大家好，我是大老李，今天跟大家聊一個常數(shù)：費根鮑姆（第一）常數(shù)。這個常數(shù)是以其發(fā)現(xiàn)者美國數(shù)學(xué)家：米切爾·費根鮑姆命名的。費根鮑姆于不久前，2019年6月30日去世，享年75歲，因此本期節(jié)目也算一個小小的紀(jì)念。

要理解費根鮑姆常數(shù)，我們需要從了解一個生物種群數(shù)量變動模型開始。很關(guān)心，科學(xué)家就很關(guān)心生物種群數(shù)量的變動模型問題。因為包括我們?nèi)祟惐旧硪彩且环N生物種群，人類未來人口數(shù)量是增加還是減少，如何變動，當(dāng)然是一個非常重要的問題。

1845年，比利時數(shù)學(xué)家皮埃爾·弗朗索瓦·韋呂勒（Pierre Fran?ois Verhulst，1904-1849）提出了這樣一個人口變動模型：他假設(shè)地球或者一個特定的相對封閉的生物群落，存在一個理想的人口數(shù)量，稱其為“可維持人口數(shù)”。一旦人口超過這個數(shù)量，那么由于資源的匱乏和緊張，人口就要減少。如果人口低于這個可維持人口數(shù)，則因為資源充裕，人口就會增加。

另外，人口的變化當(dāng)然還與平均生育率或者說繁殖率相關(guān)。韋呂勒提出了這么一個公式：如果把“當(dāng)前人口數(shù)/可維持人口數(shù)”這個比值記為x，繁殖率記為r，則：

。

可以看出，如果當(dāng)前人口超過可維持人口，那么x就會大于1， 以上公式的取值就會小于0，也就是人口會減少。如果比值小于1，則人口增加。

以上這個模型看上去是有點道理，不過這個模型在生物學(xué)上是否有用，有何意義對今天節(jié)目來說是完全無關(guān)緊要的。我們只需要知道有這個模型。

韋呂勒把以上的人口變動模型公式命名為：Logistic Map。這個名字是有點讓人迷惑的，Map是映射的意思，Logistic字典里說是后勤保障的意思。那Logistic Map就是“后勤映射”？這個翻譯聽上去太奇怪了。有道詞典上給這個Logistic Ma的翻譯是“邏輯斯諦映射”，這個翻譯太糟糕了，翻譯了等于沒翻譯。

維基百科上給了一個翻譯叫“單峰映射”，這個翻譯好一點。但這個翻譯是從曲線形狀來的，因為

是一個二次函數(shù)，二次函數(shù)在圖像上一般只有一個最大或最小值，圖像上就是”一座峰“，所以叫單峰映射。

但這個翻譯完全與英文原文無關(guān)了。大老李考證了一下Logistic Map名稱的來歷，終于發(fā)現(xiàn)維基百科上有注釋原來這個Logsitic其實是來自于法語中的Logistique一詞，因為韋呂勒是比利時人，比利時的官方語言之一是法語。而法語中的的Logistique一詞，又是來源于古希臘語中的同根詞，在古希臘語中，這個詞有“居住，住宿的意思“，比如，英語里有l(wèi)ogding一詞，就是來源同一詞源。

既然與“居住”，“住宿“有關(guān)，那么Logistic Map以下我就翻譯為”生存空間映射”了。以上有點扯遠(yuǎn)，但是考證一下這個詞的意思還是挺有意思的，看來不光是中國人看不懂，英語為母語的人也沒太搞懂韋呂勒發(fā)明的這個術(shù)語。

接下來要聊聊費根鮑姆了。費根鮑姆1944年生于美國費城，父母是分別來自波蘭和烏克蘭的猶太裔移民。少年時代的費根鮑姆對電氣工程很感興趣，曾希望成為電氣工程師，因此他選擇進(jìn)入紐約城市大學(xué)的電氣工程專業(yè)學(xué)習(xí)。但他后來才發(fā)現(xiàn)收音機(jī)中用到的知識只是物理理論里很小的一部分。

