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NPV（凈現(xiàn)值）與IRR（內(nèi)部收益率）【轉(zhuǎn)載】

2023-03-23 14:32 作者:櫻殿下駕到 0人讀過(guò) | 我要投稿

????????在財(cái)務(wù)與金融分析中，NPV（凈現(xiàn)值）與IRR（內(nèi)部收益率）是經(jīng)常用到的兩個(gè)指標(biāo)。例如，在項(xiàng)目評(píng)估的過(guò)程中，我們會(huì)用到NPV（凈現(xiàn)值）與IRR（內(nèi)部收益率）來(lái)評(píng)估一個(gè)項(xiàng)目應(yīng)該是接受還是放棄。這兩個(gè)概率有如此巨大的用處，我們就來(lái)講解一下這兩個(gè)概念，算是向讀者普及一下財(cái)務(wù)與金融知識(shí)。文章的結(jié)構(gòu)如下所示：

一、貨幣的時(shí)間價(jià)值

????????我問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題，今天的一元錢(qián)和一年后的一元錢(qián)，是一樣的嗎？從數(shù)量上來(lái)看，它們當(dāng)然是一樣的，但是，如果我們從購(gòu)買(mǎi)力的角度來(lái)看，它們其實(shí)是不一樣的。在通常的情況下，今天的一元錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)力要大于一年后的一元錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)力。如果我們想使得一年后的一元錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)力和今天的一元錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)力相等，我們通常情況下必須在一年后多得到一些錢(qián)，也就是說(shuō)得到的錢(qián)要大于一元錢(qián)，這些多出來(lái)的錢(qián)其實(shí)就是利息。我們今天少消費(fèi)一元錢(qián)，多投資一元錢(qián)，就會(huì)在未來(lái)獲得一定的收益（利息），這個(gè)收益使得同樣金額的一筆錢(qián)，在不同的時(shí)點(diǎn)上，其購(gòu)買(mǎi)力其實(shí)是不一樣的，在通常的情況下，越早的錢(qián)會(huì)越值錢(qián)。好了，如果讓我們給貨幣的時(shí)間價(jià)值下一個(gè)定義的話，我覺(jué)得我會(huì)這么定義：因?yàn)樘峁┑慕疱X(qián)是會(huì)產(chǎn)生一定利息的，因此同樣金額的一筆錢(qián)，今天的錢(qián)要比明天的錢(qián)值錢(qián)。

二、現(xiàn)值（present value）與終值（future value）

????????講完了貨幣的時(shí)間價(jià)值這一個(gè)概念，我們現(xiàn)在再來(lái)引入一些新的名詞。前面，我們講到了貨幣的時(shí)間價(jià)值，知道了今天的一元錢(qián)和一年后的一元錢(qián)其實(shí)是不相等的，那么一年后的多少錢(qián)才能和今天的一元錢(qián)是相等的呢？一年后的錢(qián)是我們未來(lái)才能獲得的一筆錢(qián)，其實(shí)它就是終止（future value）；而今天的一元錢(qián)，它是我們現(xiàn)在就實(shí)實(shí)在在得到的一筆錢(qián)，這就是現(xiàn)值（present value）。在現(xiàn)值（present value）與終值（future value）之間其實(shí)存在關(guān)系，使得兩者是相等的，這個(gè)中間的橋梁其實(shí)就是利率（interest rate）。

????????如果我們的年化利率水平為10%的話，那么一年后的1.1（1*（1+10%））元錢(qián)其實(shí)就相當(dāng)于今天的一元錢(qián)。也就是說(shuō)，終值（future value）與現(xiàn)值（present value）之間的關(guān)系其實(shí)就是：。在這個(gè)式子中，F(xiàn)V是終值，PV是現(xiàn)值，R是年化利率水平，T是時(shí)間（用年來(lái)表示）。從這個(gè)式子，我們其實(shí)可以看出來(lái)，終值其實(shí)等于現(xiàn)值加上現(xiàn)值產(chǎn)生的利息。

