一、比例線(xiàn)段（定義、性質(zhì)、概念、名稱(chēng)）

1、定義：

一般地， 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的比值與另兩個(gè)數(shù)的比值相等（比值不為0），那么，就說(shuō)這四個(gè)數(shù)成比例。

例如：a、b、c、d（a且b且c且d≠0）四個(gè)實(shí)數(shù)成比例表示為a：b=c：d或a/b=c/d，其中b、c為內(nèi)項(xiàng)，a、d為外項(xiàng)等等。

2、性質(zhì)：

a/b=c/d?axd=bxc（a、b、c、d不為0）

3、比例中項(xiàng)：

一般地，如果三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c（a且b且c不為0）滿(mǎn)足a/b=b/c（a：b=b：c），那么，b就叫做a、c的比例中項(xiàng)。

4、比例線(xiàn)段：

①兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比叫做這兩條線(xiàn)段的比。

②一般地，四條線(xiàn)段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a/b=c/d，那么，這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段。

5、黃金分割比：

如果有一條線(xiàn)段AB，上有一個(gè)點(diǎn)P把AB分成AP和PB，使AP>PB,且PB/AP=AP/AB，那么，我們稱(chēng)線(xiàn)段AB被P點(diǎn)黃金分割，P叫做AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)的線(xiàn)段AP與整條線(xiàn)段AB之比叫做黃金比。

例如：如圖所示，設(shè)AP/AB=x，PB=AB-AB·x，AP=AB·x（x＞0）。

因?yàn)镻B/AP=AP/AB=x，

所以（AB-AB·x）/AB·x=x，化簡(jiǎn)整理可得，x^2+x-1=0（x＞0），

解得，x=√5 -1/2≈0.618。

所以，黃金比的近似值為0.618。

6、平行線(xiàn)之間的比例線(xiàn)段：

一般地，我們有以下基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)（不少于3條）所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。

例如：如圖所示，AB/A′B′=BC/B′C′，AB/AC=A′B′/A′C′等等。

二、相似三角形

1、定義：

一般地，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形，用符號(hào)“～”表示，相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比。

2、判定定理：

①平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

如下圖：DE∥BC，DE與AB、AC相交，則△ADE～△ABC。

②有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

（證明：對(duì)于兩個(gè)一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長(zhǎng)線(xiàn)段，再作平行線(xiàn)。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【角邊角（ASA）】，即可證明大小兩個(gè)三角形相似）

③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。

（證明：對(duì)于兩個(gè)一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長(zhǎng)線(xiàn)段，在作平行線(xiàn)。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【邊角邊（SAS）】，即可證明大小兩個(gè)三角形相似）

④三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

（證明：對(duì)于兩個(gè)一大一小的三角形，可以在大三角形上作與小三角形全等的三角形，即：先作等長(zhǎng)線(xiàn)段，在作平行線(xiàn)。利用①的定理，可以得到新三角形與大三角形相似且與原小三角形全等【邊邊邊（SSS）】，即可證明大小兩個(gè)三角形相似）

3、性質(zhì)：

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。（定義）

②三角形的重心：

三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心，三角形的重心平分每一條中線(xiàn)成1：2的兩條線(xiàn)段。

證明如下：作AF、BE、CD分別平分BC、AC、AB，連接DE。

因?yàn)镈、E分別平分AB、AC，

所以DE為△ABC的中位線(xiàn)，DE∥BC，

所以∠CDE=∠DCB，∠DEB=∠CBE，

所以△DEO～△CBO，且相似比為DE:BC=1:2，BO:OE=2：1。

同理可得AF與CD的情況，即：三角形的重心平分每一條中線(xiàn)成1：2的兩條線(xiàn)段。

③相似三角形的周長(zhǎng)和面積：

相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方。

證明如下（上圖）：設(shè)△DEO與△CBO的相似比為k（k＞0）。

因?yàn)椤鱀EO與△CBO的相似比為k（k＞0），

所以DE/BC=OD/OC=OE/OB=k，DE=BC·k，OD=OC·k，OE=OB·k，

所以C△DEO：C△CBO=（DE+OD+OE）：（BC+OC+OB）=k。

分別作DE、BC的高線(xiàn)（圖中未作出），根據(jù)判定定理②可以得到被高線(xiàn)分別平分的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)相似，再根據(jù)三角形面積公式可得，S△DEO：S△CBO==k^2。

三、相似多邊形

1、定義：

一般地，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

2、性質(zhì)：

相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方。

（證明可參照三角形的方法，復(fù)雜的圖形化簡(jiǎn)單，化規(guī)則）

四、圖形的位似

1、定義：

一般地，如果兩個(gè)圖形滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①所有經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線(xiàn)都相交于同一點(diǎn)；②這個(gè)交點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等，那么這兩個(gè)圖形就叫做位似圖形，經(jīng)過(guò)各對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做位似中心。位似中心到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比叫做位似比。（可以把兩個(gè)圖形放在平面直角坐標(biāo)系中）

2、性質(zhì)：

當(dāng)以坐標(biāo)原點(diǎn)為為似中心時(shí)，若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)，位似圖形與原圖形的位似比位k(k＞0），則位似圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx,ky）或（-kx,-ky）(k＞0，x、y不同時(shí)為0）。