【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第一章有理數(shù)?

§1-13有理數(shù)的乘法

1、兩個(gè)有理數(shù)的乘法

【01】我們來(lái)看下面的問(wèn)題：

【02】問(wèn)題1.一列火車在東西方向的鐵路上行駛，速度是每小時(shí) 40 公里.如果中午的時(shí)候恰巧經(jīng)過(guò)甲車站。問(wèn)在與中午相距 3 小時(shí)的時(shí)候，它離開甲車站多少公里？

【解】我們知道，這個(gè)問(wèn)題可以用乘法來(lái)解決，就是：速度×?xí)r間＝路程。40×3＝120……(1)? 。答：離開甲車站120公里。

【03】在這個(gè)問(wèn)題里，沒(méi)有指出火車究竟是向哪一個(gè)方向行駛，也沒(méi)有指出這個(gè)時(shí)間究竟是在中午以前還是中午以后，所以我們計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，也只能知道火車離開甲車站的公里數(shù)，而還不知道火車究竟在甲車站的東邊還是西邊。

【04】如果要確切地知道火車在所問(wèn)的時(shí)間究竟在哪里，那末就需要知道火車行駛的方向，是向東還是向西，所問(wèn)的時(shí)間是在中午以前還是在中午以后。在這種情況下，我們就需要用有理數(shù)的乘法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

【05】我們規(guī)定從西到東的方向作為正方向，那末火車從西到東行駛的速度就可以用正數(shù)來(lái)表示，從東到西行駛的速度，用負(fù)數(shù)來(lái)表示。

【06】例如：每小時(shí)向東行駛 40 公里，記做每小時(shí)＋40 公里；每小時(shí)向西行駛 40 公里，記做每小時(shí)－40 公里。

【07】火車在甲車站東邊時(shí)，這段路程可以用正數(shù)來(lái)表示，在西邊時(shí)，這段路程就用負(fù)數(shù)來(lái)表示。

【08】例如：在東邊 120 公里，記做＋120 公里；在西邊 120 公里，記做－120 公里。

【09】對(duì)于時(shí)間來(lái)說(shuō)，我們也可以作這樣的規(guī)定，以中午時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)，午后的時(shí)間用正數(shù)來(lái)表示，午前的時(shí)間用負(fù)數(shù)來(lái)表示。

【10】例如：午前 3 小時(shí)，記做－3 小時(shí)；午后 3 小時(shí)，記做＋3 小時(shí)。

【11】現(xiàn)在，我們來(lái)研究問(wèn)題 1 里的各種可能情況：

【12】問(wèn)題2.火車以每小時(shí) 40 公里的速度從西向東行駛，中午經(jīng)過(guò)甲車站，問(wèn)午后 3 小時(shí)，火車在甲車站的哪一邊？離開甲車站幾公里？

【解】從下面的圖可以看到，這時(shí)火車應(yīng)該在甲車站的東邊 120 公里。（就是離開甲車站＋120 公里）。這里速度是每小時(shí)＋40 公里，時(shí)間是＋3 小時(shí)?！?速度×?xí)r間是(＋40)×(＋3) 公里。這段路程是＋120公里。我們得到算式：(＋40)×(＋3)＝＋120……(2)。答：在甲車站東邊 120 公里。

【13】問(wèn)題3.火車以每小時(shí) 40 公里的速度，從東向西行駛，中午經(jīng)過(guò)甲車站。問(wèn)午后 3 小時(shí)，火車在甲車站的哪一邊？離開甲車站幾公里？

【解】從下圖可以看到，這時(shí)火車應(yīng)該在甲車站的西邊 120公里。（就是離開甲車站－120 公里）。這里速度是每小時(shí)－40 公里，時(shí)間是＋3 小時(shí)。速度×?xí)r間是(－40)×(＋3) 公里。這段路程是－120公里。我們得到算式：(－40)×(＋3)＝－120 ……(3)。答：火車在甲車站西邊 120 公里。

【14】問(wèn)題4.火車以每小時(shí) 40 公里的速度，從西向東行駛，中午經(jīng)過(guò)甲車站.問(wèn)午前 3 小時(shí)，火車在甲車站的哪一邊？離開甲車站幾公里？

【解】從下圖可以看到，為了要火車在中午到達(dá)甲車站，午前 3 小時(shí)的時(shí)候火車應(yīng)該在甲車站西邊 120 公里。（就是離開甲車站－120公里)。這里速度是每小時(shí)＋40 公里，時(shí)間是－3 小時(shí)。速度×?xí)r間是(＋40)×(－3) 公里。這段路程就是－120公里。我們得到算式：(＋40)×(－3)＝－120……(4)。答：火車在甲車站西邊 120 公里。

【15】問(wèn)題5.火車以每小時(shí) 40 公里的速度，從東向西行駛，中午經(jīng)過(guò)甲車站。問(wèn)午前 3 小時(shí)，火車在甲車站的哪一邊？離開甲車站幾公里？

