{"ops":[{"insert":"本文同步發(fā)表于本人知乎賬號(hào)最終鬼畜四氫呋喃，歡迎前來(lái)圍（捧）觀（場(chǎng)）\n碎碎念一下：我還記得我第一次學(xué)完空間向量的應(yīng)用的那個(gè)晚上為我大物理中延伸出的向量概念竟能有如此大的應(yīng)用而感到興奮與莫名的自豪（），當(dāng)天作業(yè)中每道題都用幾何法和坐標(biāo)法做了一遍（可想而知那天搞到了很晚），結(jié)果喜新厭舊好逸惡勞（而且因熬夜精神不好）的我不出意外到了第二天熱情就消散了（所以什么時(shí)候把淡圈車(chē)萬(wàn)安排上，覺(jué)得每道題都要建系來(lái)計(jì)算也挺麻煩的，更重要的是這種方法人云亦云，不能標(biāo)新立異（劃掉）。尤其是后來(lái)深陷解析幾何的泥潭后更是覺(jué)得計(jì)算這種事機(jī)器都會(huì)，人應(yīng)該做的是機(jī)器不會(huì)的事，于是（快畢業(yè)了突然想起了這點(diǎn)瑣事，想到高考后如果把知識(shí)全還給老師就不能再水一篇專(zhuān)欄了，才）有了這篇專(zhuān)欄。\n（當(dāng)然解析幾何當(dāng)中也有很多機(jī)器想不出的技巧，它們也很有意思）\n當(dāng)然考試的時(shí)候立幾大題第二問(wèn)我一般都還是建系做的，畢竟不費(fèi)腦子提筆就能寫(xiě)[笑哭]，本文所講的各種方法也（很明顯）要麻煩很多。\n筆者快開(kāi)學(xué)了，作業(yè)也還沒(méi)寫(xiě)完，沒(méi)時(shí)間用幾何畫(huà)板畫(huà)圖，沒(méi)時(shí)間用word公式打出來(lái)，也沒(méi)時(shí)間找例題，感興趣的自己下去落實(shí)（）\n不過(guò)后面有幾個(gè)模型的證明，大家不要一看沒(méi)有循循善誘妙趣橫生發(fā)人深省聽(tīng)君一席話勝讀十年書(shū)的例題就退出去了（）\n祝大家新春快樂(lè)！\n\n預(yù)備技能：\n①找/作（下文不區(qū)分“找”與“作”）平面與已知直線垂直：\n找兩條直線與該直線垂直，這兩條直線所在平面及與之平行的所有平面即為所求平面（線面垂直的判定定理）\n②找已知平面的垂線/法向量（除非特別說(shuō)明，下文不區(qū)分“某個(gè)平面的垂線”和“法向量”）：\n在該平面中找兩條相交直線，用①中的方法做出與這兩條直線分別垂直的平面（本文簡(jiǎn)稱(chēng)這種平面為“垂面”），垂面的交線即為該平面的垂線，該交線的方向向量即為該平面的法向量\n（垂面上的任意直線均與該直線垂直，那么兩個(gè)垂面的交線必與其所對(duì)應(yīng)的兩條相交直線垂直，由線面垂直的判定定理得該交線即為垂線）\n③等體積法求點(diǎn)線距離：\n教輔書(shū)上都有，這里就不贅述了。這種方法可以避免做輔助線的難想與繁瑣，又是一種不用建系的用計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題的方法。\n\n空間角（三角函數(shù)值）的計(jì)算：\n1.線線角：平移共頂點(diǎn)后銳角三角函數(shù)的定義或正余弦定理即可，也可以用基底的線性運(yùn)算表示兩條直線的方向向量，用數(shù)量積的定義解決問(wèn)題。\n2.線面角：用上文所述的方法找出垂線，用定義解決問(wèn)題；也可根據(jù)公式（其中法向量的尋找見(jiàn)上文）\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/fa8a6b9d523c55b21370005c369e988005ea3094.jpg","width":2304,"height":1728,"size":1416394,"status":"loaded"}}},{"insert":"來(lái)算出sin（注意是sin啊sin！筆者一次又一次的教訓(xùn)[笑哭]）。\n如果垂線不好找可由③求出其長(zhǎng)度，再利用銳角三角函數(shù)定義即可。\n3.面面角/二面角（本文因筆者懶得分類(lèi)討論不予以區(qū)分，但考試的時(shí)候要區(qū)分兩者取值范圍的問(wèn)題，筆者老師教的面面角的范圍是（0，π/2），而新教材中的二面角的范圍是[0，π]：\n①對(duì)定義法的改進(jìn)：用基底的線性運(yùn)算表示兩條垂直二面角的棱的直線的方向向量后用數(shù)量積的定義來(lái)解決問(wèn)題（此法中要求的兩條直線不一定共頂點(diǎn)，應(yīng)用更廣泛）。