第七章 連續(xù)與間斷

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 函數(shù)不連續(xù)的例子：
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   12:57

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2. 連續(xù)：
3. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)：
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   13:12

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4. 與函數(shù)極限的概念對(duì)比，這里是x0的”某鄰域內(nèi)“而不是”去心鄰域“，且鄰域大小不考慮，只要有即可
5. 左連續(xù)，右連續(xù)
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   25:30

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6. 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)：
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   38:20

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7. 區(qū)分以下說(shuō)法：
8. 點(diǎn)在圓上：圓周上
9. 點(diǎn)在圓內(nèi)：圓周以內(nèi)（不包括圓周上）
10. 點(diǎn)在圓中：圓周上+圓周以內(nèi)
11. 點(diǎn)在圓外：圓周以外（不包括圓周上）
12. 定義：
13. 若f(x)在(a,b)內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)：
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    41:39

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14. 為什么開(kāi)區(qū)間可以做到每點(diǎn)連續(xù)，但閉區(qū)間做不到？：因?yàn)殚_(kāi)區(qū)間不包含兩個(gè)端點(diǎn)，可以保證里面的每點(diǎn)都有鄰域（鄰域只強(qiáng)調(diào)存在性，不強(qiáng)調(diào)大?。?/li>
15. 若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，同時(shí)，在x=a處右連續(xù)，x=b處左連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在[a,b]上連續(xù)：
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    46:35

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16. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性：
17. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算：
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    48:20

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18. 四則運(yùn)算：
19. f(x),g(x)在x0處都連續(xù)，那么f+g, f-g, f*g, f/g(g(x0)不等于0)皆在x0處連續(xù)：
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    49:17

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20. 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)
21. 復(fù)合運(yùn)算：
22. 復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)求極限法則：見(jiàn)圖1
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    52:53

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23. 連續(xù)函數(shù)復(fù)合運(yùn)算法則：見(jiàn)圖2
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    01:04:34

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24. 推論：復(fù)合函數(shù)當(dāng)在某一層連續(xù)，在求極限時(shí)，"lim"可往里移動(dòng)
25. 初等函數(shù)連續(xù)性
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    01:17:10

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26. 連續(xù)函數(shù)復(fù)合后仍能保持連續(xù)性
27. 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)
28. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)
29. 間斷點(diǎn)及其分類(lèi)：
30. 定義：
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    01:28:31

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    ，
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    01:38:55

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31. 分類(lèi)：
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    01:39:36

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32. 第一類(lèi)間斷點(diǎn)有兩種，第二類(lèi)間斷點(diǎn)不止兩種
33. x=0不是lnx的間斷點(diǎn)（因?yàn)橹挥杏亦徲?，沒(méi)有左鄰域），是ln|x|的間斷點(diǎn)
34. 判斷：所有的分段函數(shù)都不是初等函數(shù)嗎？錯(cuò)。
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    02:00:NaN

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圖1：

圖2：

二、證明

1. 證明“連續(xù)函數(shù)在進(jìn)行有限次四則運(yùn)算后仍是連續(xù)函數(shù)”：
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   49:36

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2. 證明復(fù)合函數(shù)求極限法則：
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   57:01

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三、計(jì)算

1. 補(bǔ)充定義使函數(shù)連續(xù)：
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   01:43:51

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2. 不要忘記利用連續(xù)這一個(gè)條件：

3.求間斷點(diǎn)并分類(lèi)：

題有誤，是n趨于無(wú)窮