修羅 銀河聯(lián)邦為了宇宙的和平打破了禁忌而誕生的終極鎧甲 實力極其強悍...... 但是不知為何 想要得到修羅的承認 必須要在某個地方達到極端...... 比如【最正義】【最邪惡】【最武癡】【最XX】...... 只有在某個地方達到極端才能夠駕馭修羅鎧甲 而目前，修羅鎧甲唯一完全承認的生命存在...... 只有他 宇宙中為了挑戰(zhàn)更強者可以付出一切代價的男人...... 炎帝 “當年阿瑞斯軍團為了【活捉】炎帝， 花費了多少時間和精力?耗費了多少人力物力？損失了多少資源？毀滅了多少星球和宇宙？就這也只能靠偷襲炎帝本人才能勉強取勝！你們幾個毛頭小子就想去殺死炎帝？” “路西法！你知道你為什么不能得到修羅鎧甲的承認嗎？因為你的內心還擁有正義的部分，亦正亦邪的你是沒有辦法得到修羅的承認的！要么你就回到阿瑞斯星球接受審判剔除你邪惡的部分，要么你就殺死那個還有正義之心的你，在修羅面前沒有兩個答案！” 修羅很強，強大到他隨隨便便的出手就可以讓整個阿瑞斯軍團顛覆曾經的常識 “將軍，前方有大量的多元宇宙宇宙向我們襲來，看上去是銀河聯(lián)邦那些人來攻擊了！” “多元宇宙的數量有多少？” “將軍大人，數量足足有……我的天哪！” 之見在路西法戰(zhàn)艦的電腦中，顯示了這樣一些代碼和介紹 def 高德納(a,n,b): if n==1: return a**b elif n>1: if b==1: return a elif b>1: return 高德納(a,n-1,高德納(a,n,b-1)) result=4 for i in range(64): result=高德納(3,result,3) print(result) “竟然是【DEF！】銀河聯(lián)邦那些家伙是瘋了嗎？ {【DEF！】就是地球上的【葛立恒數】}

葛立恒數 葛立恒數的大小幾乎無法想象，就連它的位數都是一個非常大的數。 甚至，葛立恒數的位數的位數仍然是一個很大的數。 葛立恒數的位數的位數的位數的位數的位數的位數依然是一個很大的數。 如果你想添加足夠多的“的位數”這個詞語，得到一個可以想象的數，那么“的位數”這個詞語的個數依然是很大的數 古戈爾=10^100 古戈爾普勒克斯=10^10^100 但這都不夠大...... a×b=a+a+a+…+a（b個a相加） a^b=a×a×a×…×a（b個a相乘） 高德納箭號 “↑” 和冪的意義是一樣 a↑b=a? 還有兩個箭頭的（寫作“↑↑”或“↑2”） 它表示的是重復的“↑”運算，也就是重復的冪運算 a↑2b=a↑(a↑(a↑(…↑a)))（b個a） 也有三個箭頭的（寫作“↑↑↑”或“↑3”） 它表示的是重復的“↑2”運算 a↑3b=a↑2(a↑2(a↑2(…↑2a)))（b個a） 四個箭頭（寫作“↑↑↑↑”或“↑?”） 表示重復的“↑3”運算。 五個箭頭（寫作“↑↑↑↑↑”或“↑?”） 表示重復的“↑?”運算。 六個箭頭（寫作“↑↑↑↑↑↑”或“↑?”） 表示重復的“↑?”運算 ……（以此類推） 3↑3=33=27 3↑23=3↑(3↑3)= 7625597484987 這是一個13位數 3↑33=3↑2(3↑23)=3↑27625597484987 =3↑(3↑(3↑(…↑3)))（7625597484987個3） 3↑?3=3↑3(3↑33)=3↑2(3↑2(3↑2(…↑23)))（“3↑33”個3） 葛立恒數 g?=3↑?3 g?=3↑??3 g?=3↑??3 g?=3↑??3 g?=3↑??3 g?=3↑??3 ............... ............... ............... ............... g??=3↑???3 g??=3↑???3 g??就是葛立恒數 “將軍，我們不可能在一瞬間把他們全部摧毀，這種數量太多了！” “能利用飛船的數據化躲開嗎？” “將軍，在之前與銀河聯(lián)邦的戰(zhàn)斗中飛船的數據化防御系統(tǒng)受到嚴重損傷，已經不能在使用了！” “可惡??！” “你們在吵什么呢？” “炎帝？你怎么會出現在這里？” “我就到處逛逛，來找一些強者，可惜你軍團里的人都太弱了！” “你想要找強者？那里就有！” 只見炎帝抬起了頭 “那些是什么？” “是多元宇宙！還是【DEF！】數量的多元宇宙，銀河聯(lián)邦想要徹底殺了我們！” “哈哈哈哈哈！” “你笑什么？”