????????在上面的分析中，我們其實(shí)用到了一個(gè)很重要的概念，那就是利率這一個(gè)概念。在終值（future value）與現(xiàn)值（present value）的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，我們可以看到利率是發(fā)揮了核心作用的。利率從構(gòu)成的角度來(lái)說(shuō)，它其實(shí)包含了兩個(gè)部分：一部分是名義的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（主要指沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期的通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)）水平，這一部分其實(shí)又可以分解成兩個(gè)部分，一部分是真實(shí)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（主要指沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)）水平，另一部分則是預(yù)期的通貨膨脹率；另一部分則是各類風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，包含了信用風(fēng)險(xiǎn)（主要指違約風(fēng)險(xiǎn)）溢價(jià)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、權(quán)益風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)等。如果我們用一個(gè)公式來(lái)表達(dá)的話，其實(shí)就是：。R表示的是名義的利率水平，Rf表示的是名義的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，risk premiums表示的則是各類風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。從對(duì)利率的理解的角度來(lái)看，我們可以從三個(gè)角度來(lái)去理解利率：第一個(gè)理解，也是最為通俗的理解，那就是利率就是一個(gè)要求回報(bào)率，是投資者投資某個(gè)項(xiàng)目，要求的最低回報(bào)率水平，這更多的是從現(xiàn)值到終值的角度來(lái)進(jìn)行考慮的；第二個(gè)理解，其實(shí)是第一種理解的逆過(guò)程，這一種理解是考慮在已經(jīng)知道了終值的情況下，我們?nèi)绾尾拍苤垃F(xiàn)值，其求解過(guò)程其實(shí)就是已知現(xiàn)值，求終值的逆運(yùn)算。而此時(shí)，利率其實(shí)也變成了折現(xiàn)率（discount rate）；第三種理解，其實(shí)是把利率理解成機(jī)會(huì)成本（opportunity cost），這一概念其實(shí)可以理解為在眾多的投資項(xiàng)目中，在投資者放棄的眾多的項(xiàng)目中，能夠給投資者帶來(lái)的最大的預(yù)期收益。

????????談到利率，我們就不得不提到單利（single interest）和復(fù)利（compounding interest）這兩個(gè)概念。單利呢，其實(shí)新產(chǎn)生的利息不計(jì)入本金中，初始的本金水平是多少，本金水平就一直是多少；復(fù)利呢，新產(chǎn)生的利息則是要計(jì)入本金中，本金的數(shù)額并不是一成不變的，而是在不斷增加的。我們來(lái)舉個(gè)例子說(shuō)明一下，假設(shè)年化的利率水平是10%，假定我們的投資期限是兩年，我們的初始投資額是100元錢(qián)。如果我們采用的是單利的計(jì)算方法的話，我們可以知道兩年后的回報(bào)是120元錢(qián)；如果我們采用的是復(fù)利的計(jì)算方法的話，我們可以知道兩年后的回報(bào)是121元錢(qián)。具體的計(jì)算過(guò)程如下圖所示：

????????在實(shí)際的應(yīng)用中，如果時(shí)間比較短的情況下，我們可能會(huì)采用單利的方式；如果時(shí)間比較長(zhǎng)的話，我們可能就會(huì)用到復(fù)利了。在時(shí)間很長(zhǎng)的情況下（例如幾年甚至幾十年的話），采用單利與采用復(fù)利得到的結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)很大的差異。如果時(shí)間比較短的話，單利和復(fù)利的結(jié)果相差就不是很大了。舉個(gè)例子，如果一年的年化利率是10%的話，那么采用單利的方法計(jì)算出來(lái)的半年的利率水平（未進(jìn)行年化）就是5%，而采用復(fù)利的方法計(jì)算出來(lái)的半年的利率水平就是4.880885%了。因?yàn)榘肽甑臅r(shí)間比較短，因此在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中我們通常會(huì)選擇5%而不是4.88%。

