股票量化交易軟件：針對(duì)交易的組合數(shù)學(xué)和概率論2---通用分形
在上一篇文章中，我們討論了概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，這有助于我們理解運(yùn)用分形函數(shù)進(jìn)行交易任務(wù)的具體特征。 赫茲量化股票期貨交易軟件作為本主題的延續(xù)，我將展示一些自給自足的分形函數(shù)，它們可以描述全部所需的定價(jià)過(guò)程。 我們將嘗試對(duì)它們進(jìn)行概括和簡(jiǎn)化，并創(chuàng)建公式來(lái)回答各種缺乏明確定量評(píng)估和明確答案的問(wèn)題。
評(píng)估在交易中運(yùn)用分形的可能性
我們來(lái)繼續(xù)該主題，總結(jié)上一篇文章的結(jié)果，并以更緊湊和通用的形式表述材料。 您還記得上一篇文章中構(gòu)建分形的例子嗎？?赫茲量化股票期貨交易軟件那樣的分形幾乎沒(méi)有實(shí)際用途，但在這種情況下，我們主要是對(duì)我們判定的結(jié)構(gòu)構(gòu)造規(guī)則感興趣。赫茲量化股票期貨交易軟件?正如事實(shí)所證明，這些規(guī)則可以應(yīng)用于三種類型的分形：
具有對(duì)稱邊界的分形
具有非對(duì)稱邊界的分形
具有上邊界或下邊界的分形
此類分形可用于描述以下過(guò)程：
加速模擬交易，能夠評(píng)估各種場(chǎng)景的可能性，同時(shí)考慮存款限制（因?yàn)橄逻吔缒鼙碚鳠o(wú)法進(jìn)一步交易的存款底線）
分形內(nèi)平均步階數(shù)的估算（例如，您可以估算在我們獲得所需的利潤(rùn)或虧損之前我們平均有多少訂單）
評(píng)估每個(gè)步階的總平均值（例如，您可以根據(jù)一筆較小持倉(cāng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算平均持倉(cāng)時(shí)間，即較小止損點(diǎn)數(shù)或價(jià)格差異的持倉(cāng)赫茲量化股票期貨交易軟件
基于單邊分形的盈利能力評(píng)估
其它能力
構(gòu)建通用分形的理論基礎(chǔ)
我們運(yùn)用在上一篇文章中導(dǎo)出的構(gòu)造規(guī)則，并對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充，從而了解分形是如何構(gòu)造的。 此外，我在我的公式中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)小錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛳禄蛳蛏系倪吔绮粚?duì)稱是不可能的。 結(jié)果證明導(dǎo)出的公式是正確的，因此它們絕對(duì)適用于任何分形。 實(shí)際上，這個(gè)函數(shù)能絕對(duì)實(shí)現(xiàn)任何分形。 所有可能的分形都是一般分形的特例。赫茲量化股票期貨交易軟件?如果我們?nèi)∩厦娑x的三種分形類型，那么實(shí)現(xiàn)這三種特殊情況的一般分形的條件如下：
m = n & [ m > s & n?> s?]
( m > n || n > m )?& [ m > s & n?> s?]
