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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

你可能會問，為什么是copulas？我們指的是數(shù)學(xué)上的概念。簡單地說，copulas是具有均勻邊際的聯(lián)合分布函數(shù)。最重要的是，它們允許你將依賴關(guān)系與邊際分開研究。有時你對邊際的信息比對數(shù)據(jù)集的聯(lián)合函數(shù)的信息更多，而copulas允許你建立關(guān)于依賴關(guān)系的 "假設(shè) "情景。copulas可以通過將一個聯(lián)合分布擬合到均勻分布的邊際上而得到，這個邊際是通過對你感興趣的變量的cdf進行量化轉(zhuǎn)換而得到的。?

這篇文章是關(guān)于Python的（有numpy、scipy、scikit-learn、StatsModels和其他你能在Anaconda找到的好東西），但是R對于統(tǒng)計學(xué)來說是非常棒的。我重復(fù)一遍，R對統(tǒng)計學(xué)來說是非常棒的。如果你是認(rèn)真從事統(tǒng)計工作的，不管你是否喜歡R，你至少應(yīng)該看看它，看看有哪些包可以幫助你。很有可能，有人已經(jīng)建立了你所需要的東西。?而且你可以從python中使用R（需要一些設(shè)置）。

說了這么多關(guān)于R的好處，我們還是要發(fā)一篇關(guān)于如何在python中使用一個特定的數(shù)學(xué)工具的文章。因為雖然R很牛，但python確實有令人難以置信的靈活性，可以用來處理其他事務(wù)。

這篇文章中即將出現(xiàn)的大部分內(nèi)容都會用Jupyter Notebooks來構(gòu)建。

軟件

我很驚訝，scikit-learn或scipy中沒有明確的copula包的實現(xiàn)。

2D數(shù)據(jù)的Frank、Clayton和Gumbel copula

測試

第一個樣本（x）是從一個β分布中產(chǎn)生的，（y）是從一個對數(shù)正態(tài)中產(chǎn)生的。β分布的支持度是有限的，而對數(shù)正態(tài)的右側(cè)支持度是無窮大的。對數(shù)的一個有趣的屬性。兩個邊際都被轉(zhuǎn)換到了單位范圍。

我們對樣本x和y擬合了三個族（Frank, Clayton, Gumbel）的copulas，然后從擬合的copulas中提取了一些樣本，并將采樣輸出與原始樣本繪制在一起，以觀察它們之間的比較。

1. 


2. #等同于ppf，但直接從數(shù)據(jù)中構(gòu)建

3. sortedvar=np.sort(var)

4. 


5. #繪制

6. 


7. for index,family in enumerate(['Frank', 'clayton', 'gumbel']):

8. 


9. #獲得偽觀測值

10. u,v = copula_f.generate_uv(howmany)

11. 


12. #畫出偽觀測值

13. axs[index][0].scatter(u,v,marker='o',alpha=0.7)

14. 


15. 


16. 


17. plt.show()

18. 


19. #總樣本與偽觀測值的對比

20. sz=300

21. loc=0.0 #對大多數(shù)分布來說是需要的

22. sc=0.5

23. y=lognorm.rvs(sc,loc=loc, size=sz)

獨立（不相關(guān)）數(shù)據(jù)

我們將從β分布中抽?。▁）的樣本，從對數(shù)正態(tài)中抽?。▂）的樣本。這些樣本是偽獨立的（我們知道，如果你用計算機來抽取樣本，就不會有真正的獨立，但好在是合理的獨立）。

1. 


2. #不相關(guān)的數(shù)據(jù)：一個β值（x）和一個對數(shù)正態(tài)（y）。

3. a= 0.45#2. #alpha

4. b=0.25#5. #beta

5. 


6. #畫出不相關(guān)的x和y

7. plt.plot(t, beta.pdf(t,a,b), lw=5, alpha=0.6, label='x:beta')

8. 


9. 


10. #繪制由不相關(guān)的x和y建立的共線性圖

11. title='來自不相關(guān)數(shù)據(jù)的共線性 x: beta, alpha {} beta {}, y: lognormal, mu {}, sigma dPlot(title,x,y,pseudoobs)

12. 


?

?

相依性（相關(guān)）數(shù)據(jù)

自變量將是一個對數(shù)正態(tài)（y），變量（x）取決于（y），關(guān)系如下。初始值為1（獨立）。然后，對于每一個點i, 如果?

, 那么?

, 其中c是從1的分?jǐn)?shù)列表中統(tǒng)一選擇的，否則,?

