在數(shù)量關(guān)系的備考中，有一個知識點在考試中非常重要，那就是不定方程，這類題型相對比較簡單，因此同學(xué)們在備考過程中需要重視。而講到不定方程，可能很多同學(xué)都想問，什么是不定方程呢？小編在這里給大家解釋一下：

在解釋不定方程之前，首先不得不提到的就是普通方程。相信普通方程同學(xué)們都比較熟悉。例如，經(jīng)常遇到的一元一次方程2x+5=140，1個未知數(shù)給1個式子，通過移項可以解出x的值。又例如二元一次方程組

，2個未知數(shù)對應(yīng)2個式子，通過代入消元法或加減消元法可以將方程的解求出來。

那么什么是不定方程呢？假如給一個方程2x+3y=5，2個未知數(shù)1個方程，如果想去求解這個方程，就會發(fā)現(xiàn)解是不固定的，可以是x=1，y=1；或者x=1.75，y=0.5；又或者x=4，y=-1……對于這類未知數(shù)個數(shù)大于獨立方程個數(shù)的方程，稱其為不定方程。

既然不定方程在實數(shù)范圍內(nèi)有無窮多個解，那怎么求解呢？一般情況下，在考試?yán)锴蠼獠欢ǚ匠淌怯邢薅l件的。通常都會把所求未知數(shù)限定在正整數(shù)范圍內(nèi)，這樣不定方程由原來的無窮多個解就變成有限個解了。

【01】

3x+6y=42；x和y都是正整數(shù)，則x=（ ??）

A.2 ? ? B.3 ? ? C.5 ? ? D.7

通過題干要求，發(fā)現(xiàn)x和y都在正整數(shù)范圍內(nèi)，最先想到的解法就是從x=1，x=2……代入求解，但是這種方法顯然比較費(fèi)時費(fèi)力。有沒有更省時的方法呢？為了縮小嘗試范圍，可以尋找未知數(shù)的數(shù)字特征。

01奇偶判定法

首先觀察未知數(shù)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)3和6，一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)。此時可以通過奇偶性來判斷未知數(shù)數(shù)字特征。因為42為偶數(shù)，6y是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，因此3x為偶數(shù)，所以x為偶數(shù)。而選項中只有2為偶數(shù)，確定答案是A。此時利用的是奇偶性。

小結(jié)：當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)一奇一偶時，可根據(jù)奇偶性判定所求未知數(shù)的奇偶性，從而快速選擇選項。

02整除判定法

那么如果未知數(shù)的系數(shù)并非一奇一偶，這時怎么辦呢？

【02】

3x+7y=49；x和y都是正整數(shù)，則x=（ ??）

A.4 ? ? B.7 ? ? C.9 ? ? D.11

觀察未知數(shù)系數(shù)3和7都是奇數(shù)，而奇數(shù)乘一個數(shù)的奇偶性是不確定的。這時觀察未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項，發(fā)現(xiàn)7和49都是7的整數(shù)倍。7y為7的整數(shù)倍，49為7的整數(shù)倍，7的整數(shù)倍+7的整數(shù)倍=7的整數(shù)倍，因此，3x也是7的整數(shù)倍，從而確定x為7的整數(shù)倍，選項中只有B為7的整數(shù)倍，因此確定答案是B。此時用到的是整除特性。

小結(jié)：當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)和等號右邊的常數(shù)有公約數(shù)時，可根據(jù)整除特性判定所求未知數(shù)的整除特征，從而快速選擇選項。

03尾數(shù)判定法

如果利用奇偶性和整除特性都無法解決題目，這個時候怎么辦呢？

【03】

3x+10y=49；x和y都是正整數(shù)，則x=（ ??）

A.1 ? ? B.3 ? ? C.5 ? ? D.7

首先觀察未知數(shù)系數(shù)3和10，符合一奇一偶的特點，由于10y為偶數(shù)，49為奇數(shù)，因此確定3x為奇數(shù)，確定x為奇數(shù)，而選項均為奇數(shù)，無法判定答案。因此需要進(jìn)一步確定x的取值范圍。知道10乘一個數(shù)，尾數(shù)一定是0，而49的尾數(shù)是9，尾數(shù)9+尾數(shù)0=尾數(shù)9，因此確定3x一項的尾數(shù)為9，所以x的尾數(shù)為3。選項中只有B符合條件，確定答案是B。此時用到的是尾數(shù)法。

小結(jié)：當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)是5或10時，可根據(jù)尾數(shù)判定所求未知數(shù)的尾數(shù)特征，從而快速選擇選項。

下面一起來看一看實際考試中會怎么出題，也檢驗下大家是否掌握了這三種方法！

由于在考試中，題目并不會像上面例題一樣，直接給出方程和“x和y為正整數(shù)”的限定條件，一般會賦予x和y現(xiàn)實意義，例如人數(shù)、件數(shù)、個數(shù)等，如下所示：

【04】

建筑公司租用吊車和叉車各若干輛，每日租金為10萬元，已知吊車和叉車的日租金分別為1萬元和1500元，問：建筑公司最多租用了多少輛吊車？

A.6 ? ? B.7 ? ? C.8 ? ? D.9

首先告訴了吊車和叉車的日租金，而且知道了每天的租金總和是10萬元這樣一個比較明顯的等量關(guān)系。利用吊車總租金+叉車總租金=10萬元構(gòu)建等量關(guān)系。知道了每輛車的日租金，設(shè)租用吊車x輛，叉車y輛。即：

10000x+1500y=100000

求建筑公司最多租用了多少輛吊車，也就是求x的最大值。發(fā)現(xiàn)式子里面有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的個數(shù)大于獨立方程的個數(shù)，所以這個方程是不定方程。而且這里的x和y是車輛數(shù)，所以都是正整數(shù)。接下來解不定方程，首先化簡得到

20x+3y=200

由于x和y為正整數(shù)，結(jié)合前面講到的奇偶性、整除或者尾數(shù)法。觀察發(fā)現(xiàn)，x系數(shù)以及常數(shù)項都能被20整除，說明3y是20的整數(shù)倍。因此y一定能被20整除。求x最大值，和一定，y要盡量小。y又是20的倍數(shù)，所以y最小為20，此時x=7，所以選擇B選項。

只要能夠找到題干中的等量關(guān)系，確定未知數(shù)的限定條件，掌握不定方程的三種巧解方法，解決不定方程問題自然易如反掌。

寫在最后：獲得成功沒有規(guī)律，但是解決不定方程問題有規(guī)律！不定方程在任意數(shù)范圍內(nèi)的解是不固定的，但是在正整數(shù)范圍內(nèi)卻有可能得到固定的解。正如數(shù)學(xué)涉及到的內(nèi)容是方方面面的、難以全部掌握的，但是在數(shù)量關(guān)系題目中，卻可以通過學(xué)習(xí)一些方法，掌握規(guī)律，解決問題。最后祝大家前程似錦、前途光明！

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