( m > S && n <= S ) ||?( n > S && m <= S )
示意性地，這三種類型的分形如下所示：
編輯搜圖
理想情況下，“S” 應(yīng)該趨于無(wú)窮大。 以下變量在我之前的文章中并未講述。 我將在此處提供相關(guān)說(shuō)明，從而能全面了解如何運(yùn)用通用公式來(lái)得到特殊情況。 分形是根據(jù)鏈?zhǔn)椒磻?yīng)原理工作的函數(shù)，就像在原子彈中一樣。赫茲量化股票期貨交易軟件?如果設(shè)置的連鎖反應(yīng)太深，計(jì)算機(jī)可能無(wú)法應(yīng)對(duì)如此龐大的計(jì)算。 如果情況不是特別嚴(yán)重，它簡(jiǎn)單地花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間來(lái)計(jì)算 — 幾分鐘、幾小時(shí)、甚至幾天。 若要在分形中正確啟動(dòng)鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，我們應(yīng)該找到兩個(gè)基礎(chǔ)值：
Half - 通道寬度的一半
Middle - 對(duì)應(yīng)于中線的 “U” 值
針對(duì)我們?cè)谏弦黄恼轮信卸ǖ乃腥N情況，可以輕松計(jì)算出 Half 值：它是 m 和 n 的算術(shù)平均值：
Half = ( n + m ) / 2
為了實(shí)現(xiàn)第二個(gè)值，我們將不得不用到三個(gè)邏輯變體。 不過(guò)，第一個(gè)和第二個(gè)變體可以合并為一個(gè)。 因此，我們有兩個(gè)變體：
n >= m
n < m
接下來(lái)，假設(shè) “U” 軸向上，n 值是通道的上邊界，而 m 是下邊界，我們得到兩種可能情況的兩個(gè)比率所對(duì)應(yīng)的 m 和 n：
Middle = Half - m
Middle = - ( Half - n )
這些值將傳遞給分形函數(shù)，供其內(nèi)部使用，因?yàn)闆](méi)有它們就無(wú)法實(shí)現(xiàn)上一篇文章中講述的內(nèi)部分支邏輯。 函數(shù)原型如下：
double Fractal(double Half, double Middle, int m, int n, int s,double p,int S, int U, double P)
因此，為了調(diào)整分形起點(diǎn)，我們需要傳遞三個(gè)強(qiáng)制值：
Half - 通道寬度的一半
Middle - 對(duì)應(yīng)于中線的 “U” 值
m - 到下邊界的步階數(shù)
n - 到上邊界的步階數(shù)
s - 單個(gè)鏈在任何方向上允許的最大步階數(shù)
其它值用大寫(xiě)字母表示，表明這些值是動(dòng)態(tài)的，并且在不同的分形層上會(huì)有所不同。 這是它們的定義：
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S - 當(dāng)前概率鏈中累積的步階數(shù)；?要被傳遞到下一個(gè)分形層
U - 鏈起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的當(dāng)前距離； 傳遞到下一個(gè)分形層
P - 基于伯努利規(guī)劃案的完整概率鏈的累積乘積；?需要傳遞到下一個(gè)分形層
因此，為了調(diào)整分形起點(diǎn)，我們應(yīng)在函數(shù)中輸入以下值：
S = 0 (既然是起點(diǎn)，所以還沒(méi)有步階)
U = 0 (出于同樣的原因)
P = 1 (因?yàn)樗且粋€(gè)零鏈，所有接下來(lái)的步階應(yīng)構(gòu)成一個(gè)完整的組)
為了針對(duì)模擬定價(jià)或交易完成分形一般規(guī)則的開(kāi)發(fā)，我們簡(jiǎn)略地重寫(xiě)在上一篇文章中獲得的規(guī)則。 這些規(guī)則會(huì)在分形內(nèi)部用到。 這些規(guī)則基于針對(duì)相同步階的若干個(gè)公式：
f = u + d ?—?它是未來(lái)組合樹(shù)的步階數(shù)（距離則由到分形范圍最近邊界的距離決定）
s = u - d ?— 最終步階數(shù)量，以下跌段落和上漲段落表示
我們已經(jīng)確定我們將遍歷 “u”。 此外，我們將用 “s” 值作為新的 “U”，如果剩余步階能夠支持，則它將被傳遞到下一個(gè)分形層。?赫茲量化股票期貨交易軟件為此目的，我們需要為 “u” 定義一個(gè)不包含 “d” 的公式。 為此，把來(lái)自第一個(gè)方程的 “d” 表達(dá)式，代入第二個(gè)方程：
s = 2*u - f
如果當(dāng)前值等于零，該值也可作為 “U” 的新值進(jìn)一步傳遞。 故此，我們需要將此 “s” 添加到 “U”，來(lái)獲得應(yīng)進(jìn)一步傳遞的值：
NewU = s + U ?- 我們要傳遞到下一個(gè)分形層的新 “U”