因此，他從紐約城市大學(xué)畢業(yè)后，考入了麻省理工大學(xué)攻讀物理博士學(xué)位。1970年，26歲的費根鮑姆取得了物理學(xué)的博士學(xué)位。1974年，他進(jìn)入洛斯阿拉莫斯實驗室，成為一個專職研究員，當(dāng)時他的研究領(lǐng)域是流體中的湍流現(xiàn)象。盡管完整的湍流理論至今還有待建立，但是這方面的研究使他接觸到了“混沌映射”（chaotic map）理論，這在當(dāng)時還屬于新興研究領(lǐng)域。

而之前提到的“生存空間映射”就是“混沌映射”的一種，費根鮑姆開始考慮這樣一個問題：“生存空間映射”中，如果給定一個固定的繁殖率參數(shù)r，取不同的x，進(jìn)行反復(fù)迭代，將上一次的計算結(jié)果，作為下一次的參數(shù)x進(jìn)行計算，那么最終結(jié)果會如何? 是否x會變?yōu)?，也就是物種滅絕，還是出現(xiàn)某種循環(huán)狀態(tài)等等？

雖然這個問題用現(xiàn)在的個人電腦可以輕易地編寫出程序，很快地對各種可能參數(shù)進(jìn)行模擬，但1970年代的計算機(jī)還非常昂貴，不是你想用就能用的。所以費根鮑姆就搞來了一臺當(dāng)時很時髦的HP-65計算器(也是之前節(jié)目中提到過，康威用來計算大魔群用的計算器)，手動開始進(jìn)行”生存空間映射”的模擬計算。

各位聽眾如果手頭有一臺科學(xué)計算器，那么你大可以拿出計算器，感受下這一計算過程。 現(xiàn)在，我們的目標(biāo)是考察“生存空間映射”：

在不同的r值下，反復(fù)迭代后的最終表現(xiàn)。

那我們先隨便取一個繁殖率參數(shù)r的值，比如0.6，x的初值含義是當(dāng)前人口除以“可維持人口”的比值。但在我們這個純數(shù)學(xué)討論中，這個值可以取任何值。且好在費根鮑姆已經(jīng)幫我們計算過了，我們知道最終的結(jié)論是對絕大多數(shù)r，x初值并不重要，最終還是會回歸到某種穩(wěn)定情況。所以，我推薦各位x的初值就取0.5，這樣你可以比較快得看到收斂。

那么我們把r=0.6，x=0.5代入，得：

因為要計算迭代過程，所以我們把上一次計算的結(jié)果0.15代入公式，計算下一代的人口變化，也就是計算:

那么之前我們得到最新值是0.0765，當(dāng)你把這個值繼續(xù)作為x代入，不斷反復(fù)迭代計算后，你會發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果越來越小，直到超過計算器的指數(shù)存儲上限，計算器最終會顯示0。

所以，我們知道，當(dāng)繁殖率參數(shù)為0.6是，種群最終消亡了。但這只是繁殖率為0.6的情況，費根鮑姆嘗試了非常多的r值，以及不同初始x值的組合，最終有了驚人發(fā)現(xiàn)。在節(jié)目里，我就不對其他數(shù)字做具體說明了，只簡單匯報下，不同的繁殖率參數(shù)產(chǎn)生的不同結(jié)果。

首先，當(dāng)繁殖率參數(shù)在0到1之間時，種群數(shù)量最終趨向于0。這是符合直覺的，因為繁殖率太低了。

當(dāng)繁殖率在1到2之間時，物種就不滅絕了，而是最終穩(wěn)定在

這個值上，且不依賴于x初值。比如當(dāng)r=1.5時，x會穩(wěn)定在?，即種群數(shù)量穩(wěn)定在單個數(shù)值上。這一點請各位用計算器自行驗證。

