牛頓282、高階無窮小；實際問題中趨向0的快慢問題

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高階無窮?。ò俣劝倏疲?/p>

…階，無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280、281》…

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若lim（β/α）=0，則稱“β是比α較高階的無窮小”。意思是在某一過程（x→x0或x→∞這類過程）中，β→0比α→0快一些。

…較：見《牛頓114》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

…β：beta（大寫Β，小寫β，中文音譯：貝塔），是第2個希臘字母…

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個希臘字母…

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基本概念

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

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對于兩個無窮小量α和β，如果lim（α/β）=0，就把α叫做比β高階的無窮小量，并把β叫做比α低階的無窮小量；簡稱α是β的高階無窮小，β是α的低階無窮小，記成α=0（β）。

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例如，因為

所以x→0時，3x^2是比x較高階的無窮小，意思是說在x→0?的過程中3x^2比x趨向0的速度快。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

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概念分析

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

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在同一個變化過程中的兩個無窮小，雖然同時都趨向于0，但是它們趨向于0的快慢程度有時卻不一樣，甚至差別很大。

…變、化、變化：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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實際問題中，有時需要討論這種趨向0的快慢問題，舉例于下：

有一塊正方形的金屬片，它的邊長原來是3，受熱后增加了Δx，問這塊金屬片的面積增加了多少？

…Δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個希臘字母…

如圖所示，設(shè)加熱前正方形金屬片的面積為A，即A=3^2=9，加熱后正方形金屬片的面積為A+ΔA

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即：

A+ΔA=（3+Δx）^2=9+6Δx+（Δx）^2

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因此正方形金屬片在加熱后面積增加了ΔA：

ΔA=6Δx+（Δx）^2

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這個等式的右邊有兩項，我們在圖中看到，畫有斜線的兩塊窄矩形的面積之和就是6Δx，而畫有交叉線的一小塊正方形的面積就是（Δx）^2。

…面、積、面積：見《牛頓261》…

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容易看出，當(dāng)Δx→0時6Δx→0，（Δx）^2→0。就是說，6Δx和（Δx）^2都是當(dāng)Δx→0時的無窮小。

我們把它們趨近于0的快慢情況列表比較于下：

從表中看出，當(dāng)Δx→0時，（Δx）^2趨近0比6Δx趨近0快得多。從它們的比值來看，就有

即（Δx）^2與6Δx之比也是當(dāng)Δx→0時的無窮小。這時，我們就說（Δx）^2是比6Δx高階的無窮小。

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一般地，我們對兩個無窮小的比較作如下規(guī)定：

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設(shè)α和β都是無窮小，如果α/β?→0，我們就說α是比β高階的無窮小。

在實際問題的計算中，如果遇到幾個不同階的無窮小量之和，常常把高階無窮小忽略不計。例如，在計算上述正方形金屬片加熱后的面積時，如果Δx不大，就往往略去（Δx）^2項，而得到ΔA≈6Δx。

這樣，既抓住了主要矛盾，又簡化了運(yùn)算手續(xù)，而且在許多情況下滿足了實際問題的要求。

…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…

…簡、化、簡化：見《牛頓33》…

…手（百度百科）：象形字。甲骨文暫未發(fā)現(xiàn)“手”字。

（…象形：描摹實物形狀的造字法。如“日”，畫一個太陽的形狀“⊙”；“月”，畫一個新月的形狀“?”…

…象形字：用象形造字法造出來的字…）

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西周金文（圖1）的形體是一只手的正視形：上像伸開的指掌形，下像肘（zhǒu）腕形。

小篆（zhuàn）（圖5）也像手形，但五指都已彎曲。

隸書（圖6-7）形體已看不出手形了，中指變成最上面的一撇，食指和無名指變成一橫，拇指和小指變成一長橫，肘腕變成豎撇。

楷書筆畫化。

（…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構(gòu)成動詞，表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機(jī)械～。水利～…見《歐幾里得2》…）

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“手”字的本義就是人手，即腕以下能拿東西做事的部分，是名詞。

可以引申表示“手藝”“親手”“拿著”等義。

“手”作左偏旁時寫作“扌”。

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手字初文始見于西周金文，象形字，其古字形像人的手，有五指。

手本義指人體上肢前端能拿東西的部分，人使用工具的上肢前端。

引申作動詞，表示手持、用手拿著。

又引申為自己親手做。

還引申指小巧易拿的。

又指代人。

手也作量詞用，用于技能、本領(lǐng)。

手是漢字部首之一，序號80。

手作左偏旁時寫作“扌”。用手作意符的字可以分為兩類：一類是名詞，指手的部分，如：拳、掌、拇、指；一類是動詞，指手的動作，如握、持、打、攀?！笆帧迸c“扌”在《漢字部首表》中同屬一個部首序號，但分別列部…

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…手（百度漢語）2：象形。小篆字形，象伸出五指形。本義：人體上肢的總稱，一般指腕以下的部分。

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字義：

1.人體上肢前端能拿東西的部分。

2.小巧而便于拿的：～冊?！珮尅?/p>

3.拿著：人～一冊。

4.做某種工作或有某種技能的人：炮～。拖拉機(jī)～。能～。選～。

5.親手：～書。

6.指本領(lǐng)、手段等：妙～回春。眼高～低。心狠～辣…

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…續(xù)：見《歐幾里得44》…

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…手續(xù)（百度百科）：辦事的規(guī)定步驟；辦事的程序…

…手續(xù)（百度漢語）2：（辦事的）程序：報名～。借款～。辦理轉(zhuǎn)學(xué)～…

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“為了應(yīng)用上的需要，我們就無窮小之比的極限存在、或為無窮大時，給出下面的比較定義。

請看下集《牛頓283、無窮小等價替換定理；用泰勒展開式推導(dǎo)等價無窮小公式》”

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若不知曉歷史，便看不清未來

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