換的消費資料相對過多，交換很難使得雙方都滿意。此時至少需要有一方資本家對預(yù)定作出調(diào)整。但因為過剩的是消費資料，所以處理辦法很簡單：多余部分全部用于第二部類資本家自己消費。此時，第一部類的資本家不能將預(yù)定參與下次生產(chǎn)的部分拿來填補這次交換的空缺，因為這樣只會使得差距越拉越大，從而使得經(jīng)濟(jì)體系崩潰。

有一定可能會出現(xiàn)一種特殊情況：在這一期內(nèi)，第二部類資本家對多余部分的消費已經(jīng)超出自己的消費限度了。比如牛奶，畢竟不是每個人想喝多少喝多少的。但此時，超出額度的這部分消費資料已經(jīng)賣不出去了。于是第二部類資本家只好將此次超出額度的多余部分消費資料舍棄，同時減少下一期中對生產(chǎn)資料（即不變資本）的投入，并相應(yīng)地減少對勞動力（即可變資本）的投入。之后同樣將回到（5.1）的“簡單再生產(chǎn)”模式。只是此時，“相對過剩人口”進(jìn)一步增多，消費資料出現(xiàn)浪費現(xiàn)象。此時可能會有人問：“牛奶都多到讓往河里倒了，為什么還有這么多人吃不上飯呢？”當(dāng)然，不要問我，我是不知道該怎么回答的。

以上就是資本家只會將剩余價值拿來消費時，主要情況的相關(guān)討論與基本結(jié)論。

下面開始討論，資本家會將剩余資本用來投入再生產(chǎn)，即用來購買追加不變資本以及相應(yīng)的可變資本（進(jìn)行擴(kuò)大再生產(chǎn)）時，社會總資本的運行情況。

為簡單起見，默認(rèn)有：

這個設(shè)定類似于（5.1）。這其中，Δc_t、Δv_t 為各部類的資本家對應(yīng)的追加不變資本量與追加可變資本量。顯然，它們也服從資本有機構(gòu)成 c_v 所帶來的限制關(guān)系。

這個式子的含義是：兩部類的資本家，在自己的剩余價值中，劃分好預(yù)定的追加投資部分與自己消費部分后，各自預(yù)定的部類間交換量剛好相等。

如果在這種情況下，各自預(yù)定的部類間交換量不相等呢？那就可以參考之前關(guān)于（5.2）和（5.3）情況的分析了。

在《資本論》第二卷的例子中，馬克思看重的是兩部類的總資本量 I_t、II_t 以及社會總資本量I_t+II_t 的變化。

記：

其中0<δ<1稱為剩余價值的積累率。

于是結(jié)合（1）（2）（3）（4）（5）（5.4.0.1）（5.4.0.2）可得：

這其中，δ_I、δ_II 分別代表第一、第二部類資本家的剩余價值積累率。

這組遞推公式（或差分方程）如果看起來沒什么感覺的話，可以再進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式來更真切地感受一下：

這其中，I_0、II_0 分別對應(yīng)第一、第二部類資本家的初始資本量，即資本原始積累時期所獲得的資本量。顯然，I_t、II_t 均為首項為正數(shù)、公比大于1的等比數(shù)列。

也就是說，第一、第二部類各自的總資本量，隨著時間的推移，呈指數(shù)級別的“爆炸式”增長。社會總資本量雖然不能說是標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)增長，但其增長速度，顯而易見，是與兩部類各自總資本量增長同一級別的。

此外，可以看到，第一、第二部類以及社會中總的資本量，與相應(yīng)的剩余價值積累率和利潤率均是同向變動的。這也叫意味著，資本家要是想在此基礎(chǔ)上再獲得更多的資本量，則要想辦法提高對應(yīng)的剩余價值積累率和利潤率。

以上就是資本家會將部分剩余價值進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為資本時，即出現(xiàn)資本積累時，模型的基本結(jié)論。

下面考慮（4）中那幾個基本參數(shù)，尤其是利潤率的變化所可能帶來的影響。

由（4）可知，利潤率的變化情況，取決于資本有機構(gòu)成與剩余價值率的變化情況。

首先是剩余價值率的變化情況。馬克思在討論剩余價值率時，沒有過多涉及到它的變化趨勢。

然后是資本有機構(gòu)成的變化情況。根據(jù)馬克思在《資本論》第一卷的論述，資本有機構(gòu)成會隨著資本的不斷積累而逐漸增加。

因此，我們可以得到《資本論》第三卷里一個重要論斷：利潤率趨向下降的規(guī)律。當(dāng)然，馬克思也只是強調(diào)這只是一種趨勢，而不是必然的下降。畢竟，即使光從這個模型中來看，阻礙下降的因素首先就包括了剩余價值率，即勞動剝削程度的提高。此外，不變資本要素價格、“相對過剩人口”的存在乃至對外貿(mào)易的情況，等等，都會對這種下降趨勢形成阻礙。

當(dāng)然，在上個世紀(jì)，這條規(guī)律也是一個爭論的焦點。這里先不過多討論這方面的問題，先默認(rèn)它的存在，且這種下降的趨勢確實是一種必然規(guī)律。

這種下降會導(dǎo)致怎樣的情況呢？這里不妨舉一個極端的例子：

其中，Ic_v、IIc_v分別為第一、第二部類的資本有機構(gòu)成，它們隨時間而逐漸增長。

如果知道自然常數(shù)e的由來與定義，就會發(fā)現(xiàn)，此時，在任何一個周期內(nèi)，第一、第二部類以及社會中總的資本量都會存在一個不斷接近卻永遠(yuǎn)也夠不到的上限。而這個上限恰好等于它們各自初始量的e倍。如果有一點數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的話，你還可以更精確地證明這個上限是它們的上確界，即一種“剛好夠不著的上限”（有些上確界夠得著的，但這里夠不著）。有興趣的讀者可以自行思考證明。

而為了抵消這種趨勢，資本家自然要想盡一切辦法來對抗它。當(dāng)然，最直接的辦法就是提高勞動剝削程度了。但現(xiàn)在的話，這也是最容易遭到反對的辦法了。至于其他的辦法，也許有，也許爭議也很多，但不要問我，我啥都不知道。

以上就是資本家會將部分剩余價值進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為資本時，即出現(xiàn)資本積累時，主要情況的相關(guān)討論。

至此，這篇專欄所主要想討論的內(nèi)容，也都討論完畢了。

如果讀者看到這里還有興趣繼續(xù)下去，那就可以去看相關(guān)的論文了。不過在看論文前，推薦先閱讀斯拉法的《用商品生產(chǎn)商品》，商務(wù)印書館有出過中文版，總共也就一百頁左右，而且閱讀的難度還是比《資本論》小一些的?？赐赀@本書，你就會知道這個導(dǎo)引模型有多么的粗糙甚至于不堪入目了，當(dāng)然這也和馬克思沒來得及完善《資本論》的第二、三卷有關(guān)。因此，這個模型也僅能作為一種導(dǎo)引來使用了。

推薦先讀這本書的另一個理由是，它是上個世紀(jì)，也許能包括這個世紀(jì)的前幾年，在馬克思政治經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理化進(jìn)路中，一個至關(guān)重要的模型，一本不能輕易繞過去的書。

還有一本就是M.C.霍華德與J.E.金寫的《馬克思主義經(jīng)濟(jì)學(xué)史》。

當(dāng)然，能堅持看到這里的讀者都估計沒幾個就是了。

匆匆而就，難免錯漏，還望讀者們能多多包涵。