正如在上一篇文章中已經(jīng)定義的那樣，這個(gè)表達(dá)式采用三個(gè)可能的值，基于數(shù)字 “f ”的三個(gè)可能值。 我已經(jīng)修改了上一篇文章中的一個(gè)示意圖，來(lái)說(shuō)明這個(gè)思路：
編輯搜圖
這幅示意圖在這里相當(dāng)合適，因?yàn)楝F(xiàn)在我們確定了所有可能的分形配置，也許在我們解決大多數(shù)問(wèn)題時(shí)能用到。赫茲量化股票期貨交易軟件?根據(jù)這幅示意圖，我們?yōu)?“f” 定義了三種情況：
f =?( n - 1 ) - U
f =?( m - 1 ) + U
f = Half?- 1
當(dāng)滿足以下條件時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)這三種情況：
U > Middle
U < Middle
U = Middle
現(xiàn)在我們要講述傳遞到下一個(gè)分形層的最后兩個(gè)值，并考慮如何在分形中收集數(shù)字。 最后兩個(gè)值如下計(jì)算：
NewP =?P?*?C(f,i)?*?Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i)??— 我們的新鏈概率 “P” 要被傳遞到下一個(gè)分形層
NewS = S + f = S + (floor(Mid) - 1)?— 我們的新 “S” 要被傳遞到下一個(gè)分形層
在開(kāi)始往一個(gè)公用變量里收集數(shù)字之前，注意應(yīng)該先把數(shù)字收集到一個(gè)類似的模塊當(dāng)中 — 但在這種情況下，我們只取一步，所以我們不需要伯努利規(guī)劃案。 語(yǔ)句的順序并不重要；它們只是應(yīng)該在同一個(gè)模塊。 只會(huì)收集情況 “1” 和 “2” 的數(shù)字，并帶上一些說(shuō)明：
U = n - 1
U = - ( m - 1 )
對(duì)于第一種情況，前三個(gè)值更容易計(jì)算，因?yàn)槲覀冎蝗∫徊剑?/p>
NewU = U - 1
NewP = P * p
NewS = S + 1
對(duì)于第二種情況，有一個(gè)細(xì)微的區(qū)別：
NewU = U + 1
NewP = P * ( 1 - p )
NewS = S + 1
基于所有分形的概括，這些分形中的每一個(gè)都劃分為兩種類型：
分形計(jì)算跨越走廊上邊界的總概率
分形計(jì)算跨越走廊下邊界的總概率
這些類型中的每一種都與另一種類型的分形相對(duì)應(yīng)，即與原始分形相結(jié)合：
分形計(jì)算跨越上邊界的平均步階數(shù)
分形計(jì)算跨越下邊界的平均步階數(shù)
這四種分形類型的不同之處在于累加數(shù)字的形式。 在收集概率時(shí)，我們只能添加 “P*p” 和 “P*(1-p)”。 對(duì)于其它兩種分形，我們需要額外的變量來(lái)傳遞到下一個(gè)分形層。 在這些分形中，我們利用大小相等的步階，但方向相反，因此它們的概率是 “p” 或 “1-p”。 但是當(dāng) “p” 不等于 0.5 時(shí)，它事實(shí)上意味著這可能是兩個(gè)具有不同特征的不同事件。 依據(jù)特征，我的意思是一組與給定事件相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量。 其中一個(gè)值是持倉(cāng)生存期。 此類值如有必要，可以有任意數(shù)量，且我們可以將它們視為時(shí)間。赫茲量化股票期貨交易軟件?這部分可以通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的步階得以簡(jiǎn)化。 累加和的數(shù)字將具有以下形式：
P * p * NewS
P * ( 1 - p ) * NewS
如您所見(jiàn)，概率乘以該完整步階鏈中的步階數(shù)。 但這個(gè)公式只適用于上升和下降步階可能性相等的情況。 在替代情況下，我們要用兩種不同的結(jié)構(gòu)來(lái)描述上升和下降，或者提供一個(gè)結(jié)構(gòu)來(lái)同時(shí)存儲(chǔ)這兩個(gè)數(shù)字。 在第二種情況下，分形函數(shù)返回的不是數(shù)字，而是數(shù)據(jù)容器。 容器不需要擴(kuò)展。 甚而，我提供了一個(gè)容器，可以存儲(chǔ)所有需要的參數(shù)，這樣就不需要用類似的代碼來(lái)定義若干個(gè)函數(shù)了。 取而代之的是，我將所有函數(shù)合并為一，其可定義所有必需的參數(shù)。?赫茲量化股票期貨交易軟件分形類型和它能解決的任務(wù)將直接取決于函數(shù)的輸入?yún)?shù)。 為了擴(kuò)展這個(gè)概念，第一個(gè) “S” 及其等效的 “NewS” 應(yīng)替換為以下值：
SU - 所選概率鏈的最后上升步階
SD - 所選概率鏈的最后下降步階
NewSU 和 NewSD - 要傳遞到下一個(gè)分形層的值
SU + SD = S
