鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

質(zhì)數(shù)（prime number）是指在大于 1 的自然數(shù)中，除了 1 和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。

無理數(shù)（irrational number）， 是對于任何整數(shù) 和 ，不能用分?jǐn)?shù) 表示的數(shù)字。

證明質(zhì)數(shù)的平方根是無理數(shù)。

【題解】

設(shè) 為任何質(zhì)數(shù)。如果 是有理數(shù)，它必須表示為兩個互質(zhì)整數(shù)（也稱為相對素數(shù)或互素數(shù)）。

求等式的平方，得

將 和 表示為唯一質(zhì)數(shù)因子冪的乘積（product of powers of unique prime factors）：

所以 寫成

根據(jù)等式的右側(cè)，所有唯一質(zhì)數(shù)因子的指數(shù)都變成偶數(shù)（任何整數(shù)乘以2都是偶數(shù)）。這表明，如果雙方相等的話，等式的左側(cè)也應(yīng)該由具有偶數(shù)冪的唯一質(zhì)數(shù)因子組成。然而，還有一個額外的因素 使得這不可能。有兩種情況可以說明：第一，如果 是 其中一個質(zhì)數(shù)因子；第二，如果 不是 其中一個質(zhì)數(shù)因子。

情況1：如果 是 其中一個質(zhì)數(shù)因子，那么，假設(shè) ，我們得到一個因子，這是一個具有奇數(shù)冪的質(zhì)數(shù)因子。這與我們上面的假設(shè)是有矛盾的，即等式的左側(cè)必須只包含具有偶數(shù)次冪的素數(shù)因子。

情況2: 如果 不是 其中一個質(zhì)數(shù)因子，那么我們得到一個具有奇數(shù)冪的唯一素因式 （冪等于1）。這再一次與我們上面的假設(shè)是有矛盾的，即等式的左側(cè)必須只包含具有偶數(shù)次冪的素數(shù)因子。

由于以上兩個情況都是明顯的矛盾，我們必須拒絕 是有理數(shù)這個假設(shè)。因此，質(zhì)數(shù)的平方根是無理數(shù)。

【歷史縱橫】

希帕索斯（Hippasus of Metapontum，活在公元前500年）是一位畢達哥拉斯學(xué)徒。他首先證明了2的平方根是無理數(shù)。據(jù)傳統(tǒng)說，他發(fā)現(xiàn)了這個數(shù)學(xué)真理后被淹死了！

上圖被稱為塞奧多洛螺旋（Spiral of Theodorus）。希臘哲學(xué)家柏拉圖認(rèn)為是塞奧多洛（Theodorus of Cyrene，約公元前465-399年）證明了在 1 到 17 之間的非平方整數(shù)的平方根是無理數(shù)。