????????實(shí)際的年化利率水平其實(shí)有的時(shí)候會(huì)和聲稱的利率水平不太一樣，這主要是和利息在一年中的支付次數(shù)有關(guān)。實(shí)際的年化利率水平、聲稱的利率水平、利息支付次數(shù)之間的關(guān)系是：在這個(gè)式子中，R表示的是實(shí)際的年化利率水平，Rs表示的是聲稱的利率水平（也就是我們?cè)诠姘迳峡吹降哪昊仕剑?，n表示的是一年當(dāng)中的支付次數(shù)。我們來(lái)舉一個(gè)例子再來(lái)說(shuō)明一下，假設(shè)一年的聲稱利率水平是10%，如果是半年付一次息的話，那么實(shí)際的年化利率就是10.25%；如果是一個(gè)季度付息一次的話，那么我們可以得到實(shí)際的年化利率是10.381289%；如果是一個(gè)月付息一次的話，那么我們可以得到實(shí)際的年化利率是10.471307%。這樣的話，我們似乎會(huì)發(fā)現(xiàn)，利息的支付頻次越高，實(shí)際的利率水平就會(huì)越高。但是，如果我們具備一點(diǎn)微積分知識(shí)的話，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)際的利率水平其實(shí)是有一個(gè)極限的，在這個(gè)例子中，這個(gè)極限就是10.517092%。

三、現(xiàn)金流（cash flow）

????????在前面的內(nèi)容中，我們討論了現(xiàn)值、終值和利率，現(xiàn)在我們來(lái)討論一下現(xiàn)金流問(wèn)題。現(xiàn)金流，什么是現(xiàn)金流，現(xiàn)金流其實(shí)在未來(lái)發(fā)生的一定金額的貨幣的流入或流出。我們貸款進(jìn)行買(mǎi)房，每隔一段時(shí)間，我們都需要支付一筆錢(qián)給銀行，這其實(shí)就是現(xiàn)金流。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，現(xiàn)金流其實(shí)就是未來(lái)的一系列現(xiàn)金流入或流出。

????????現(xiàn)金流從支付的模式上來(lái)看，其實(shí)可以分為兩種：一種是期初模式（annuity due）和期末模式（ordinary annuity）兩種。期初模式是說(shuō)每筆現(xiàn)金流都發(fā)生在每一期的期初，期末模式則是說(shuō)每一筆現(xiàn)金流都發(fā)生的每一期的期末。在實(shí)際的應(yīng)用中，期末現(xiàn)金流的模式更為常見(jiàn)一些。這樣講，可能會(huì)有點(diǎn)抽像，我們來(lái)舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下：現(xiàn)在，你的老板打算獎(jiǎng)勵(lì)你一下，他許諾你在接下來(lái)的一年內(nèi)，每個(gè)季度你能收到2000元錢(qián)。你覺(jué)得只有到手的錢(qián)才是安全的，要求你的老板現(xiàn)在就給你一筆錢(qián)，問(wèn)你應(yīng)該向你的老板要多少錢(qián)？我們假設(shè)利率水平是10%。在這個(gè)例子中，我們并沒(méi)有提到2000元錢(qián)是在每個(gè)季度的期初還是期末支付的，因此，在不同的支付模式下，我們就能得到兩種不同的結(jié)果。如果老板在每個(gè)季度的末尾（期末模式）才支付給你這筆錢(qián)，那么你應(yīng)該一次性向老板要7524元錢(qián)；如果老板在每個(gè)季度的開(kāi)始（期初模式）才支付給你這筆錢(qián)，那么你應(yīng)該向老板一次性要7712元錢(qián)。具體的計(jì)算過(guò)程，如下圖所示：

????????當(dāng)然了，在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中，我們是不采用這種方式來(lái)解決的，我們通常會(huì)采用金融計(jì)算器或Excel表格來(lái)解決。關(guān)于它們的使用，我們會(huì)在后面的內(nèi)容中進(jìn)行介紹。通過(guò)這個(gè)例子，我想讀者應(yīng)該明白了所謂的現(xiàn)金流就是未來(lái)的一系列的現(xiàn)金流入與流出。這一筆現(xiàn)金流，它會(huì)等于一個(gè)現(xiàn)值，同樣的它也會(huì)等于一個(gè)終值。