這些值的定義應(yīng)類似于 “S” 的定義。 當(dāng) "U > Middle":
NewSU = SU
NewSD = SD + 1
當(dāng)?"U < Middle":
NewSU = SU + 1
NewSD = SD
最終的分形升級(jí)還需要六個(gè)值：
UpperMidSDown - 到達(dá)上邊界之前的總平均可能下降步階數(shù)
UpperMidSUp -?在到達(dá)上邊界之前可能上升的總平均步階數(shù)
UpperSummProbability - 跨越上邊界的概率
LowerMidSDown - 到達(dá)下邊界之前的總平均可能下降步階數(shù)
LowerMidSUp - 到達(dá)下邊界之前的總平均可能上升步階數(shù)
LowerSummProbability - 跨越下邊界的概率
值 “1”、“2”、“4”、“5” 表示相應(yīng)步階數(shù)及其概率的乘積之和。 這些值原本毫無(wú)意義，但它們是我們將進(jìn)一步討論的一些有價(jià)值公式的組成部分。 值 “3” 和 “6” 是跨越兩個(gè)邊界的假設(shè)概率，其形成一個(gè)完整組。 使用這些值，我們可以判定大量其它事情。赫茲量化股票期貨交易軟件
編寫(xiě)實(shí)現(xiàn)通用分形的代碼
為了正確啟動(dòng)分形，我們需要一個(gè)函數(shù)，在分形啟動(dòng)之前執(zhí)行所有準(zhǔn)備操作，之后它根據(jù)預(yù)定義的規(guī)則正確啟動(dòng)分形。 我已經(jīng)準(zhǔn)備好了這個(gè)算法的實(shí)現(xiàn)，采用 MQL5 風(fēng)格：
Container StartFractal(int m, int n, int s,double p)//preparing all variables and starting the fractal ? {
? int Minimum;
? if ( m <= n ) Minimum=m;
? else Minimum=n;
? double Middle;
? if ( n >= m ) Middle = (m+n)/2.0 - Minimum;
? else Middle = -((m+n)/2.0 - Minimum); ?
? double Half = (m+n)/2.0;
? return Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,0,0,0,1.0);
? }
計(jì)算分形后，該函數(shù)返回包含所有所需數(shù)據(jù)的容器：
struct Container//a container for collecting all the necessary data about the fractal ? {
? //values to be summed, for the upper bound ? double UpperMidSUp;//the sum of probabilities multiplied by the number of steps up of a specific chain (to cross the upper bound) ? double UpperMidSDown;//the sum of probabilities multiplied by the number of steps down of a specific chain (to cross the upper bound ? double UpperSummProbability;//the sum of the probabilities (to cross the upper border) ? //values to be summed, for the lower border ? double LowerMidSUp;//the sum of probabilities multiplied by the number of steps up of a specific chain (to cross the lower border) ? double LowerMidSDown;//the sum of probabilities multiplied by the number of steps down of a specific chain (to cross the lower border) ? double LowerSummProbability;//the sum of the probabilities (to cross the lower border) ?
? Container()//default constructor ? ? ?{
? ? ?UpperMidSUp=0.0;
? ? ?UpperMidSDown=0.0;
? ? ?UpperSummProbability=0.0; ? ?
? ? ?LowerMidSUp=0.0;
? ? ?LowerMidSDown=0.0;
? ? ?LowerSummProbability=0.0;
? ? ?}
?
