0 寫在開頭

剛學(xué)完量子力學(xué)，一般最喜歡寫的就是H=T+V了，這樣寫很好！T可以是單粒子的動能，也可以是N粒子的，V可以是單粒子出于外部勢場的勢能，也可以是N粒子的相互作用勢場（即A在B的勢場中，算一遍勢能，B在A的勢場中，也算一遍勢能）。

在這里我們不談?wù)摱囿w帶來的困難，而談?wù)撘粋€新手容易弄混淆的謎團，甚至有的老練的文章產(chǎn)出機器還沒解決的謎團。

“有的問題，當(dāng)你能把這個問題表述清楚的時候，就不是問題了?！薄恢勒l說的，反正昨天我跟別人說過。

這是一個謎團，而不是問題，歸根究底是對于概念的理解有偏差，沒能把掌握的概念自洽起來，自己的理解之間在打架，相互矛盾。

下面，請容許我提出這個謎團，表述謎團是不可能清晰的，請見諒，否則它就不是謎團了。

1 謎團的提出

1.1 預(yù)備知識 A

以簡單的模型舉例，一維海森堡鏈，形式如下：

（一般給周期B. C.）

要注意，這個系統(tǒng)包含的N個電子，它們的波函數(shù)非常局域，都僅僅待在格點上不動。這是需要強調(diào)的，在之后有用。

這個哈密頓量和離散的實空間平移算符T_a對易，a表示晶格常數(shù)，在T_a的作用下，H也不變，所以“動量”p是可以定義的，用波矢k標(biāo)記。至于這個動量是不是動量，等會兒通過實驗結(jié)果略略說一說。

這個哈密頓量的希爾伯特空間是自旋空間，基矢示意如下：

（p. s. 可以看到這里已經(jīng)帶有一些準(zhǔn)粒子概念引入的味道了，其實沒有引入，只是嗅到了這樣的味道）

在計算上的一些經(jīng)驗（應(yīng)該可以理論證明）告訴我們，T和H對易導(dǎo)致的p守恒，用來標(biāo)記p的k是好量子數(shù)，可以用以將這個自旋空間中的H分塊對角化。如何歸類基矢到某一個k的具體值的細(xì)節(jié)我并不知道，甚至不知道這是否可行。但是我聽聞過，哪怕這樣的一維海森堡鏈也是可以畫出能帶圖的。即k被well defined，E_k即分塊矩陣對角化后的最小本征值（基態(tài)能量），把E_k畫出來，即能帶。

如何理解這個能帶，將是謎團的核心部分。能帶的谷底是整個系統(tǒng)的基態(tài)，而非什么電子占據(jù)態(tài)的概念，這里不要混淆了。硬要談?wù)撜紦?jù)態(tài)的話，可以說，整個系統(tǒng)占據(jù)了谷底這個點，整個系統(tǒng)只有一個，不存在分布函數(shù)，這像是統(tǒng)計物理中說的，6N維相空間中的一個點，代表一整個系統(tǒng)，這個點的運動軌跡，代表系統(tǒng)的時間演化，而不是在6維相空間中系統(tǒng)一個粒子的相軌。

總之，請注意區(qū)分系統(tǒng)和粒子的差異。

1.2?預(yù)備知識 B

再來看簡單的僅包含 hopping 項的電子遷移模型（純 hopping?項其實也可以轉(zhuǎn)化為海森堡模型，電荷和自旋的相互轉(zhuǎn)化）。要注意區(qū)分，海森堡模型研究的是把 N 個電子釘死的自旋相互作用，而這里的研究對象是電子，這里要算的是電子的波函數(shù)分布，可以理解為單電子波函數(shù)在一整個晶格的概率分布，沿著 bond 的 hopping 可以理解為單電子處于晶格勢場，這是單電子近似的圖像，可以很容易算出來緊束縛解，得到單電子近似下的能帶，比如我“最喜歡”的辣個模型：

可以很清楚地看到，單電子的能帶，還有單電子在晶格上的概率密度分布。這里的能帶很方便引入電子占據(jù)的圖像，電子的Dirac-Fermi分布也可以很輕松地引入。但是在“1.1”的海森堡模型中不行，在那里的末尾，已經(jīng)談?wù)撨^系統(tǒng)和粒子之間的差異了。

1.3?謎團的模糊表述

在實驗上測量，這兩者能帶，需要用到不同的手段，一個是角分辨光電子譜儀，一個是中子散射（中子三軸譜儀）。

角分辨光電子譜儀測量“1.2”的能帶，中子三軸譜儀測量“1.1”的“能帶”。

那么，這個系統(tǒng)的能帶究竟是什么呢？他是代表整個系統(tǒng)的，準(zhǔn)粒子(Fermion)、元激發(fā)(Boson)的概念，對應(yīng)描述這樣系統(tǒng)的能帶，但是如何區(qū)分是費米的準(zhǔn)粒子還是玻色的元激發(fā)呢？仍然是一個概念的謎團，持續(xù)學(xué)習(xí)中，進展緩慢。

2 謎團的歷程

2.1 歷程?A

在解釋海森堡模型的本征解的時候，我用到了單電子的圖像，我把|Psi>對應(yīng)在不同基矢前的系數(shù)解釋為：單電子的疊加態(tài)，而且認(rèn)為這個電子波函數(shù)在這些格點上有擴展的概率密度分布，而不是僅僅待在格點之內(nèi)。這是不對的，海森堡模型是一個N電子的自旋相互作用模型，并不考慮電荷密度分布的貢獻。

對于|Psi>對應(yīng)在不同基矢前的系數(shù)，可能正確的理解應(yīng)該是，系統(tǒng)處在這樣一個疊加態(tài)，而其基態(tài)的那個基矢對應(yīng)的自旋分布狀態(tài)，是體系最有可能處于的狀態(tài)。而其他能量更高的狀態(tài)，則稱為系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)，而不是電子的更高能量占據(jù)態(tài)。

如果從系綜的概念出發(fā)，那么海森堡模型的能帶可以理解為，中子和當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)碰撞，探測發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出于基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)……有幾乎無窮個中子跟系統(tǒng)散射，得到無窮個系統(tǒng)的“當(dāng)前”狀態(tài)。

2.2 歷程?B

二次量子化形式并非意味著一定有準(zhǔn)粒子的引入，或者說，Hubbard模型中的產(chǎn)生湮滅算符可能可以對應(yīng)到電子這樣一個實物粒子。但是Heisenberg模型的二次量子化形式（形式在本文沒有給出），對應(yīng)到的并非是實物粒子，可能可以稱呼為準(zhǔn)粒子或元激發(fā)。比如自旋波激發(fā)的玻色子magnon，還有AFM的spinon等等，磁性物理那邊，這些概念居多。當(dāng)然，在晶格動力學(xué)里的聲子是作為很多固體物理理論里基石一般的存在。電子-空穴對可以理解為費米型的準(zhǔn)粒子？等等的這些，需要進一步地理解，和其他掌握的概念自洽關(guān)聯(lián)起來。