????????現(xiàn)金流折現(xiàn)的方法，其實(shí)在金融產(chǎn)品的估值中發(fā)揮著重要作用。從絕對(duì)估值法的角度來(lái)講（現(xiàn)金流折現(xiàn)法），金融產(chǎn)品的價(jià)值其實(shí)就是未來(lái)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值之和。只不過(guò)，對(duì)于不同的金融產(chǎn)品而言，這個(gè)現(xiàn)金流和折現(xiàn)率可能有所不同罷了。

四、凈現(xiàn)值（NPV）與內(nèi)部收益率（IRR）

????????前面鋪墊了這么多，我們終于進(jìn)入正題了。在項(xiàng)目評(píng)估的過(guò)程中，凈現(xiàn)值是我們經(jīng)常使用到的一個(gè)概念。在考慮投資一個(gè)項(xiàng)目的過(guò)程中，我們需要在一開(kāi)始的時(shí)候，向這個(gè)項(xiàng)目里投入一大筆錢(qián)，在項(xiàng)目運(yùn)行的過(guò)程中，每隔一段時(shí)間（每一期的期末），這個(gè)項(xiàng)目又會(huì)給我們帶來(lái)一筆現(xiàn)金流入（收益）。我們對(duì)這些所有的未來(lái)的流入的現(xiàn)金，進(jìn)行折現(xiàn)，計(jì)算出現(xiàn)值之和，然后再減去初始的資金投入，就得到了凈現(xiàn)值。如果，我們用公式表示的話，就是：

????????在這個(gè)公式中，NPV是凈現(xiàn)值，CFi是每一期的現(xiàn)金流入，CF0是最初的資金投入，r是期間利率水平。我們來(lái)舉一個(gè)例子說(shuō)明一下：假設(shè)，你的公司打算投資一個(gè)項(xiàng)目，這個(gè)項(xiàng)目要求你的公司在最初的時(shí)候投入10000元，這個(gè)項(xiàng)目預(yù)計(jì)在接下來(lái)的5年內(nèi)，每年能給你帶來(lái)2500元的現(xiàn)金收入，假設(shè)折現(xiàn)率為5%，問(wèn)我們是否應(yīng)該接受這一個(gè)項(xiàng)目？

????????這其實(shí)在本質(zhì)上是讓我們?nèi)ビ?jì)算凈現(xiàn)值的，如果凈現(xiàn)值大于零，我們應(yīng)該接受；如果凈現(xiàn)值為零甚至小于零，那么我們應(yīng)該放棄這個(gè)項(xiàng)目。經(jīng)過(guò)計(jì)算，這個(gè)項(xiàng)目的凈現(xiàn)值是823.69元，因此我們可以接受這個(gè)項(xiàng)目。具體的計(jì)算過(guò)程如下所示：

????????與凈現(xiàn)值有緊密聯(lián)系的一個(gè)概念是內(nèi)部收益率（IRR）。內(nèi)部收益率其實(shí)是一個(gè)特殊的折現(xiàn)率，這一個(gè)折現(xiàn)率使得凈現(xiàn)值（NPV）等于零。用公式來(lái)表達(dá)的話，就是：

????????在上面的例子中，我們可以得到其內(nèi)部收益率（IRR）是7.93%。內(nèi)部收益率是沒(méi)有一個(gè)解析式解，也就是說(shuō)，我們無(wú)法采用一個(gè)公式將其計(jì)算出來(lái)。我們只能采用金融計(jì)算器等方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。采用內(nèi)部收益率（IRR）進(jìn)行項(xiàng)目評(píng)估的時(shí)候，如果內(nèi)部收益率大于當(dāng)前的折現(xiàn)率，那么其凈現(xiàn)值就會(huì)大于零，我們應(yīng)當(dāng)接受這一個(gè)項(xiàng)目；如果內(nèi)部收益率小于當(dāng)前的折現(xiàn)值，那么其凈現(xiàn)值就會(huì)小于零，我們應(yīng)該放棄這個(gè)項(xiàng)目。