? // ? void Summ(Container &c0,const Container &c1) const//full sum for operator overloading ? ? ?{
? ? ?c0.UpperMidSUp=c0.UpperMidSUp+c1.UpperMidSUp;
? ? ?c0.UpperMidSDown=c0.UpperMidSDown+c1.UpperMidSDown;
? ? ?c0.UpperSummProbability=c0.UpperSummProbability+c1.UpperSummProbability; ? ? ?
? ? ?c0.LowerMidSUp=c0.LowerMidSUp+c1.LowerMidSUp;
? ? ?c0.LowerMidSDown=c0.LowerMidSDown+c1.LowerMidSDown;
? ? ?c0.LowerSummProbability=c0.LowerSummProbability+c1.LowerSummProbability;
? ? ?} ? ? ? ? ? ?
? void operator+=(Container &c) { Summ(this,c); }//operator += overload ? };
此容器包含 “+=” 運(yùn)算符的重載，以便合并兩個(gè)相同的結(jié)構(gòu)。 這部分將用在主要函數(shù)。 這是分形函數(shù)：
Container Fractal(double Half, double Middle, int m, int n, int s,double p,int SU,int SD, int U, double P)//Fractal ? {
? Container C;
? ///to pass to the next fractal level ? int NewU;
? int NewSU;
? int NewSD;
? double NewP;
? /// ?
? if ( U > Middle && SU + SD < s )//case 1 ? ? ?{
? ? ?if ( (n-1) - U > 0 )
? ? ? ? {
? ? ? ? for ( int u=0 ; u <= (n-1) - U; u++ )
? ? ? ? ? ?{
? ? ? ? ? ?NewU = -(n-1) + 2*u + 2*U;
? ? ? ? ? ?NewP = P * (Factorial((n-1) - U)/(Factorial(u)*Factorial((n-1) - U - u))) * pow(p,u)*pow(1.0-p,(n-1) - U - u);
? ? ? ? ? ?NewSU = SU + u;
? ? ? ? ? ?NewSD = SD + ((n-1) - U - u);
? ? ? ? ? ?C+=Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,NewSU,NewSD,NewU,NewP);
? ? ? ? ? ?} ? ? ? ?
? ? ? ? }
? ? ?if ( (n-1) - U == 0 )
? ? ? ? {
? ? ? ? NewU = U - 1;
? ? ? ? NewP = P * (1.0 - p);
? ? ? ? NewSU = SU;
? ? ? ? NewSD = SD + 1;
? ? ? ? Container ct;
? ? ? ? ct.UpperMidSDown=P*p*SD;
? ? ? ? ct.UpperMidSUp=P*p*(SU+1);
? ? ? ? ct.UpperSummProbability=P*p;
? ? ? ?
? ? ? ? C+=ct;
? ? ? ? C+=Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,NewSU,NewSD,NewU,NewP);
? ? ? ? } ? ? ? ?
? ? ?} ?
?
? if ( U < Middle && SU + SD < s )//case 2 ? ? ?{
? ? ?if ( (m-1) + U > 0 )
? ? ? ? {
? ? ? ? for ( int u=0 ; u <= (m-1) + U; u++ )
? ? ? ? ? ?{
? ? ? ? ? ?NewU = -(m-1) + 2*u;
? ? ? ? ? ?NewP = P * (Factorial((m-1) + U)/(Factorial(u)*Factorial((m-1) + U - u))) * pow(p,u)*pow(1.0-p,(m-1) + U - u);
? ? ? ? ? ?NewSU = SU + u;
? ? ? ? ? ?NewSD = SD + ((m-1) + U - u);
? ? ? ? ? ?C+=Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,NewSU,NewSD,NewU,NewP);
? ? ? ? ? ?} ? ? ? ?
? ? ? ? }
? ? ?if ( (m-1) + U == 0 )
? ? ? ? {
? ? ? ? NewU = U + 1;
? ? ? ? NewP = P * p;
? ? ? ? NewSU = SU + 1;
? ? ? ? NewSD = SD; ?
? ? ? ? Container ct;
? ? ? ? ct.LowerMidSDown=P*(1.0 - p)*(SD+1);
? ? ? ? ct.LowerMidSUp=P*(1.0 - p)*SU;
? ? ? ? ct.LowerSummProbability=P*(1.0 - p);
? ? ? ?