.

1. 


2. #相關(guān)數(shù)據(jù)：一個對數(shù)正態(tài)（y）。

3. 


4. #畫出相關(guān)數(shù)據(jù)

5. 


6. np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)

7. plt.plot(t, gkxx.pdf(t), lw=5, alpha=0.6,

?

?

?

擬合copula參數(shù)

沒有內(nèi)置的方法來計算archimedean copulas的參數(shù)，也沒有橢圓elliptic copulas的方法。但是可以自己實現(xiàn)。選擇將一些參數(shù)擬合到一個scipy分布上，然后在一些樣本上使用該函數(shù)的CDF方法，或者用一個經(jīng)驗CDF工作。這兩種方法在筆記本中都有實現(xiàn)。

因此，你必須自己寫代碼來為archimedean獲取參數(shù)，將變量轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的邊際分布，并對copula進行實際操作。它是相當(dāng)靈活的。

1. #用于擬合copula參數(shù)的方法

2. 


3. # === Frank參數(shù)擬合

4. """

5. 對這個函數(shù)的優(yōu)化將給出參數(shù)

6. """

7. #一階debye函數(shù)的積分值 ? ?int_debye = lambda t: t/(npexp(t)-1.)

8. debye = lambda alphaquad(int_debye ,

9. alpha

10. )[0]/alpha

11. diff = (1.-kTau)/4.0-(debye(-alpha)-1.)/alpha

12. 


13. 


14. 


15. #================

16. #clayton 參數(shù)方法

17. def Clayton(kTau):

18. try:

19. return 2.*kTau/(1.-kTau)

20. 


21. 


22. #Gumbel參數(shù)方法

23. def Gumbel(kTau):

24. try:

25. return 1./(1.-kTau)

26. 


27. 


28. #================

29. #copula生成

30. 


31. #得到協(xié)方差矩陣P

32. #x1=norm.ppf(x,loc=0,scale=1)

33. #y1=norm.ppf(y,loc=0,scale=1)

34. #return norm.cdf((x1,y1),loc=0,scale=P)

35. 


36. 


37. 


38. 


39. #================

40. #copula繪圖

41. 


42. fig = pylab.figure()

43. ax = Axes3D(fig)

44. 


45. ax.text2D(0.05, 0.95, label, transform=ax.transAxes)

46. ax.set_xlabel('X: {}'.format(xlabel))

47. ax.set_ylabel('Y: {}'.format(ylabel))

48. 


49. 


50. #sample是一個來自U,V的索引列表。這樣，我們就不會繪制整個copula曲線。

51. if plot:

52. 


53. print "繪制copula {}的樣本".format(copulaName)

54. returnable[copulaName]=copulapoints

55. if plot:

56. zeFigure=plot3d(U[樣本],V[樣本],copulapoints[樣本], label=copulaName,

57. 


58. 


生成一些輸入數(shù)據(jù)

在這個例子中，我們使用的是與之前相同的分布，探索copula?。如果你想把這段代碼改編成你自己的真實數(shù)據(jù)，。

1. 


2. t = np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)

3. 


4. #從一些df中抽取一些樣本

5. X=beta.rvs(a,b,size=sz)

6. Y=lognorm.rvs(sc,size=sz)

7. #通過對樣本中的數(shù)值應(yīng)用CDF來實現(xiàn)邊緣分布

8. U=beta.cdf(X,a,b)

9. V=lognorm.cdf(Y,sc)

10. 


11. #畫出它們直觀地檢查獨立性

12. plt.scatter(U,V,marker='o',alpha=0.7)

13. plt.show()

可視化Copulas

沒有直接的構(gòu)造函數(shù)用于高斯或tCopulas，可以為橢圓Copulas(Elliptic?Copulas)建立一個更通用的函數(shù)。

1. 


2. Samples=700

3. #選擇用于抽樣的copula指數(shù)

4. np.random.choice(range(len(U)),Samples)

5. 


6. 


7. Plot(U,V)

8. 


9. 


1. 


2. <IPython.core.display.Javascript object>

Frechét-H?ffding邊界可視化

根據(jù)定理，我們將copula畫在一起，得到了Frechét-H?ffding邊界。

1. 


2. 


3. #建立邊界為copula的區(qū)域

4. plot_trisurf(U[樣本],V[樣本],copula['min'][樣本],

5. c='red') #上限

6. plot_trisurf(U[樣本],V[樣本],copula['max'][樣本],

7. c='green') #下限

8. 


9. 


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