溫馨提示：本文對不了解射影幾何的讀者不太友好

最近，學校老師給了我們一套平行線成比例的講義。但當我做了幾題時才發(fā)現(xiàn)事情不太對勁——這全都是射影幾何背景（出題者太會釣魚了）。于是，我就來探討一下這套講義究竟是如何來釣魚的。

在正文開始前，我們先來介紹一下接下來所需要的定理。

對于三角形與直線所形成的比例，我們有著名的梅涅勞斯定理。那么，對于四邊形與直線，在射影幾何中也存在一個著名的定理——笛沙格對合定理（以及其對偶形式）。熟悉射影幾何的讀者一定對其不陌生。

第一眼看到這題，就發(fā)現(xiàn)調(diào)和太明顯了，直接運用調(diào)和四邊形的性質(zhì)立刻得證，具體如下：-1=[AA,AE;AC,AB]=[∞,F;C,D]，故知CF=DF。

題目中給了兩個條件：MN⊥BC，∠DNM=∠ANM，而結(jié)論要證明∠QNM=∠PNM，即只需證[NP,NQ;NM,NC]=-1=[NA,ND;NC,NM]，這即是交換了(NP,NA)(NQ,ND)(NM,NC)，故想到笛沙格對合定理的對偶形式，具體過程如下：對完全四邊形CDPMAQ及點N運用笛沙格對合定理的對偶形式，知(NP,NA)(NQ,ND)(NM,NC)為同一對合的三組對應直線，故[NP,NQ;NM,NC]=[NA,ND;NC,NM]=[A,D;∞,M]=-1，又NM⊥NC，故知∠QNM=∠PNM。

這道題一股極線的味道，過程如下：過A作BC平行線交EF于I，則A的極線為EF，G的極線為AI，故知I的極線為AG，所以[AI,AH;AB,AC]=[AI,AG;AF,AE]=[I,G;F,E]=-1，故BH=CH。

這兩道題的構(gòu)型十分笛沙格，先是例二的解答：對四邊形ABCD及直線a運用笛沙格對合定理，知(M,N)(R,S)(P,∞)為同一對合的三組對應點，其中∞為直線a方向的無窮遠點，故[M,R;P,∞]=[N,S;∞,P]，即MP/RP=SP/NP，即PM·PN=PS·PR。

然后是練習一：對四邊形ABCD及直線EF運用笛沙格對合定理，知(E,F)(O,O)(G,∞)為同一對合的三組對應點，故[E,O;G,∞]=[F,O;∞,G]，即GE/GO=GO/GF，即GO2=GE·GF。

這道題十分的經(jīng)典，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多初等的證明方法，我猜想出題者一定是用笛沙格對合定理出的題，具體如下：設(shè)A處切線交EF于Q，則PO=OQ。設(shè)EF與圓O交于兩點I、J，則IJ為直徑。對四邊形AACD及直線EF運用笛沙格對合定理，知(P,Q)(I,J)(E,F)為同一對合的三組對應點。注意(P,Q)(I,J)可知這個對合可以寫成f：關(guān)于O對稱，故知OE=OF。

最后一題仍然是使用笛沙格對合定理，注意到共圓就不難了，具體如下：

當然，以上這些題都可以添加平行線來證明，這里就不敘述了。