當(dāng)繁殖率在2-3之間時，x最終仍然穩(wěn)定在

這個值上，但這次，在收斂到這個終值前，函數(shù)值會在這個收斂值的上下擺動很長一段時間，尤其是當(dāng)r=3的時候。也就是，你計算器要按非常非常多的時間。我自己嘗試了一下，當(dāng)r=3時，理論上映射應(yīng)該穩(wěn)定在

這個值上。但我計算器迭代了上百次，按到手指酸了，仍然沒有穩(wěn)定在這個值上，雖然是越來越接近了，但收斂非常緩慢。這很有意思，雖然r在1到2，和2到3，映射的收斂情況是一樣的，但是收斂速度相差非常大。

當(dāng)繁殖率在3到約3.44949之間時，幾乎所有的x初值都能使函數(shù)最終穩(wěn)定在兩個值之間的震蕩狀態(tài)中，也就是A-B-A-B，來回擺動。而A,B的值是與繁殖率相關(guān)的。

當(dāng)繁殖率在3.44949到3.54409時，最終的結(jié)果是在四個數(shù)字中來回震蕩了。

而當(dāng)繁殖率3.54409到3.56695這樣一個狹小范圍內(nèi)，你也許能猜到，函數(shù)值會在不同位置，在8個，16，32個等等數(shù)字之間來回震蕩。

而當(dāng)r等約于3.56695時，這個位置是一個混沌起始點。不管初值如何，都無法觀察到函數(shù)最終穩(wěn)定在有限的幾個數(shù)字上。而且微小的初值變化，可以使最終結(jié)果發(fā)生巨大的不同。

當(dāng)r大于3.56695時，情況類似，幾乎都是混沌局域。但是神奇的時，還是會有那么一些不怎么混沌的區(qū)域，比如

附近。當(dāng)r在這個值附近是，函數(shù)又會出現(xiàn)周期性的震蕩，而且這次是在三個值之間震蕩。

附近的這個范圍現(xiàn)在就被稱為“穩(wěn)定島”(stable island)，因為它是在一大片混沌區(qū)域中，相對安全的一個“島嶼”。

以上大致介紹了一下，不同的繁殖率r值時，“生存空間”映射迭代后的最終表現(xiàn)，總結(jié)就是從很有規(guī)律的收斂到1個值，到逐漸復(fù)雜，變?yōu)樵?個，4個，8個值之間來回震蕩等等，再到混沌。到混沌之后，又出現(xiàn)了神奇的一小片一小片的“穩(wěn)定島”。

以上我說的簡單，但是要在計算器上按出這些結(jié)果，不但需要毅力而且需要很強(qiáng)大的觀察力和想象力。費根鮑姆當(dāng)初就在思考，這些結(jié)果到底有什么含義呢？能否用根直觀的方法體現(xiàn)出來？

確實有，費根鮑姆想到了用坐標(biāo)圖來使以上結(jié)果“可視化”。最終畫出的這幅圖現(xiàn)在被稱為“分叉圖”（Bifurcation diagram），它幾乎會出現(xiàn)在每一本講述混沌理論的書。這幅圖我也放在了節(jié)目介紹里：

這幅圖是這樣解讀的：橫坐標(biāo)是繁殖率參數(shù)r，縱坐標(biāo)是x。如果對某個r，最終x穩(wěn)定在單個值上，那么就在對應(yīng)的(r,x)位置畫一點。如果是在兩個值a,b之間震蕩，則就在圖中對(r,a)和(r,b)兩個點畫上顏色，依此類推。那么整幅圖中，如果某區(qū)域點比較多，顏色比較深，就是x在非常多的值之間震蕩或者混沌的區(qū)域。而顏色比較淺的區(qū)域，就是比較有規(guī)律，不怎么混沌的區(qū)域。所以在這幅圖中，你可以清晰的看到在r=3之后，函數(shù)值開始在兩個值之間震蕩，在3.44949位置，分為4個叉等等。而右邊比深色區(qū)域中的狹長淺色區(qū)域就是“穩(wěn)定島”。

