拓端tecdat|R語言用極大似然和梯度下降算法估計GARCH(p)過程
原文鏈接：http://tecdat.cn/?p=23606?
原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號
本文考慮一些ARCH(p)過程，例如ARCH(1)。
其中
有一個高斯白噪聲?
.
> for(t in 3:n){+ sigma2[t]=w+a1*epsilon[t-1]^2+a2*epsilon[t-2]^2+ epsilon[t]=eta[t]*sqrt(sigma2[t])+ }
(紅線是條件方差過程）。
> acf(epsilon,lag=50,lwd=2)
如果
是一個ARCH()，那么
就是一個AR(1)過程。所以第一個想法是考慮回歸，就像我們對AR(1)所做的那樣
> summary(lm(Y~X1,data=db))
?這里有一些明顯的自相關(guān)。但由于我們的向量不能被認為是高斯分布的，使用最小二乘法也許不是最好的策略。實際上，如果我們的序列不是高斯分布的，它仍然是有條件的高斯分布的，因為我們假設
是高斯（強）白噪聲。
然后，似然函數(shù)是
而對數(shù)似然函數(shù)為
而一個自然的想法是定義
代碼簡單地說就是
> OPT=optim(par=+ coefficients(lm(Y~X1,data=db)),fn=loglik)
由于參數(shù)必須是正數(shù)，我們在此假定它們可以寫成一些實數(shù)的指數(shù)。觀察一下，這些值更接近于用來生成我們的時間序列的值。
如果我們使用R函數(shù)來估計這些參數(shù)，我們會得到
> summary(garch(epsilon,c(0,1)))...
?所以
的置信區(qū)間是?
coef[2,1]++ c(-1.96,1.96)*coef[2,2]
?實際上，由于我們的主要興趣是這個
參數(shù)，所以有可能使用輪廓似然方法。
> OPT=optimize(function(x) -proflik(x), interval=c(0,2))objective-qchisq(.95,df=1)> abline(h=t,col="red")
當然，所有這些技術(shù)都可以擴展到高階ARCH過程。例如，如果我們假設有一個ARCH(2)時間序列
其中
有一個高斯（強）白噪聲?
.對數(shù)似然性仍然是
而我們可以定義
上面的代碼可以被修改，以考慮到這個額外的部分。
optim(par=+ coefficients(lm(Y~X1+X2,data=db)),fn=loglik)
我們也可以考慮一些廣義的ARCH過程，例如GARCH(1,1)。
其中
同樣，可以使用最大似然技術(shù)。實際上，我們也可以用Fisher-Scoring算法編碼，因為（在一個非常普遍的情況下?
這里?
. 使用標準的梯度下降算法，我們可以得到以下對GARCH過程的估計。
> while(sum(G^2)>1e-12){+ s2=rep(theta[1],n)+ for (i in 2:n){s2[i]=theta[1]+theta[2]*X[(i-1)]^2+theta[3]*s2[(i-1)]}
這里有趣的一點是，我們也得出了（漸進的）方差
>sqrt(diag(solve(H))
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