寶寶們，老碧又來了，今天我們要聊的話題，可是《數(shù)學(xué)分析》課程中遇到的第一個(gè)極其有趣且有用的定理哦！

如果說，對于無理數(shù)的定義我們只需要有一個(gè)“我去，真牛逼”的感性認(rèn)知，那么對這個(gè)定理，我們可就有的忙了！——

首先，我們要將它，翻過來，倒過去地用不同方法證明來，證明去；

其次，我們還得去用它一而再，再而三地去證明許多其他有用的定理；

最后，在我們聊到更高維度的時(shí)候，我們還要去學(xué)習(xí)高維空間中的這個(gè)定理——

可以說，這真是個(gè)狼定理啦！哈哈哈，開玩笑，其實(shí)是很可愛的一個(gè)定理啦。

在此之前，我們先解決上一次遺留的一個(gè)小問題，老碧漏講了——

在第10節(jié)的最后，書上對“實(shí)數(shù)分劃”的一點(diǎn)補(bǔ)充，我們上次證明了，“實(shí)數(shù)分劃”不存在上下組都沒有最值的類型；書上指出“實(shí)數(shù)分劃”也不存在上下組都有最值的類型。即，不存在這種“實(shí)數(shù)分劃”，上組有最小值，下組有最大值，思路如下——

用反證法——

1. 假設(shè)“實(shí)數(shù)分劃”下組有最大數(shù)是實(shí)數(shù)，上組有最小數(shù)也是實(shí)數(shù)；——假設(shè)

2. “實(shí)數(shù)分劃”下組任意數(shù)小于上組任意數(shù)，所以下組最大數(shù)小于上組最小數(shù)；——定義

3. 由實(shí)數(shù)的“強(qiáng)稠密性”——任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間存在有理數(shù)——得到，下組最大數(shù)和上組最小數(shù)之間存在有理數(shù)，即實(shí)數(shù)，故而，這兩組數(shù)沒有覆蓋所有實(shí)數(shù)，與“實(shí)數(shù)分劃”定義矛盾，證畢。

所以，“實(shí)數(shù)分劃”——既不存在上下組都沒有最值的類型；也不存在上下組都有最值的類型。所以說，一個(gè)“實(shí)數(shù)分劃”會(huì)有唯一的“界數(shù)”，且界數(shù)必然是上組或下組的最值——一個(gè)實(shí)數(shù)，故而“實(shí)數(shù)分劃”與實(shí)數(shù)實(shí)現(xiàn)形式統(tǒng)一的一一對應(yīng)，即，有理數(shù)之間的空隙被實(shí)數(shù)填充，實(shí)數(shù)是具有“完備性”或者說“連續(xù)性”的。

還記得我們說過，“完備性”是“實(shí)數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個(gè)性質(zhì)嗎？

——所以，由此可以導(dǎo)出許多“實(shí)數(shù)”獨(dú)有的定理，比如我們今天要聊的“確界原理”。

11數(shù)集的界

忽然想起來，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社的《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論》——比起普通的“高數(shù)”教材，在理論上要稍微深一點(diǎn)，就是以“確界原理”作為開篇的。

書上先定義了，什么叫做“數(shù)集的界&確界”——

如果對于一個(gè)數(shù)集來說，存在一個(gè)數(shù)M，使得這個(gè)數(shù)集中的任何數(shù)都比M小，則M是這個(gè)數(shù)集的上界——比如，10大于sin n（n為所有自然數(shù)）組成的集合S，10就是S的上界，同理，所有大于10的數(shù)都是S的上界，顯而易見，（由阿基米德公理）上界是有無窮多個(gè)的；

類似的，對于一個(gè)數(shù)集來說，存在一個(gè)數(shù)m，使得這個(gè)數(shù)集中的任何數(shù)都比m大，則m是這個(gè)數(shù)集的下界——比如，0小于1/z（z為所有正整數(shù)）組成的集合Z，0就是Z的下界，同理，所有負(fù)數(shù)也是Z的下界，顯而易見，（由阿基米德公理和正數(shù)負(fù)數(shù)的對稱性）下界是由無窮多的；

廣義的上界和下界可以包含“無窮大”——眾所周知，無窮大有三種：正無窮大，負(fù)無窮大，無窮大——在數(shù)集的界中我們只使用到前兩種。

特別的，最小的上界稱為“上確界”，最大的下界稱為“下確界”。

顯然，這兩個(gè)數(shù)是很具有特殊意義的，比方說，有上界的數(shù)集，上界顯然沒有最大值，那么最小值的存在性就值得思考了。

于是就引出了一個(gè)自然的討論，一個(gè)有有限上界的數(shù)集是否一定有上確界？

答案是肯定的，也就是我們要聊的“確界原理”，這個(gè)定理的證明方法也有很多，書上采用“實(shí)數(shù)分劃”的方法——

具體的證明，我們先買個(gè)關(guān)子，下期不見不散！