? ? ? ? C+=ct;
? ? ? ? C+=Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,NewSU,NewSD,NewU,NewP);
? ? ? ? } ? ? ? ?
? ? ?}
?
? if ( U == Middle && SU + SD < s )//case 3 ? ? ?{
? ? ?if ( int(MathFloor(Half))-1 > 0 )
? ? ? ? {
? ? ? ? for ( int u=0 ; u <= int(MathFloor(Half))-1; u++ )
? ? ? ? ? ?{
? ? ? ? ? ?NewU = -(int(MathFloor(Half))-1) + 2*u + U;
? ? ? ? ? ?NewP = P * (Factorial(int(MathFloor(Half))-1)/(Factorial(u)*Factorial(int(MathFloor(Half))-1 - u))) * pow(p,u)*pow(1.0-p,int(MathFloor(Half))-1 - u);
? ? ? ? ? ?NewSU = SU + u;
? ? ? ? ? ?NewSD = SD + (int(MathFloor(Half))-1 - u);
? ? ? ? ? ?C+=Fractal(Half,Middle,m,n,s,p,NewSU,NewSD,NewU,NewP);
? ? ? ? ? ?} ? ? ? ?
? ? ? ? }
? ? ?}
?
? return C;
? }
代碼已在?赫茲股票期貨量化軟件?中驗(yàn)證 - 它運(yùn)行良好。 如果需要，這個(gè)邏輯可以進(jìn)一步擴(kuò)展，同時(shí)還有很多更高級(jí)的可能性。 但我決定保持函數(shù)輸入?yún)?shù)列表的簡(jiǎn)短，因?yàn)閷?shí)現(xiàn)的功能對(duì)于我們的目標(biāo)來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠了。 通過(guò)仔細(xì)研究代碼，您會(huì)發(fā)現(xiàn)它完全符合上面概述的數(shù)學(xué)原理。 雖然很簡(jiǎn)短，這段代碼可以創(chuàng)造奇跡。 我相信代碼應(yīng)該包含盡可能多的邏輯和數(shù)學(xué)。赫茲量化股票期貨交易軟件?這才是我們最終需要的。 如果不能完成預(yù)期目的，即使再漂亮的代碼也無(wú)濟(jì)于事。 在我們的案例中，預(yù)期目的就是交易的適用性。 這是作為確認(rèn)的日志：
編輯搜圖
在本例中，我創(chuàng)建了一個(gè)簡(jiǎn)單的智能交易系統(tǒng)，它在第一次收到即時(shí)報(bào)價(jià)時(shí)計(jì)算整個(gè)分形。 計(jì)算一旦完成，則以后無(wú)需重新計(jì)算。 前六個(gè)數(shù)字是容器的一部分，其余的則是從它們派生出來(lái)的。 在此我只展示最重要的導(dǎo)數(shù)，它們有助于理解這六個(gè)變量如何能夠接收我們可能需要的所有其它變量。 例如，看看“完整組”。 之所以如此命名，是因?yàn)楦鶕?jù)先前的計(jì)算，其中一個(gè)邊界交叉點(diǎn)的兩個(gè)非重疊假設(shè)概率之和必須等于 1。 由我們的代碼可以證實(shí)這一點(diǎn)。 接下來(lái)是兩個(gè)相同的數(shù)字，它們是 “1”、“2” 與 “3”、“4” 的總和。 后一個(gè)數(shù)字是倒數(shù)第二個(gè)數(shù)字的總和 - 這是該鏈所經(jīng)過(guò)的平均步階數(shù)。 這就是我在設(shè)置 函數(shù)里為這些輸入?yún)?shù)設(shè)置數(shù)值的原因，其中 “m” 和 “n” 是相等且對(duì)稱的，稍后會(huì)有說(shuō)明。
基于對(duì)稱分形推導(dǎo)第一個(gè)公式
根據(jù)日志結(jié)果，該鏈所經(jīng)過(guò)的平均步階數(shù)趨于 “4”。 走廊相對(duì)于一個(gè)單位的步階翻倍。 若“ n” 和 “m” 設(shè)置為 1，即一個(gè)單位的步階。 換言之，如果我們要由較小走廊來(lái)計(jì)算組成走廊的平均步階數(shù)（在這種情況下，較小走廊的整數(shù)適合放進(jìn)一個(gè)較大的走廊，并且新走廊也是對(duì)稱的），那么我們就可以做出假設(shè)：