\n②過(guò)其中一個(gè)平面上一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線（具體方法見(jiàn)上文）即可作出二面角的平面角。\n\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/cf2e37f6a8ceb186f0450802b2c063f3780efe4e.jpg","width":1152,"height":487,"size":223802,"status":"loaded"}}},{"insert":"由定義即可得厶AOB為平面角，平面角的求法見(jiàn)上文線面角的求法。\n\n常見(jiàn)（大噓）模型——兩種尖尖角模型：\n筆者老師說(shuō)這是常見(jiàn)模型要我們牢牢掌握，不過(guò)自從學(xué)空間向量后就閉口不提了（現(xiàn)在怕不是班上就我還記得了hh。\n還是空間向量太好用了啊233。\n平行：\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/c7887781d83770b41c7aee6c7a32f78607afe6a9.jpg","width":1657,"height":1064,"size":878817,"status":"loaded"}}},{"insert":"這個(gè)小結(jié)論在大題第一問(wèn)證明中有時(shí)會(huì)用到，答案一般給的證法是法一（我高二也不會(huì)這個(gè)證法高三題做多了才從答案中學(xué)會(huì)，法二是自己瞎編的）。\n相交：\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/050052c5a35879534bc96172ab965d013098dfaa.jpg","width":1536,"height":1152,"size":1012181,"status":"loaded"}}},{"insert":"如圖，ABM和CDM分別是兩個(gè)平面，若AB∩CD＝N，則MN＝面ABM∩CDM，這個(gè)由2019年新人教版A版必修二課本P125的基本事實(shí)2或接下來(lái)一面的基本事實(shí)3均可得到，也很顯而易見(jiàn)是吧。\n（雖說(shuō)是基本事實(shí)，貌似歐幾里得醬幾千年前在《原本》里都用五條公理證了一遍呢哼哼）\n（順便談?wù)勛约簩?duì)五條公理的一點(diǎn)拙見(jiàn)吧。個(gè)人感覺(jué)直線既然作為一種只能被描述不能被定義的基本概念那好像也沒(méi)必要專(zhuān)門(mén)提出個(gè)公理二的說(shuō)法？還有公理三感覺(jué)可以算成是圓的定義。如果這樣的話歐式幾何的公理還可以再精簡(jiǎn)一些\nAB，CD異面：延伸兩個(gè)平面得它們的交線即可\n既知兩平面之交線矣，問(wèn)求其二面角之術(shù)，乃見(jiàn)之于上文（什么唐突蹩腳文言\n如果還有別的沒(méi)想起來(lái)的方法的話以后想起來(lái)了再補(bǔ)充吧。\n《詩(shī)經(jīng)》云：“他山之石，可以攻玉?！碧K子瞻嘗言：“博觀而約取，厚積而薄發(fā)?！泵飨矎?qiáng)調(diào)：“百花齊放，百家爭(zhēng)鳴。”計(jì)算而不推理則罔，推理而不計(jì)算則殆。橐駝非能使計(jì)算快且對(duì)也，能作垂線之方向向量，以坐標(biāo)運(yùn)算致其數(shù)量積焉爾（什么六分。幾何法（個(gè)人對(duì)這種方法有個(gè)中二的叫法——?dú)W幾里得時(shí)空法），線性運(yùn)算法，坐標(biāo)法各有其利弊，“集眾家之所長(zhǎng)為己所用”不僅是我們面對(duì)百年未有之大變局，近代以來(lái)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)與人類(lèi)命運(yùn)共同體進(jìn)程中文化多樣性的最佳方式，更是我們解決立體幾何大題第二問(wèn)的正確思想方針（遞進(jìn)關(guān)系錯(cuò)了吧啊喂。\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/9f97ea940b50769ea342c798fdc823b27d33e99f.jpg","width":460,"height":580,"size":191871,"status":"loaded"}}},{"insert":"感謝閱讀！\n"}]}