“不就是【DEF！】數量的多元宇宙嗎，那好，今天就來舒緩舒緩吧，也讓你們見識一下修羅鎧甲的厲害！” “你難道能在一瞬間把他們都清除干凈？” “怎么不能？在這里看好了！” 炎帝掏出了修羅召喚器，在按下了三個數字按鍵后變?yōu)榱诵蘖_鎧甲 隨后，炎帝將手指向前一指...... 就是這一指，【DEF！】數量的多元宇宙瞬間就消失了 “你做了什么？” “我不過只是將他們瞬間摧毀然后完全吸收了而已?！?輕描淡寫，這就是修羅鎧甲的強大...... “將軍，這個修羅鎧甲到底有多強大？” “我曾在阿瑞斯見到過一個分析，就連瞬間摧毀【GD#】和【TR！】數量的多元宇宙也不能達到修羅鎧甲的水準！” {【GD#】為Goodstein數列，【TR！】為TREE(3)} Goodstein數列 首先，把一個正整數n寫成下面這種形式，稱作“k進制形式”。 n=a_1k^{b_1}+a_2k^{b_2}+\cdots+a_mk^{b_m} 其中a_1,a_2,\cdots,a_m都是小于k的正整數，b_1>b_2>\cdots>b_m且都是正整數。 其次，定義“以k為底的遺傳記法”。如果n1)可以用這種辦法得到：先把a_{n-1}寫成以n為底的遺傳記法，然后把里面出現的n都改成n+1，最后減去1。 比如起始數為10，那么 a_1=10，寫成以2為底的遺傳記法，就是1\times2^{1\times2^1+1\times2^0}+1\times2，簡單一點就是2^{2+1}+2。如果把2改成3，就得到3^{3+1}+3=84。 a_2=83，寫成以3為底的遺傳記法，就是3^{3+1}+2。如果把3改成4，就得到4^{4+1}+2=1026。 a_3=1025，寫成以4為底的遺傳記法，就是4^{4+1}+1。如果把4改成5，就得到5^{5+1}+1=15626。 a_4=15625，寫成以5為底的遺傳記法，就是5^{5+1}。如果把5改成6，就得到6^{6+1}=279936。 a_5=279935，寫成以6為底的遺傳記法，就是5\times6^6+5\times6^5+5\times6^4+5\times6^3+5\times6^2+5\times6+5。如果把6改成7，就得到5\times7^7+5\times7^5+5\times7^4+5\times7^3+5\times7^2+5\times7+5=4215755。 a_6=4215754，寫成以7為底的遺傳記法，就是5\times7^7+5\times7^5+5\times7^4+5\times7^3+5\times7^2+5\times7+4。如果把7改成8，就得到5\times8^8+5\times8^5+5\times8^4+5\times8^3+5\times8^2+5\times8+4=84073324。 a_7=84073323， …… 這個數列看上去在一直遞增，似乎沒完沒了的樣子。但我們總還得問一句，如果某一項是0那怎么辦？答：到此為止。如果某一項a_n=0，那這個數列就只有n項，只有有限項。 下面的定理令人吃驚： 所有的Goodstein數列都只有有限項。 這樣我們就能定義出Goodstein函數了。G(n)是以n為起始數的Goodstein數列的非零項數。 于是，G(1)=1，只有兩項：1,0。 G(2)=3，只有四項：2,2,1,0。 G(3)=5，只有六項：3,3,3,2,1,0。 G(4)則比較大。 第1項：2^2=4； 第2項：3^3-1，但這種寫法不是以3為底的遺傳記法，得改寫成2*3^2+2*3+2才行。 第3項：2*4^2+2*4+1 第4項：2*5^2+2*5 第5項：2*6^2+2*6-1=2*6^2+6+5 第6項：2*7^2+7+4 第10項：2*11^2+11 第11項：2*12^2+12-1=2*12^2+11 第12項：2*13^2+10 第22項：2*23^2 第23項：2*24^2-1=24^2+23*24+23 第24項：25^2+23*25+22 第46項：47^2+23*47 第47項：48^2+23*48-1=48^2+22*48+47 …… 雖然我們沒有辦法把它一項一項地列出來，但可以想象出，這個過程，如果總是用遺傳記法來表示，那么就像是一個倒計時的鐘表，只不過每一個“小時”值好多“分鐘”，每一個“分鐘”值好多“秒”，而且隨著項數的增加，每一個“分鐘”值的“秒”數會增多，每一個“小時”值的“分鐘”數也會增多，但不管怎樣，這個倒計時總會結束。 無獨有偶，集合論中的序數（ordinal）剛好也具有這種性質。如果一個序數的序列，每一項都小于前一項，那么一定只能有有限項。像剛才的倒計時那樣，“每一項都小于前一項”的方式，可以是扣掉這一“秒”，也可以是把一個“分鐘”換成許多“秒”，把一個“小時”換成許多“分鐘”等等。這就啟發(fā)我們定義一種通用的、基于序數的“倒計時”，稱作Hardy hierarchy。 H_0(n)=n，其中n是任意自然數。 H_{\alpha+1}(n)=H_\alpha(n+1)，其中n是任意自然數，α是任意序數。 H_\alpha(n)=H_{\alpha[n]}(n)，其中n是任意自然數，α是非零極限序數。 而最后這個表達式中的α[n]，就是把一個“小時”換成許多“分鐘”的方式。 用Cantor標準式來表示序數，即\alpha=\omega^{\beta_1}\times a_1+\omega^{\beta_2}\times a_2+\cdots+\omega^{\beta_m}\times a_m，其中a_1,a_2,\cdots,a_m都是正整數，\beta_1>\beta_2>\cdots>\beta_m且都是序數。