【解】從下圖可以看到，為了要火車在中午到達(dá)甲車站，在午前 3 小時(shí)的時(shí)候，火車應(yīng)該在甲車站東邊 120 公里。（就是離開甲車站＋120公里）。這里速度是每小時(shí)－40 公里，時(shí)間是－3 小時(shí)。速度×?xí)r間是(－40)×(－3) 公里。這段路程是＋120 公里。我們得到算式：(－40)×(－3)＝＋120……(5)? 。答：火車在甲車站東邊 120 公里。

【16】從上面問(wèn)題2~問(wèn)題5的解答中，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的事實(shí)。在(2)和(5)里，我們做的是兩個(gè)符號(hào)相同的有理數(shù)的乘法，我們看到：符號(hào)相同的兩個(gè)有理數(shù)相乘，它們的積應(yīng)該是一個(gè)正數(shù)積的絕對(duì)值就是兩個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值的積。

【17】在(3)和(4)里，我們做的是符號(hào)相反的兩個(gè)有理數(shù)的乘法，我們看到：符號(hào)相反的兩個(gè)有理數(shù)相乘，它們的積應(yīng)該是一個(gè)負(fù)數(shù)，積的絕對(duì)值等于兩個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值的積。

【18】很明顯的，在上面的問(wèn)題里，如果速度和時(shí)間中有一個(gè)是零，或者兩個(gè)都是零，那末火車仍舊在甲車站。也就是說(shuō)，火車離開甲車站的距離是零。這就說(shuō)明了：任何一個(gè)有理數(shù)和零相乘，積是零。例如：(＋40)×0＝0，0×(＋3)＝0，(－40)×0＝0，0×(－3)＝0，0×0＝0? 。

【19】把上面這些情況綜合起來(lái)，我們得到有理數(shù)的乘法法則：

【20】(ⅰ)正負(fù)符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)的積是一個(gè)正數(shù)，它的絕對(duì)值等于這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的積；

【21】(ⅱ)正負(fù)符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)的積是一個(gè)負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值等于這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的積；

【22】(ⅲ)零同任何一個(gè)數(shù)的積總等于零。

【23】為了便于記憶，我們把上面(ⅰ)、(ⅱ)兩條法則，概括起來(lái)，得到?jīng)Q定積的符號(hào)的口訣：同號(hào)相乘得正數(shù)，異號(hào)相乘得負(fù)數(shù)。

例1.計(jì)算：

【解】

習(xí)題1-13(1)

做下列乘法(1~12)：

計(jì)算(13~16)：

【13、1；14、；15、48；16、】

2、三個(gè)或三個(gè)以上有理數(shù)的乘法

例2.計(jì)算：(1)(－3)×(＋5)×(－2)；(2)(－1)×(－5)×(＋3)×(－4)×(＋2)? 。

【解】依照由左向右的順序進(jìn)行：

(1)(－3)×(＋5)×(－2)＝(－15)×(－2)＝＋30；

(2)(－1)×(－)×(＋3)×(－4)×(＋2)＝(＋5)×(＋3)×(－4)×(＋2)＝(＋15)×(－4)×(＋2)＝(－60)×(＋2)＝－120? 。

【注意】(1)里有兩個(gè)負(fù)數(shù)，乘積是正數(shù)；(2)里有三個(gè)負(fù)數(shù)，乘積是負(fù)數(shù)。我們也可以先把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘，再根據(jù)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)或者奇數(shù)，確定積是正的或負(fù)的。

【24】從上面的例子，我們可以看出：三個(gè)或者更多個(gè)有理數(shù)的乘法，可以由左向右逐一進(jìn)行。但為了方便起見，我們也可以把三個(gè)或者更多個(gè)有理數(shù)的乘法，分為定性質(zhì)符號(hào)與定絕對(duì)值兩步，得到三個(gè)或者更多個(gè)有理數(shù)的乘法法則：

【25】(ⅰ)定正負(fù)符號(hào)：如果因數(shù)里的負(fù)號(hào)有偶數(shù)個(gè)（如兩個(gè)、四個(gè)、六個(gè)……），那末所得的積是正數(shù)：如果因數(shù)里的負(fù)號(hào)有奇數(shù)個(gè)（如一個(gè)、三個(gè)、五個(gè)……），那未所得的積是負(fù)數(shù)。

【26】(ⅱ)定絕對(duì)值：把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘，所得的積就是積的絕對(duì)值。

例3.計(jì)算：

【解】

(1)這里有四個(gè)負(fù)號(hào)，積是正的。

∴ (＋2)×(－1)×(＋3)×(－10)×(－4)×（－5)＝＋(2×1×3×10×4×5)＝1200；

(2)這里有三個(gè)負(fù)號(hào)，積是負(fù)的.

習(xí)題1-13(2)

計(jì)算：

【1、9600；2、0.6；3、-1.2；4、；5、-100000；6、218.88；7、0.01；8、-0.004；9、4；10、-10】