基礎(chǔ)介紹

????????學(xué)名：碳60

????????俗名：足球烯，富勒烯

????????分子式：

????????分子結(jié)構(gòu)：

????????相對(duì)分子質(zhì)量：

????????晶體類型：分子晶體

????????Q：足球（烯）中有多少個(gè)五邊形，多少個(gè)六邊形？

????????A：

????????設(shè)五邊形個(gè)，六邊形個(gè)，條邊，個(gè)頂點(diǎn)（當(dāng)然可以認(rèn)為已知，也可以認(rèn)為未知）。

????????首先，每個(gè)五邊形有條邊，每個(gè)六邊形有條邊，每條邊被個(gè)圖形共用，因此有

????????其次，每個(gè)五邊形有個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)六邊形有個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)被個(gè)圖形共用，因此有

????????每個(gè)五邊形與個(gè)六邊形相鄰，每個(gè)六邊形與個(gè)五邊形相鄰，即每個(gè)五邊形占用個(gè)六邊形，據(jù)此容易得到

????????當(dāng)然從以上條件已經(jīng)可以解出

????????這當(dāng)然是正確的，但我們不止于此。

? ? ? ? ## 文中推導(dǎo)面數(shù)的方程可能不止這幾個(gè)，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。

????????這里隱藏了一個(gè)等式。

????????不妨記面數(shù)，于是有

????????該式為著名的拓?fù)鋵W(xué)歐拉公式。

????????下面列出常見(jiàn)圖形的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)，以驗(yàn)證該公式。

?? ? ? ?對(duì)于該式的證明有許多，這里給出一個(gè)便于理解的通行版本。

????????簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，

????????如圖是一個(gè)多面體（此處以四面體為例）。

????????容易得到，

????????現(xiàn)將該多面體壓扁成一個(gè)平面。

????????容易發(fā)現(xiàn)面、頂點(diǎn)和棱的數(shù)目均不會(huì)發(fā)生變化。

????????然后我們開(kāi)始去棱。

? ? ? ? 可以看出，去掉第一條棱后，同時(shí)也少了一個(gè)面，則所要證明的結(jié)論不變。

????????同理，去掉余下的棱，直至只剩下一個(gè)面。

????????然后我們開(kāi)始去頂點(diǎn)。

????????可以看出，去掉第一個(gè)頂點(diǎn)后，同時(shí)也少了一條棱，則所要證明的結(jié)論不變。

????????同理，去掉余下的頂點(diǎn)，直至只剩下一個(gè)頂點(diǎn)。

????????于是乎，剩余一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)面，歐拉公式成立。

????????詳細(xì)的動(dòng)圖參考下面的視頻鏈接。

????????有關(guān)廣義歐拉公式等拓展內(nèi)容，可參考下面的視頻。

????????拓?fù)鋵W(xué)歐拉公式是圖論的重要內(nèi)容。

不得不提另一個(gè)類似的定理

皮克定理：

????對(duì)于格點(diǎn)多邊形，有：

????其中n表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，s表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積。

驗(yàn)證與證明

????????先證矩形。

????????如圖1，我們有

????????如圖2，我們有

????????如圖3，我們有

????????從中得到啟發(fā)：

????????????對(duì)于任意矩形，皮克定理成立。

????????事實(shí)上，對(duì)任意矩形，我們都有

????????再證直角三角形。

????????如圖4，我們有

????????從中得到啟發(fā)：

????????????對(duì)于任意直角三角形，皮克定理成立。

????????事實(shí)上，對(duì)任意直角三角形，我們都有

????????我們并不知道處為多少，但是我們知道兩個(gè)直角三角形可以拼成一個(gè)矩形。

????????假設(shè)直角三角形三邊上（不含端點(diǎn)）各有個(gè)點(diǎn)在格點(diǎn)上，內(nèi)部有個(gè)格點(diǎn)，這里對(duì)應(yīng)的是斜邊（不含端點(diǎn)）上的格點(diǎn)數(shù)。

????????顯然有

????????對(duì)于矩形而言，有

????????根據(jù)定義有

????????代入得

????## 當(dāng)然可加性可以直接得出

????????最后證任意三角形。

????????如圖5，我們有

? ? ? ? 從中得到啟發(fā)：

????????????對(duì)于任意三角形，皮克定理成立。

?? ? ? ?當(dāng)然，這可以根據(jù)直角三角形可加性直接得出。

????????關(guān)于可加性的詳細(xì)證明可以看下一部分。

????????紛紛擾擾這么多，說(shuō)到頭是一個(gè)可加性。

????????把任意格點(diǎn)多邊形分割為格點(diǎn)三角形，等價(jià)于用格點(diǎn)三角形拼接為格點(diǎn)多邊形。

????????讓我們看一看格點(diǎn)多邊形拼接時(shí)的情況。

????????我們發(fā)現(xiàn)：

????????????黑點(diǎn)的地位從邊界上的點(diǎn)變?yōu)榱藘?nèi)部的點(diǎn)，計(jì)算權(quán)重也變?yōu)榱嗽瓉?lái)的兩倍（這個(gè)2來(lái)源于公式）。

????????????藍(lán)點(diǎn)、粉點(diǎn)的地位不變，計(jì)算權(quán)重不變。

????????????灰點(diǎn)的地位不變，計(jì)算權(quán)重卻變?yōu)榱嗽瓉?lái)的兩倍（這個(gè)2來(lái)源于計(jì)算了兩次），即多加了兩次一半，多加了1

????????因此，公式末尾的減去1是合理的，這使得皮克定理具備了可加性。

????????綜上所述，對(duì)于任意格點(diǎn)圖形，皮克定理成立。

????????同時(shí)，這表明皮克定理適用的范圍不包含包含“洞”的圖形，比如說(shuō)：

????????讀者可自行驗(yàn)證。