用這種方式表示的非零極限序數，可以定義(\omega^{\beta_1}\times a_1+\omega^{\beta_2}\times a_2+\cdots+\omega^{\beta_m}\times a_m)[n]=\omega^{\beta_1}\times a_1+\omega^{\beta_2}\times a_2+\cdots+\omega^{\beta_{m-1}}\times a_{m-1}+\omega^{\beta_m}\times(a_m-1)+(\omega^{\beta_m}[n])。而且\beta_m>0。然后\omega^{\beta+1}[n]=\omega^\beta\times n；如果β是非零極限序數，那么\omega^{\beta}[n]=\omega^{\beta[n]}。 于是我們就得到了Goodstein函數的一種比較簡單的表達式： G(n)=H_{\alpha}(3)-3，其中α是把n寫成以2為底的遺傳記法，再把2換成ω，所得的序數。 作為對比，G(12)大于Graham數。Graham數若用Hardy hierarchy表示，僅僅介于H_{\omega^{\omega+1}}(63)和H_{\omega^{\omega+1}}(64)之間罷了，而Goodstein函數卻能達到H_{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega^\omega}}}}}}(n)這種級別。 四、TREE(3) TREE(3)源于TREE函數。 在所有由“頂點k染色的樹”組成的，而且滿足下面的兩個條件的序列中，序列的最大長度就記作TREE(k)。 任意正整數i，序列的第i項只有不超過i個頂點 任意正整數i、（）、【】、《》等）表示不同的頂點顏色。 TREE(1)=1 ()，只有1個頂點的樹 TREE(2)=3 首先是[]，然后我們就不能用任何帶有[]的樹了。 然后(()) () 接下來就到TREE(3)了。 首先當然是{} 然后[[]]，當然，這里我們只列了一種可能的序列，因此我們只能得出TREE(3)的一個下限。 [()()] [(()())]，注意，由于最外面的小括號有2個子頂點，所以不能直接去掉，意味著這個樹不能嵌入[()()]。 [(((())))] (([((()))])) ([((()))][][]) ([((()))][]()()) ([((()))]()()()()) ([((()))](())(())()) ([((()))](()()())()()) …… 接下來的事情有點復雜，所以我們還需要一個輔助函數來幫忙——tree函數。 在所有滿足下面的兩個條件的“樹列”中，“樹列”的最大長度記作tree(n)。 任意正整數i，“樹列”的第i項只有不超過i+n個頂點 任意正整數i\beta_2>\cdots>\beta_m），只有這樣才能趕上TREE序列。 \varphi(\#,\alpha@\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]@\beta)，其中α是非零極限序數 \varphi(\#,\alpha+1@\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha@\beta,1@\beta[n])，其中β是非零極限序數 \varphi(\#,\alpha+1@\beta+1)[0]=0，\varphi(\#,\alpha+1@\beta+1)[n+1]=\varphi(\#,\alpha@\beta+1,\varphi(\#,\alpha+1@\beta+1)[n]@\beta) \varphi(\#,\alpha@\beta,\gamma+1)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]@\beta,\varphi(\#,\alpha@\beta,\gamma)+1)，其中α是非零極限序數 \varphi(\#,\alpha+1@\beta,\gamma+1)[n]=\varphi(\#,\alpha@\beta,1@\beta[n],\varphi(\#,\alpha+1@\beta,\gamma)+1)，其中β是非零極限序數 \varphi(\#,\alpha+1@\beta+1,\gamma+1)[0]=\varphi(\#,\alpha+1@\beta+1,\gamma)+1，\varphi(\#,\alpha+1@\beta+1,\gamma+1)[n+1]=\varphi(\#,\alpha@\beta+1,\varphi(\#,\alpha+1@\beta+1,\gamma+1)[n]@\beta) \varphi(0,\alpha)=\omega^\alpha 其中#表示任意多個（或者0個）形如“α @ β”的項，“α @ 0”項可直接寫作“α”，“0 @ β”這樣的項則可以省略。 那么，接下來便是TREE(3)的序列中，有限樹到序數的對應。 []對應\varphi(1@\omega,0) ([])對應\varphi(1@\omega,0)+1 (([]))對應\varphi(1@\omega,0)+2 ([]())對應\varphi(1@\omega,0)+\omega ([](()()()))對應\varphi(1@\omega,0)+\varphi(1,0) ([][])對應\varphi(1@\omega,0)\times2 (([][]))對應\varphi(1@\omega,0)\times2+1 (([][])(()()()))對應\varphi(1@\omega,0)\times2+\varphi(1,0) (([])[])對應\varphi(1@\omega,0)\times3 ((([]))[])對應\varphi(1@\omega,0)\times4 (([]())[])對應\varphi(1@\omega,0)\times\omega=\omega^{\varphi(1@\omega,0)+1} (([][])[])對應\varphi(1@\omega,0)^2=\omega^{\varphi(1@\omega,0)\times2} ((([][])[])[])對應\varphi(1@\omega,0)^3=\omega^{\varphi(1@\omega,0)\times3} (([])([]))對應\varphi(1@\omega,0)^\omega=\omega^{\omega^{\varphi(1@\omega,0)+1}} (([][])([][]))對應\varphi(1@\omega,0)^{\varphi(1@\omega,0)}=\omega^{\omega^{\varphi(1@\omega,0)\times2}} ((([][])([][]))(([][])([][])))對應\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varphi(1@\omega,0)\times2}}}} ([]()())對應\varphi(1,\varphi(1@\omega,0)+1) ([](())())對應\varphi(2,\varphi(1@\omega,0)+1) ([][]())對應\varphi(\varphi(1@\omega,0),1) ([](())(()))對應\varphi(1@2,\varphi(1@\omega,0)+1) ([][][])對應\varphi(\varphi(1@\omega,0)@2,1) ([]()()())對應\varphi(1@3,\varphi(1@\omega,0)+1) ([][][][])對應\varphi(\varphi(1@\omega,0)@3,1) ([]()()()())對應\varphi(1@4,\varphi(1@\omega,0)+1) [()]對應\varphi(1@\omega,1) [(())]對應\varphi(1@\omega,2) [((()))]對應\varphi(1@\omega,3) …… 中間的過程比較繁瑣，不過最后還是可以得出結果的—— \text{TREE}(3)>H_{\omega^{\varphi(1@\omega,3)+\varphi(1@\omega,0)}}(\text{tree}(\text{tree}(3))) 其中，tree(3)不像TREE(3)那樣巨大，但也至少是262140。而tree函數則增長得和H_{\varphi(1@\omega,0)}(n)一樣快，遠遠快于Goodstein函數。 “將軍，這也太夸張了吧！” “一點都不夸張！要知道修羅實在是太強了！在我最后一次知道修羅的量級時是我即將出征的時候，那個時候那些科學家甚至認為就連能瞬間摧毀【LOD#】數量的【全能宇宙】（阿瑞斯術語，代表∞^∞的超級空間）也摸不到修羅的門檻！” {【LOD#】在阿瑞斯里=Loader數} Loader數 #define R { return #define P P ( #define L L ( #define T S (v, y, c, #define C ), #define X x) #define F );} int r, a; P y, X R y - ~y << x; } Z (X R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 F L X R x / 2 >> Z (x F #define U = S(4,13,-4, T t) { int f = L t C x = r; R f - 2 ? f > 2 ? f - v ? t - (f > v) * c : y : P f, P T L X C S (v+2, t U y C c, Z (X ))) : A (T L X C T Z (X ) F } A (y, X R L y) - 1 ? 5 << P y, X : S (4, x, 4, Z (r) F #define B (x /= 2) % 2 && ( D (X { int f, d, c = 0, t = 7, u = 14; while (x && D (x - 1 C B 1)) d = L L D (X ) C f = L r C x = L r C c - r || ( L u) || L r) - f || B u = S (4, d, 4, r C t = A (t, d) C f / 2 & B c = P d, c C t U t C u U u) ) C c && B t = P ~u & 2 | B u = 1 << P L c C u) C P L c C t) C c = r C u / 2 & B c = P t, c C u U t C t = 9 );

