Python金融應(yīng)用編程:衍生品定價(jià)和套期保值的隨機(jī)過程
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隨機(jī)過程對(duì)定量融資的許多方面都很有用，包括但不限于衍生品定價(jià)，風(fēng)險(xiǎn)管理和投資管理。這些應(yīng)用程序?qū)⒃诒疚暮竺孢M(jìn)一步詳細(xì)討論。本節(jié)介紹了量化融資中使用的一些流行的隨機(jī)過程及其在Python中的實(shí)現(xiàn)。
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模型參數(shù)
模型參數(shù)類包含以下隨機(jī)過程使用的所有參數(shù)。為了便于理解，這些參數(shù)的前綴是它們所用的隨機(jī)過程的名稱。隨機(jī)過程的校準(zhǔn)將涉及尋找與某些歷史數(shù)據(jù)相符的參數(shù)值。
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繪制結(jié)果圖
下面的代碼使用Matplotlib來繪制一組隨機(jī)過程。
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布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程
布朗運(yùn)動(dòng)?是由懸浮在氣體或液體中的顆粒表現(xiàn)出的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。這種隨機(jī)運(yùn)動(dòng)是由顆粒與液體或氣體中的原子或分子碰撞引起的。布朗運(yùn)動(dòng)以植物學(xué)家羅伯特·布朗的名字命名，他觀察了1827年的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。?
在實(shí)踐中，布朗運(yùn)動(dòng)不用于模擬資產(chǎn)價(jià)格。我已將其包含在內(nèi)，因?yàn)樗潜疚闹杏懻摰拿總€(gè)其他隨機(jī)過程的基礎(chǔ)。
def plot_stochastic_processes(processes, title):"""此方法繪制具有指定標(biāo)題的隨機(jī)過程列表???? ：return：繪制兩個(gè)圖"""plt.style.use(['bmh'])fig, ax = plt.subplots(1)fig.suptitle(title, fontsize=16)ax.set_xlabel('Time, t')ax.set_ylabel('Simulated Asset Price')x_axis = numpy.arange(0, len(processes[0]), 1)for i in range(len(processes)):plt.plot(x_axis, processes[i])plt.show()
以下是此方法生成的輸出示例。
import mathimport numpyimport randomimport decimalimport scipy.linalgimport numpy.random as nrandimport matplotlib.pyplot as pltdef brownian_motion_log_returns(param):sqrt_delta_sigma = math.sqrt(param.all_delta) * param.all_sigmareturn nrand.normal(loc=0, scale=sqrt_delta_sigma, size=param.all_time)def brownian_motion_levels(param):return convert_to_prices(param, brownian_motion_log_returns(param))
使用布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程模擬資產(chǎn)價(jià)格:5條路徑
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使用布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程模擬資產(chǎn)價(jià)格:500條路徑
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幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程
幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）由費(fèi)舍爾布萊克和邁倫斯科爾斯推廣，他們?cè)?973年的論文“期權(quán)定價(jià)和公司負(fù)債”中使用它來推導(dǎo)出Black Scholes方程。幾何布朗運(yùn)動(dòng)基本上是布朗運(yùn)動(dòng)，具有漂移分量和波動(dòng)率分量。
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其中是資產(chǎn)價(jià)格S在時(shí)間t的變化?;?μ是每年預(yù)期的百分比漂移，dt代表時(shí)間，σ是資產(chǎn)價(jià)格中預(yù)期的每日波動(dòng)率，Wt是Wiener過程，也稱為布朗運(yùn)動(dòng)。如下所示，布朗運(yùn)動(dòng)代碼用于幾何布朗運(yùn)動(dòng)方法以構(gòu)造Wt的序列。
以下是此方法生成的輸出示例。請(qǐng)注意，平均而言，生成的路徑隨著時(shí)間的推移而向上漂移，并且可能的結(jié)束價(jià)格變化較大。在這個(gè)例子中，路徑以每年14％的平均速率增長，因此預(yù)期回報(bào)率等于14％，分別為三年和一年（800天）。
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使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程模擬資產(chǎn)價(jià)格。
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Merton跳躍擴(kuò)散隨機(jī)過程
Robert C. Merton是最早解決Fisher Black和Myron Scholes提出的幾何布朗隨機(jī)過程中一些局限性的學(xué)者之一。1997年，默頓和斯科爾斯因其工作獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。
其中是具有速率泊松過程λ和?我是如下的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。
請(qǐng)注意，由于跳躍擴(kuò)散過程引入了向下的不連續(xù)或跳躍，因此資產(chǎn)的平均預(yù)期收益率略低。
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使用默頓跳躍擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程模擬資產(chǎn)價(jià)格。
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Heston隨機(jī)波動(dòng)率過程
原始的幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程假設(shè)隨時(shí)間的波動(dòng)是恒定的。在1990年代早期，Steven Heston放寬了這個(gè)假設(shè)，并將幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型擴(kuò)展到包括隨機(jī)波動(dòng)率。?
請(qǐng)注意，隨著時(shí)間的推移，資產(chǎn)價(jià)格會(huì)變得更加不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致潛在資產(chǎn)價(jià)格在預(yù)測(cè)結(jié)束時(shí)飆升。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)槲覍㈤L期平均波動(dòng)率設(shè)定為遠(yuǎn)高于起始波動(dòng)率的數(shù)字。
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使用Heston隨機(jī)波動(dòng)率幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程模擬資產(chǎn)價(jià)格。
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COX INGERSOLL ROSS隨機(jī)過程
在COX INGERSOLL ROSS（CIR）?隨機(jī)過程是用來描述一段時(shí)間的利率變化。
?其中是Wiener過程，a是過程均值恢復(fù)的速率（較大的數(shù)字導(dǎo)致更快的均值回復(fù)過程），b是長期平均利率，σ是過程的波動(dòng)率。CIR隨機(jī)過程如下。?