????????凈現(xiàn)值（NPV）與內(nèi)部收益率（IRR）是兩個(gè)非常重要的概念，那么我們?cè)撊绾斡?jì)算呢？我們可以發(fā)現(xiàn)，凈現(xiàn)值（NPV）其實(shí)是可以手動(dòng)計(jì)算的，但是內(nèi)部收益率（IRR）就不可以了。在實(shí)際的應(yīng)用中，凈現(xiàn)值（NPV）與內(nèi)部收益率（IRR）我們主要采用金融計(jì)算器與Excel表格等方法來(lái)計(jì)算。

這里我們只介紹一下excel表格法：

????????首先，介紹的是NPV的計(jì)算。我們給出三種計(jì)算方式。

????????????第一種：我們首先計(jì)算出現(xiàn)值，然后進(jìn)行加總求和。

????????????????第二種，我們采用PV函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

????????????????第三種，我們采用NPV函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

????????在Excel當(dāng)中，PV函數(shù)與NPV函數(shù)都可以用來(lái)計(jì)算，凈現(xiàn)值與現(xiàn)值，那么他們兩個(gè)有什么區(qū)別嗎？區(qū)別就在于PV函數(shù)只能計(jì)算等額現(xiàn)金流，而NPV函數(shù)則可以用來(lái)計(jì)算非等額現(xiàn)金流。我們下面，就用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下。

????????在上面的例子中，我們可以看到。每一年的現(xiàn)金流入都是非等額的，在這種情況下，我們就不能使用PV函數(shù)了，而只能使用NPV函數(shù)了。

????????介紹完了NPV（凈現(xiàn)值）的計(jì)算，我們?cè)摻榻B一下IRR的計(jì)算了。使用Excel計(jì)算IRR比較簡(jiǎn)單，我們直接采用IRR函數(shù)就可以了。我們用個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下。

????????可以看到，使用Excel計(jì)算內(nèi)部收益率是比較簡(jiǎn)單的一件事情。不過(guò)，對(duì)于一筆現(xiàn)金流來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)IRR呢？只有一個(gè)還是有可能有多個(gè)呢？

????????在實(shí)際的應(yīng)用中，IRR可能不止有一個(gè)，而是有可能有多個(gè)。準(zhǔn)確地來(lái)講，IRR可能有多個(gè)，也有可能只有一個(gè)，還有可能一個(gè)都沒(méi)有。這些都是IRR的一些缺陷。但是，在我們的常規(guī)現(xiàn)金流中（也就是初始的資本投入為現(xiàn)金流出，以后的年份都是現(xiàn)金流入），IRR通常還是只有一個(gè)的。

五、NPV（凈現(xiàn)值）與IRR（內(nèi)部收益率）的應(yīng)用

????????前面介紹了那么多的理論知識(shí)，我覺(jué)得最重要的還是一個(gè)理論應(yīng)用的問(wèn)題。我們會(huì)給出兩道例題，來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。一道是關(guān)于NPV（凈現(xiàn)值）的計(jì)算的，另一個(gè)是關(guān)于IRR（內(nèi)部收益率）的。

????????第一道問(wèn)題，你的消費(fèi)額應(yīng)該是多少？假設(shè)你從25歲開(kāi)始工作，一直工作到65歲退休，一年的工資是60000元錢(qián)。在預(yù)期壽命方面，你預(yù)計(jì)你能活到85歲。你在25歲工作的時(shí)候，沒(méi)有從家庭那里繼承任何家產(chǎn)，你也不打算留任何家產(chǎn)給子孫后代。你期望退休前后的消費(fèi)支出保持不變，假設(shè)折現(xiàn)率為5%，你認(rèn)為你每年的消費(fèi)額應(yīng)該是多少？

????????這一道問(wèn)題，我們應(yīng)該如何做呢？根據(jù)題意我們可以知道所有的收入的現(xiàn)值之和應(yīng)該等于消費(fèi)的現(xiàn)值之和，根據(jù)這一原則，我們可以計(jì)算得出每年的消費(fèi)額應(yīng)當(dāng)是54389元。具體的計(jì)算過(guò)程用Excel表格表示如下：