R a = P P t, P u, P x, c)) C a F } main () R D (D (D (D (D (99)))) F 這里，假定整數類型可以容納足夠大的數而不溢出，當這段程序從main函數結束的時候，它的返回值就是Loader數 “將軍，你相信嗎......” “之前的話我不可能相信，但是現在我們也不得不信了！” 而問題來了....... 這就是修羅的極限了嗎？ “看來你們還是小看了修羅啊！實話告訴你們吧，哪怕是你們阿瑞斯星球不久前（地球時間史前31億年）得到的【CK&】也不可能用來描述出修羅的真正實力！” {【CK&】就是Church-Kleene ordinal（丘奇-克萊恩序數或CK序數）}

\（\omega_1^\text{CK}\）（稱為?

Church-Kleene

?序數）是最小的非遞歸序數。 它以Alonzo Church和Stephen?Cole Kleene的名字命名。 序數是

遞歸的

，有兩個條件 該圖是 \（\mathbb{N}^2\） 的子集。

圖的特征函數是可計算的。

它是一種滿足 的序數類型的對齊順序。 也就是說，序數 \（\alpha\） 是遞歸的，如果某個可計算的全局映射 它是有并滿足以下幾點: \（R\） 定義 \（\mathbb{N}\） 上的二進制關系。 也就是說，對于任何 \（（n，m） \in \mathbb{N}^2\）， \（R（n，m） \in \{0，1\}\）。

由 \（R\） 定義的 \（\mathbb{N}\） 上的二元關系是 \（\mathbb{N}\） 子集上的反射關系。 即 \（D ：= \{n \in \mathbb{N} \mid R（n，n） = 1\}\） yields \（D = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists m \in \mathbb{N}[R（n，m） = 1 \lor R（m，n） = 1]\}\）。

由 \（R\） 定義的 \（D\） 上的自反關系是對齊順序。 即另外滿足以下屬性：

由 \（R\） 定義的 \（D\） 上的自反關系滿足對立。 也就是說，對于任何 \（（n，m） \in D^2\），\（R（n，m） = R（m，n） = 1\），則 \（n = m\）。

由 \（R\） 定義的 \（D\） 上的自反關系滿足傳遞規(guī)則。 也就是說，對于任何 \（（n，m，l） \in D^3\），\（R（n，m） = R（m，l） = 1\），則 \（R（n，l） = 1\）。

由\（R\）定義的\（D\）上的自反關系滿足基石。 也就是說，對于任何非空的 \（S \subset D\），存在一個 \（n \in S\），對于任何 \（m \in S\） \（R（n，m） = 1\）。

由 \（R\） 定義的 \（D\） 上的對齊順序的序號類型是 \（\alpha\）。 也就是說，存在一個總單射映射 \（f \colon \alpha \to D\），并且 \（\beta \leq \gamma\） 和 \（R（f（\beta），f（\gamma））\） 對于任何 \（（\beta，\gamma） \in \alpha^2\） 是等價的。