P[n] = P[n-1] * 2 ?- 是新走廊寬度的遞推式表達(dá)式，基于前一個(gè)較小走廊的寬度，新走廊由此組成
S[n] = S[n-1] * 4 - 是計(jì)算新走廊平均步階數(shù)的遞歸表達(dá)式，由較小走廊的平均值表示
如果我們接受 “P[0]=1” 和 “S[0]=1”，并且如果我們從索引 “0” 開(kāi)始遞歸編號(hào)，那么這個(gè)遞歸可以表示為兩個(gè)非常相似的序列：
P[n] = 2^n , n = 0 ... + infinity
S[n] = 4^n = (2^2)^n = (2^n)^2 = P[n]^2
如果仔細(xì)觀察第一個(gè)序列，并正確變換第二個(gè)序列，就會(huì)發(fā)現(xiàn)可以用第一個(gè)序列的元素來(lái)表示第二個(gè)序列。 換言之，我們得到以下依賴：S = S(P) = P^2。 現(xiàn)在這種依賴性僅適用于通道寬度的遞歸加倍。 當(dāng)我見(jiàn)到這個(gè)公式時(shí)，我決定驗(yàn)證它對(duì)任意大數(shù) “n” 和 “m” 的適用性。 從邏輯上講，在第二步中我們?cè)O(shè)置 “n=3”、“m=3” 并計(jì)算相同的變量。 依據(jù)這些輸入?yún)?shù)，平均步階數(shù)趨向于數(shù)字 “9”。 您可以自行驗(yàn)證這部分，使用上面的代碼或使用下面附帶的 MathCad 15 程序。 相同的序列均可采用這些參數(shù)：
P[n] = 3^n , n = 0 ... + infinity
S[n] = 9^n = (3^2)^n = (3^n)^2 = P[n]^2
如您所見(jiàn)，我們得到了相同的關(guān)系 “S=S(P)=P^2”。 我們可以針對(duì)區(qū)間拆分相關(guān)的所有其它可能場(chǎng)景重復(fù)相同的操作，但這不是必需的。 這個(gè)事實(shí)意味著，如果我們知道，比方說(shuō)，對(duì)稱通道內(nèi)價(jià)格的平均生存期，我們就可以計(jì)算任何其它通道內(nèi)價(jià)格的平均生存期。 它可以計(jì)算如下：
S = S0 * K^2?- 新走廊的平均步階數(shù)
T =?S?* T0 - 新走廊的平均生存期
T = T0 * K^2- 依據(jù)另一條走廊的平均生存期表示的新走廊的平均生存期（假設(shè)?S0?= 1 ）
S0 - 舊走廊的平均步階數(shù)
T0 - 舊走廊一個(gè)步階的平均生存期
P = K * P0 ?-->?K?= P/P0 - 新走廊比舊走廊的放大倍數(shù)
P - 新走廊的寬度
P0 - 舊走廊的寬度
現(xiàn)在，我們可以利用 MathCad 15 檢驗(yàn)假設(shè)。 首先，我們測(cè)試一下有關(guān)二次關(guān)系的假設(shè)：
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現(xiàn)在應(yīng)該很清楚了。
評(píng)估所有正值和實(shí)數(shù)型參數(shù)的導(dǎo)出公式的性能
該公式適用于所有整數(shù) “P”。 但是它可以用于浮點(diǎn) “K” 嗎？ 我們需要實(shí)施一個(gè)技巧來(lái)提供一個(gè)浮點(diǎn) “K”。 假設(shè)我們有一個(gè)平均生存期已知的價(jià)格走廊，我們還有一個(gè)容納已知走廊 “N” 倍的走廊，但我們還不知道它的平均生存期。 此外，我們運(yùn)用相同公式來(lái)查找它。 按照這個(gè)邏輯：
T =?T0?* N^2?--->?T0?= T / N^2
T - 是我們走廊的生存期，我們已知其平均生存期
T0?- 是一個(gè)較小走廊的平均生存期，由我們的走廊組成
這意味著我們可以找到較小走廊的生存期，我們需要它來(lái)計(jì)算具有分?jǐn)?shù)增加因子的第三條走廊的生存期。 現(xiàn)在我們已經(jīng)找到了最小走廊的生存期，我們可以找到它的寬度（以點(diǎn)數(shù)為單位）：
d = P / N