這幅圖非常直觀，但還沒完，費根鮑姆還觀察到，圖上映射圖像發(fā)生分叉的位置，也就是1分2，2分4，4分8的位置是有規(guī)律的。這個規(guī)律就是前兩次分叉之間的距離除以后兩次分叉之間的距離的比值極限約為常數(shù)4.6692…。

(上圖：費根鮑姆（第一）常數(shù)的定義，

是第n次分叉發(fā)生位置的橫坐標(biāo))

而這個4.6692的比值，就是這就是費根鮑姆常數(shù)！1975年，費根鮑姆發(fā)現(xiàn)了這個常數(shù)。1986年，費根鮑姆獲得了物理學(xué)的沃爾夫獎。此后，費根鮑姆也在多個數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域作出了貢獻(xiàn)。

洛克菲勒大學(xué)教授，費根鮑姆的密切合作者和好友Eric D Siggia回憶費根鮑姆說：“Mitchell Feigenbaum是一位具有偉大創(chuàng)意和博學(xué)的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，他給那些遇見他的人留下了難忘的印象… 盡管他對非線性動力學(xué)的研究做出了最為深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)，但他的獨特觀察能力使他能夠轉(zhuǎn)向引人注目的非常規(guī)主題 - 制圖，反假冒，天文學(xué)，光學(xué)，視覺，藝術(shù)，哲學(xué)等等?！?/p>

費根鮑姆常數(shù)發(fā)現(xiàn)至今已44年。雖然猜測它是超越數(shù)，但是至今未能證明。另外也有人考察是否能用已知常數(shù)表示費根鮑姆常數(shù)。就像很早之前，人們就知道自然數(shù)的平方倒數(shù)和約等于1.64等等，但直到歐拉的發(fā)現(xiàn)，人們才知道這其實就是

。

對費根鮑姆常數(shù)，有一個很有意思也很神秘的近似值：

它可以與費根鮑姆常數(shù)吻合到小數(shù)點后6位，但可惜不是精確吻合。所以這個式子有沒有意義就不知道了。

另外費根鮑姆常數(shù)并不僅僅出現(xiàn)在“生存空間”映射中。數(shù)學(xué)家還研究了其他的一些映射，比如復(fù)數(shù)平面上的的

，

等等。這些二維平面下的映射，根據(jù)不同的c值，也會出現(xiàn)從規(guī)律性的震蕩到混沌的現(xiàn)象，而且從這些映射的分叉圖中，也觀察到了費根鮑姆常數(shù)，由此證明了費根鮑姆常數(shù)的在混沌現(xiàn)象中的普適作用，這凸顯了這個常數(shù)在混沌領(lǐng)域中重要性。

以上，差不多粗淺介紹了費根鮑姆常數(shù)的來歷，它是確實是一個按計算器按出來的常數(shù)。費根鮑姆曾說，正是在反復(fù)按計算器，觀察輸出結(jié)果的過程中，給了他將結(jié)果畫在坐標(biāo)圖上的靈感。如果使用現(xiàn)代計算機(jī)，雖然可以一下次產(chǎn)生海量的數(shù)值結(jié)果，但他可能會迷失在數(shù)據(jù)海洋中，而無法找到其中的規(guī)律。

所以，各位聽眾如果想研究些數(shù)學(xué)問題，無需迷信計算機(jī)，不同的問題有不同的研究方法。很多問題也許用紙筆研究更好。而混沌問題又是一個數(shù)學(xué)中神秘而有趣的領(lǐng)域，有無窮的秘密等待人類探索。這期節(jié)目到這里，如果你喜歡大老李的節(jié)目，務(wù)必請訂閱轉(zhuǎn)發(fā)，下期再見！

參考鏈接：

https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

https://hypertextbook.com/chaos/universality/

https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%96%AE%E5%B3%B0%E6%98%A0%E8%B1%A1#cite_note-1

http://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function

https://zhuanlan.zhihu.com/p/68535061

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

https://www.rockefeller.edu/news/26289-mitchell-feigenbaum-physicist-pioneered-chaos-theory-died/

喜馬拉雅：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/

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