\（\omega_1^\text{CK}\） 是所有遞歸序數的集合，即所有遞歸序數的上限。 由于遞歸序數的后續(xù)序數再次遞歸，\（\omega_1^\text{CK}\） 是極限序數。 由于所有遞歸對齊階都可以等同于不同的圖靈機，并且圖靈機只有可數的等價類，因此\（\omega_1^\text{CK}\）也是可數的。 它也是一個大于最小 \（\omega\） 的允許序數。 人們經常認為，用固定基列\(zhòng)（\omega_1^\text{CK}\)定義的快速增長函數層次結構\(f_{\omega_1^\text{CK}\）比任何可計算函數增長得更快，但是什么基列應該是固定的\（f_{\omega_1^\text{CK}}}}}（n）\） 這是一種誤解，因為甚至不知道它是否會如此迅速地增加。 事實上，存在一個基本列 \（\omega_1^\text{CK}}\（n）\），使得 \（f_{\omega_4^\text{CK}\） 被 \（f_{\omega^1}（n）\） suppress \（\omega_1^\text{CK}\） 的基列是重要的。 定義它的一種方法是偽序數表示法，它可以表示所有稱為?

Kleene \（\mathcal{O}\）

?的遞歸序數。 普通序數表示法在其對齊順序結構中需要可計算的功能，但此表示法不可計算。 在構建 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 之前， 需要部分遞歸函數 \（f_0， f_1， f_2， \ldots\） 的完整枚舉。 一種方法是使用圖靈機的字典完整枚舉。 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 的整個表示法的集合 \（K\） 和窄序半序 \（<_\mathcal{O}\） 以及將符號轉換為序數的函數 \（\mathcal{O}\） 歸納定義為： \（0 \in K\） 和 \（\mathcal{O}（0） = 0\）。

如果 \（n \in K\） 和 \（\mathcal{O}（n） = \alpha\），則 \（2^n \in K\）、\（\mathcal{O}（2^n） = \alpha + 1\） 和 \（n <_\mathcal{O} 2^n\）。

如果 \（f_i（n） \in K\） 和 \（f_i（n） <_\mathcal{O} f_i（n + 1）\） 對所有自然數 \（n\） 成立，則 \（3 \cdot 5^i \in K\）， \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \sup_{k \in \omega} \mathcal{O}（f_i（k））\），以及所有 \（k\） \ （f_i（k） <_\mathcal{O} 3 \cdot 5^i\）。

\（a <_\mathcal{O} b\） 和 \（b <_\mathcal{O} c\） 則 \（a <_\mathcal{O} c\）。

\（g（0） = 0\） 和 \（g（n + 1）\） 被定義為與 \（m \in K\） 和 \（g（n） <_\mathcal{O} m\ 相輔相成的最小 \（m \in \mathbb{N}\）。 \（\omega_1^\text{CK}\） 的基本列是 \（\omega_1^\text{CK}[n] = \mathcal{O}（g（n））\）。 以下是高達 \（\omega^2\） 的示例： \（\mathcal{O}（0） = 0\）， \（\mathcal{O}（1） = 1\）， \（\mathcal{O}（2） = 2\）， \（\mathcal{O}（2^2） = 3\）， 一般 \（\mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow n） = n + 1\）。

選擇 \（f_{10}（n） = 2 \uparrow\uparrow n\）（這是一個遞歸函數）。 then \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10}） = \sup\{\mathcal{O}（2）， \mathcal{O}（2^2）， \mathcal{O}（2^{2^2}）， \ldots\} = \sup\{1， 2， 3， \ldots\} = \omega\）.

Select \（f_{100}（n） = （2 \uparrow）^n （3 \cdot 5^{10}）\）。 then \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10}） = \sup\{\mathcal{O}（2^{3 \cdot 5^{10}}）， \mathcal{O}（2^{2^{3 \cdot 5^{10}}}），\mathcal{O}（2^{2^{2^{3 \cdot 5^{10}}}}）， \ldots\} = \sup\{\omega + 1， \ 歐米茄 + 2， \歐米茄 + 3， \ldots\} = \歐米茄2\）。

這可以在沒有定義的情況下繼續(xù)，但定義為 \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10^a}） = \omega a\）。

這些可以通過定義 \（f_{11}（n） = 3 \cdot 5^{10^n}\） 來對角化

如果序數是自然數子集的可計算良序的順序類型，則認為序數是

遞歸的

。因此，

Church-Kleene 序數

?\（\omega_1^\text{CK}\） 是第一個非遞歸的序數。 一個序數是遞歸的，當且僅當它小于另一個遞歸序數，所以 Church-Kleene 序數也是所有遞歸序數的上確界，也是所有遞歸序數集合的階類型。它是一個極限序數，因為遞歸序數的后繼者也是遞歸的。由于每個可計算的良序都可以由一個不同的圖靈機識別，其中有可數個，\（\omega_1^\text{CK}\） 也是可數的 一個名為?

