今天先來看這樣的一個(gè)問題

先說常規(guī)的解法

下面給出給有趣的原創(chuàng)解法

大家看上面表達(dá)式中的1和下面的n，大家注意，交換上面的1和n之后，你就可以得到下面的表達(dá)式

你知道這個(gè)是啥嗎？這個(gè)就是答案，只需要5秒，這個(gè)計(jì)算結(jié)果快的好像騙人似的。

要不我們換個(gè)題目行不行，可以，再來看一個(gè)求如下這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。

只要交換紅色的1和n就會(huì)得到

嗯，這就是答案。

我這里先說結(jié)論吧：分母為二次函數(shù)的分式表達(dá)式的前n項(xiàng)求和，一般先對(duì)分母進(jìn)行因式分解，令分母等于0，可以解出兩個(gè)根，（只有當(dāng)根之間的差為整數(shù)時(shí)，才可以用裂項(xiàng)相消的方法求和）當(dāng)根距（大根減小根）=1時(shí)，

該數(shù)列的前n項(xiàng)和=分子的1和分母中大根對(duì)應(yīng)的n交換后得到的表達(dá)式，這個(gè)步驟用一句話概括是：1換大根n

也就是說：當(dāng)根距=1時(shí)候，Sn等于1換大根n

舉個(gè)例子：

大家可以看上面這個(gè)表達(dá)式，令分母為零，可以得到兩個(gè)結(jié)果，一個(gè)是二分之一，一個(gè)是負(fù)二分之一，二分之一對(duì)應(yīng)的那個(gè)2n-1中的n稱其為大根對(duì)應(yīng)的n，叫做大根n；另外一個(gè)負(fù)二分之一對(duì)應(yīng)的那個(gè)2n+1中的n我稱其為小根對(duì)應(yīng)的n，叫做小根n。

下面是一個(gè)應(yīng)用：求這個(gè)數(shù)列

的前n項(xiàng)的和的話，

第一步：令分母等于0，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)根的距離是1，并且判定2n-1中的n是大根n

第二步：1換大根n，得到結(jié)果

下面說說我是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的。

有一次，注意到一道題，2010年安徽卷高考真題

這個(gè)題目后來被罵的很慘，說這個(gè)題目以前出現(xiàn)過，高考怎么能出成題呢，應(yīng)該原創(chuàng)。當(dāng)時(shí)我就猛然發(fā)現(xiàn)，你看這個(gè)表達(dá)式的最后兩個(gè)怎么這么像。

，

是不是左邊這個(gè)上面分子是1，底下左邊的是n，我們把1和左邊的n換過來就得到了右邊的答案。我一陣狂喜，我感到這里有一個(gè)結(jié)論。發(fā)現(xiàn)之后，自己一個(gè)人高興了兩天。真的是發(fā)現(xiàn)的喜悅。下面給出證明

現(xiàn)在我們一起來觀察一下這個(gè)題目的條件和結(jié)論之間的關(guān)系

條件是

答案是

大家看，是不是上面的1和左邊的an+b中的n直接交換，就是答案

這就是“1換大根n”這個(gè)結(jié)論的證明。

說說公式的使用：小題隨便使用，大題必須要寫出過程。

哈哈哈哈哈

這個(gè)公式?jīng)]有之前錯(cuò)位相減的公式有力，

原因是：1 本來這個(gè)題目的難度就不大。2 考試中都是解答題，必須要寫過程。一般過程寫完，一般的也就算出來了。

說說這個(gè)公式的好處吧，嘻嘻，過于簡(jiǎn)潔。一般很多同學(xué)真能做到5秒之內(nèi)直接看出答案。課堂教學(xué)中，好處是能夠激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

曾經(jīng)跟同行分享過，大家也覺得十分有趣。嘻嘻。

最后，多說兩件事情。

第一：“根距”不是1可以不？

可以，但是很麻煩。首先，根距是整數(shù)才可以裂項(xiàng)相消，在實(shí)際的高考中，只出現(xiàn)過根據(jù)為2的。按照實(shí)際出現(xiàn)的概率來看，根距為1的占9成以上，剩下的都是根距為2的。

根距為2的怎么算呢，一下給出做法，純屬老師自?shī)首詷罚ㄉ险n不能講）

第二，根式的裂項(xiàng)也能用這個(gè)方法居然：

解：令分母的兩個(gè)根式跟別為0，然后得到大根二分之一和小根負(fù)二分之一，

根距為1，進(jìn)行1換大根n之后就可以得到結(jié)果啦。操縱如下圖

為什么上課不講這個(gè)，因?yàn)?，結(jié)果不是最簡(jiǎn)單的，學(xué)生還要自己化簡(jiǎn)，不如不講，這個(gè)推導(dǎo)出來就只能用來自?shī)首詷防?。哈哈?/p>

最后，本文講到的快速技巧有三個(gè)，全是如何進(jìn)行1換大根n

但是，上課能都講嗎？不能，只能講第一個(gè)，而且要先講一般方法，快速方法，短平快，一帶而過，增加興趣。嘻嘻