接下來(lái)，我們可以采用以下比率來(lái)計(jì)算有多少這樣的走廊能容納到加寬的走廊：
Smin?= MathFloor( K * P / d ) =?MathFloor( K * N )
Lim( N --> +infinity ) [?K * N/MathFloor( K * N )?] = 1
如您所見(jiàn)，走廊寬度正在減少，且它不會(huì)影響結(jié)果。 第二行顯示了一個(gè)非常重要的比率，將有助于理解下一步該做什么。 它表明，當(dāng)我們將源走廊劃分成盡可能多的段落時(shí)，我們可以忽略被 MathFloor 函數(shù)舍棄的小數(shù)部分。 這一點(diǎn)可由極限趨于統(tǒng)一來(lái)表明。 如果這種不準(zhǔn)確性令人困惑，我們可以找到另一個(gè)值：
Smax?= MathFloor( K * P / d ) + 1 =?MathFloor( K * N ) + 1 =?Smin?+ 1
現(xiàn)在就很清晰了，“K * N” 的真實(shí)值正好在 “Smin” 和 “Smax” 之間。 如果 “N” 趨于無(wú)窮大，我們會(huì)得到兩個(gè)非常近似的走廊，它們的平均生存期趨于相等，因?yàn)樗鼈兊拇笮H相差一個(gè)段落。 因此，所需走廊的平均生存期可由這些走廊的平均生存期的算術(shù)平均值來(lái)更準(zhǔn)確地確定：
T1 =( T0 *?Smin^2 + T0 *?Smax^2 ) / 2 = ?T0 *(?Smin^2 +?Smax^2 ) / 2
T1 - 我們需要確定的走廊的平均生存期
下圖梳理了我的思路：
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現(xiàn)在我們已經(jīng)找到了計(jì)算走廊生存期的替代表達(dá)式，我們可以取其結(jié)果與整數(shù) “K” 的函數(shù)值進(jìn)行比較，用浮點(diǎn)數(shù) “K” 代替。 如果兩個(gè)表達(dá)式的結(jié)果值相同，我們可以得出結(jié)論，所發(fā)現(xiàn)函數(shù)得到的整數(shù) “K” 值絕對(duì)適用于 “0 ... + 無(wú)窮大” 范圍內(nèi)的任何整數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)。 我們針對(duì) “N = 1000” 進(jìn)行第一次驗(yàn)證。 我認(rèn)為這種拆分足以看到兩個(gè)數(shù)字的標(biāo)識(shí)，如果有的話：
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如您所見(jiàn)，這兩個(gè)數(shù)字實(shí)際上是相同的。 從邏輯上講，對(duì)于較大的 “N” 值，它們應(yīng)該更加相同。 這也可以通過(guò)如下假設(shè)來(lái)證明：
Lim( N --> +infinity ) [?(T0 *(?Smin^2 + Smax^2 ) / 2)?/?( T * K^2 ) ?] = 1
這個(gè)極限的分子是我們計(jì)算新走廊平均生存期的近似表達(dá)式，分母的的表達(dá)式則大體上能準(zhǔn)確描述相同值。 我已創(chuàng)建了一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，執(zhí)行與上一個(gè)屏幕截圖相同的計(jì)算。 但這一次它應(yīng)用于數(shù)字 “N” 的整個(gè)范圍內(nèi)以 “1” 開(kāi)頭的那些數(shù)字。 現(xiàn)在我們來(lái)查看程序執(zhí)行結(jié)果：
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所有假設(shè)都得到充分驗(yàn)證：我們?yōu)檎麛?shù) “K” 找到的函數(shù)絕對(duì)適用于任何正數(shù) “K”。 現(xiàn)在我們有了一個(gè)非常有用的函數(shù)，可作為進(jìn)一步操作的基礎(chǔ)，例如作為深入描述整個(gè)通用分形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