Kleene 的 \（\mathcal{O}\）

?的系統(tǒng)為我們提供了一個覆蓋所有遞歸序數的非遞歸符號系統(tǒng)。由于序號表示法必須是遞歸的，因此它不是序號表示法。在構造 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 之前，首先我們需要枚舉所有部分遞歸函數的枚舉 \（f_0， f_1， f_2， \ldots\）。一種方法是按字典順序對所有圖靈機進行排序。另一種方法是使用教會數字，并通過二進制 Lambda 演算編碼按字典順序對所有封閉的 lambda 術語進行排序。 設 \（K\） 是所有表示法的集合，設 \（<_\mathcal{O}\） 是一個運算符，指示 \（K\） 的有充分根據的嚴格部分排序，并設 \（\mathcal{O}\） 是將表示法映射到序數的函數。這三者歸納定義如下： \（0 \in K\） 和 \（\mathcal{O}（0） = 0\）。

如果 \（n \in K\） 和 \（\mathcal{O}（n） = \alpha\），則 \（2^n \in K\）、\（\mathcal{O}（2^n） = \alpha + 1\） 和 \（n <_\mathcal{O} 2^n\）。

如果對于所有自然數 \（n\），我們有 \（f_i（n） \in K\） 和 \（f_i（n） <_\mathcal{O} f_i（n + 1）\），則 \（3 \cdot 5^i \in K\）， \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \sup_{k \in \omega} \mathcal{O}（f_i（k））\），并且對于所有 \（k\） \（f_i（k） <_\mathcal{O} 3 \cdot 5^i\）。

\（a <_\mathcal{O} b\） 和 \（b <_\mathcal{O} c\） 表示 \（a <_\mathcal{O} c\）

根據定義，可以得出： \（\matrix{\mathcal{O}（2^0） = 1\\mathcal{O}（2^{2^0}） = 2\\mathcal{O}（2^{2^{2^0}}） = 3\\mathcal{O}（2^{2^{2^{2^0}}}） = 4\\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \omega}\） 這里 \（i\） 是圖靈機的索引，它計算 \（f_i（n） = 2 \uparrow\uparrow n\）。繼續(xù) \（\matrix{\mathcal{O}（2^{3 \cdot 5^i}） = \omega+1\\mathcal{O}（2^{2^{3 \cdot 5^i}}） = \omega+2\\mathcal{O}（2^{2^{2^{3 \cdot 5^i}}}） = \omega+3\\mathcal{O}（2^{2^{2^{2^{3 \cdot 5^i}}}}） = \omega+4\\mathcal{O}（3 \cdot 5^j） = \omega\cdot 2}\） 這里 \（j\） 是圖靈機的索引，它計算 \（f_j（n） = （2 \uparrow）^n （3 \cdot 5^i）\）。 繼續(xù)以這種方式，可以注釋所有遞歸序數。唯一的問題是圖靈機的索引是不可計算的;也就是說，我們不能運行TM的VIA算法來驗證它是否確實計算了所需的函數 對于每個 \（\alpha < \omega_1^\text{CK}\），如果 \（\alpha\） 是極限序數，則 \（\alpha[n]\） 定義為 \（\mathcal{O}（f_{i_{\alpha}}（n））\），其中 \（i_{\alpha}\） 表示非空集合 \（\{i \in K \mid \mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \alpha\}\）。 將 \（g（0） = 0\） 和 \（g（n+1）\） 定義為最小的 \（m \in K\），使得 \（\mathcal{O}（g（n）） < \mathcal{O}（m）\）。\（\omega_1^\text{CK}\） 的基本序列定義為 \（\omega_1^\text{CK}[n] = \mathcal{O}（g（n））\） 讓我們檢查一下我們如何定義 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{i_{\omega}}（n））\）。 假設有一個圖靈機的排序，使得 \（i_{\omega} = 1000\） 和索引為 \（1000\） 的圖靈機計算 \（2 \uparrow\uparrow n\）。然后 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{1000}（n）） = \mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow n） = 1+n\）。 假設圖靈機有另一個排序，使得 \（i_{\omega} = 969\） 和索引為 \（969\） 的圖靈機計算 \（2 \uparrow\uparrow （n-1）\）。然后 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{969}（n）） = \mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow （n-1）） = n\）。 因此，基本序列依賴于圖靈機的順序。 丘奇-克萊尼序數基本序列的前幾項 根據定義，\（\omega_1^\text{CK}[0] = 0\）。事實證明，由于 1 和 1 以來，圖靈機的任何枚舉下的 \（\omega_1^\text{CK}[1] = 2\） 和 \（\omega_2^\text{CK}[1] = 2\） 不能以 \（3 \cdot 5^n\） 的形式表示。但是，\（\omega_1^\text{CK}[3]\） 依賴于圖靈機的枚舉，因為 \（3 = 3 \cdot 5^0\）。例如，如果我們修復 \（f_0（n） = 2 \uparrow\uparrow n\），則 \（\omega_1^\text{CK}[3] = \omega\） 關于快速增長的層次結構\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）關于上述基本序列系統(tǒng)，有很多錯誤的信息。

