對(duì)自動(dòng)控制原理中圓形根軌跡和圓形奈奎斯特圖(Nyquist Plot)的討論

一、根軌跡為圓的問(wèn)題

（1）一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)

如果開環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)、兩個(gè)極點(diǎn)，可以證明它的在復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡為圓或圓的一部分。以下以一個(gè)引例展開。

其根軌跡如圖所示

（2）兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)

兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)在復(fù)平面上的情況，它的根軌跡可能是圓或圓的一部分，看引例

看上去不太像，可以試做一下附題2

這里直接給出根軌跡圖

（3）兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)（非正則系統(tǒng)）

以上兩個(gè)情況都是實(shí)際系統(tǒng)可以存在的正則系統(tǒng)，即極點(diǎn)數(shù)不小于零點(diǎn)數(shù)

這種情況只做純數(shù)學(xué)討論，還是剛才的一個(gè)例子

現(xiàn)在，matlab竟然支持非正則系統(tǒng)輸入，著實(shí)讓我大吃一驚

大家可以嘗試一下，看看自己的matlab版本是否可以

我記錯(cuò)了，matlab語(yǔ)言下一直是可以的，但是simulink里面的模塊（Transfer Function）是不支持的

上圖與情況1根軌跡是重合的，可以自行體會(huì)

關(guān)于根軌跡什么時(shí)候會(huì)是圓的，以上三種情況已經(jīng)給出例子證明了的。不過(guò)，要想得到更一般化的結(jié)論，我只能給出一個(gè)基本的假設(shè)（必要條件）：

開環(huán)傳遞函數(shù)的階次不能超過(guò)2，且零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)至少一個(gè)為2。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，如果繼續(xù)討論的話。有兩個(gè)方向可以考慮：

1. 零極點(diǎn)的相對(duì)位置（包括在實(shí)軸上和在實(shí)軸）

2. 閉環(huán)特征方程處于實(shí)質(zhì)的正反饋還是負(fù)反饋

關(guān)于2，這個(gè)決定我們繪制的是零度根軌跡還是180°根軌跡，它們繪制規(guī)則有所不同。

以上討論，如果基于純數(shù)學(xué)解析、討論，計(jì)算上可能會(huì)比較復(fù)雜，感興趣可以從特殊例子入手，不過(guò)還是難以得出一般化的結(jié)論。

關(guān)于圓形根軌跡的問(wèn)題，暫時(shí)討論于此，期待有人能完善這部分的工作。

二、奈氏圖為圓的問(wèn)題

（1）慣性環(huán)節(jié)（最小相位系統(tǒng)）

典型的一階慣性環(huán)節(jié)

（2）慣性環(huán)節(jié)（非最小相位系統(tǒng)）

對(duì)于非最小相位系統(tǒng)的一階慣性環(huán)節(jié)，直接給出以下證明

下面給出幾例自動(dòng)控制原理真題，以饗讀者，不再贅述

附題1

附題2