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利用Cox Ingersoll Ross均值回歸隨機(jī)過程模擬利率。
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ORNSTEIN-UHLENBECK隨機(jī)過程
Ornstein Uhlenbeck過程以Leonard Ornstein和George Eugene Uhlenbeck命名。Ornstein Uhlenbeck隨機(jī)過程與CIR過程之間的區(qū)別在于CIR過程將隨機(jī)分量乘以前一個(gè)利率值的平方根。?
?其中是Wiener過程，a是過程均值恢復(fù)的速率（較大的數(shù)字導(dǎo)致更快的均值回復(fù)過程），b是長期平均利率，σ是過程的波動(dòng)率。?
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利用Ornstein Uhlenbeck均值回歸隨機(jī)過程模擬利率。
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衍生品定價(jià)和套期保值的隨機(jī)過程
隨機(jī)過程在量化金融中的最大應(yīng)用是衍生品定價(jià)。
當(dāng)對(duì)衍生品進(jìn)行定價(jià)時(shí)，大多數(shù)量子將使用兩種方法中的一種。他們要么為他們定價(jià)的衍生物解決（或找到解決方案）Black Scholes模型，要么他們將使用模擬方法來估計(jì)導(dǎo)數(shù)的值。這兩種技術(shù)都嚴(yán)重依賴于使用隨機(jī)過程來模擬底層證券。
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衍生定價(jià)方法一?Black Schole
Black Scholes模型用于在一組假設(shè)下對(duì)特定類型的衍生品合約進(jìn)行定價(jià)。這些假設(shè)包括：（1）存在無風(fēng)險(xiǎn)利率，任何金額可以借入或借出，（2）基礎(chǔ)價(jià)格根據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)過程（稍后討論），（3）進(jìn)化基礎(chǔ)不支付股息，（4）市場(chǎng)上沒有套利機(jī)會(huì)，（5）市場(chǎng)無摩擦意味著交易成本為零，（6）可以買入或減去任何數(shù)量的潛在的。?
在這些假設(shè)下，可以導(dǎo)出著名的Black Scholes偏微分方程。?
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Black Scholes公式以及各種封閉形式期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)，是過去三十年中衍生品交易所大量增長的主要原因。
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導(dǎo)數(shù)定價(jià)?方法二 - 模擬方法
鑒于Black Scholes公式隱含的局限性和假設(shè)，通常采用蒙特卡羅方法（模擬）來為更少的簡化假設(shè)。
這兩個(gè)選項(xiàng)在計(jì)算復(fù)雜性和時(shí)間之間進(jìn)行權(quán)衡。每次想要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，使用模擬方法計(jì)算復(fù)雜度更高，但是為替代隨機(jī)過程推導(dǎo)Black Scholes偏微分方程的“等價(jià)”更加耗時(shí)，然后仍然找到封閉形式的衍生品定價(jià)式。因此，大多數(shù)量子使用模擬方法。
想要這樣做的原因如下圖所示。事實(shí)上，你如何選擇和校準(zhǔn)你的隨機(jī)過程將對(duì)期權(quán)的預(yù)期收益產(chǎn)生重大影響，因此它的價(jià)值也是如此。
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紅色橢圓形顯示市場(chǎng)跳躍的位置 。
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使用衍生工具進(jìn)行套期保值
套期保值是風(fēng)險(xiǎn)管理戰(zhàn)略，旨在減少的量可對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)的投資組合暴露?？蓪?duì)沖風(fēng)險(xiǎn)包括股票風(fēng)險(xiǎn)，利率風(fēng)險(xiǎn)，貨幣風(fēng)險(xiǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)，波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)和商品風(fēng)險(xiǎn)。套期保值是通過投資與投資組合中的基礎(chǔ)負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)來完成的。最簡單的例子是在股票上買入看跌期權(quán)。當(dāng)股票表現(xiàn)不佳時(shí)，看跌期權(quán)表現(xiàn)良好，而整體投資組合并沒有像沒有對(duì)沖時(shí)那樣糟糕。凈效應(yīng)是抑制回報(bào)或下降。
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公司和基金將嘗試確定投資組合所面臨的風(fēng)險(xiǎn)因素并對(duì)沖這些風(fēng)險(xiǎn)因素。
除了我上面提到的問題之外，還有一些額外的“現(xiàn)實(shí)世界”問題。一個(gè)例子是一般成本和套期保值程序的復(fù)雜性（套期保值可能非常昂貴）。對(duì)于組織而言，問題在于，在出現(xiàn)不利損失的情況下，對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)或僅僅保留更多資本是否更便宜。近年來，諸如Solvency II和Basel III等法規(guī)要求銀行，對(duì)沖基金和保險(xiǎn)公司預(yù)留更多資金來支持其投資組合。儲(chǔ)備通常保留在高流動(dòng)性證券中，預(yù)期收益很低，如國庫券。
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結(jié)論
隨機(jī)過程對(duì)于描述我們周圍世界中發(fā)現(xiàn)的隨機(jī)過程非常有用。它們用于工程，遺傳學(xué)，物理學(xué)和定量金融。數(shù)量使用隨機(jī)過程來預(yù)測(cè)市場(chǎng)可能的回報(bào)和利率隨時(shí)間的變化。隨機(jī)過程通常與蒙特卡羅方法結(jié)合使用，以得出非處方衍生工具的公允價(jià)值。
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非常感謝您閱讀本文，有任何問題請(qǐng)?jiān)谙旅媪粞裕?/h1>
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