語句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 是可計算的，因為快速增長的層次結構中的每個函數都是可計算的”

是錯誤的?？焖僭鲩L的層次結構中的函數不一定是可計算的，即使它與遞歸序數相關聯(lián)，而且 \（\omega_1^\text{CK}\） 不是遞歸的。

語句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 近似于繁忙的海貍函數，因為它們都是對角化可計算函數的不可計算函數”

是錯誤的。上述基本序列系統(tǒng)在很大程度上取決于圖靈機枚舉的選擇，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）的增長率也是如此。例如，眾所周知，如果選擇圖靈機的特定枚舉，則可以在 Wainer 層次結構中由 \（f_{\omega+3}\） 限定。是錯誤的。上述基本序列系統(tǒng)在很大程度上取決于圖靈機枚舉的選擇，圖靈機的增長率也是如此?至少，沒有已知的圖靈機枚舉，其中 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 近似于繁忙的海貍函數。

語句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 的增長速度比任何可計算函數都快，因為它對角化了快速增長的層次結構中的所有可計算函數”

是錯誤的。正如我們上面所解釋的，它可以在 Wainer 層次結構中由 \（f_{\omega+3}\） 限定。對角化有時會導致增長率下降。

語句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 由二階繁忙海貍函數限制，因為它可以被預言機圖靈機計算”

是錯誤的。對于圖靈機的特定非病理性枚舉，這種比較從未得到驗證。我們甚至不知道 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 是否受 \（\alpha\）-th 階繁忙海貍函數的邊界，對于低于 \（\omega_1^\text{CK}\） 的某個序數 \（\alpha\），或者對于圖靈機的非病理枚舉，因為沒有高達 \（\omega_1^\text{CK}\） 的符號可以被階數小于 \（\omega_1^\text{CK}\） 的高階預言機圖靈機計算。

也就是說，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 相對于圖靈機的非病理枚舉的增長率是未知的，因為最小序數 \（\alpha\） 使得 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 由 \（\alpha\）-th 階繁忙海貍函數限定是未知的。至少，如果一個給定的函數\（f\）與\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）無關，被驗證為比\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）增長得更快，那么它的增長速度通常比繁忙的海貍函數快得多，因為我們通常需要比高階預言機圖靈機更強大的工具來研究這樣的\（f\）。 然而，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）（相對于任何基本序列系統(tǒng)）在 Wainer 層次結構中必然至少與 \（f_\omega\） 一樣快，因為 \（\omega_1^\text{CK}\） 的基本序列是單調遞增的 “炎帝，你這么強大的話，要怎么去找能和你對打的人呢！” “這不在我的考慮范圍里，我只知道有強者，我就上！” “......” “這就是個武癡吧！” “這貨絕逼智商不高！” “噓！別讓他聽見了！要不然我們都得死！” .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. 下期預告......

橋夾克里夫 《神之一槍》 用這發(fā)子彈，宣告我的到來......