首先需要說的是，這是一道幾何與數(shù)論與小數(shù)計算相結(jié)合的適合4~6年級學生的小學數(shù)學題.

如果要向小學生講這道題，最好先確保TA已經(jīng)完全理解以下2道鋪墊題——

【鋪墊1】

面積為60的長方形，長和寬均為整數(shù)，則長和寬可能是多少？

已知面積反推長和寬，且長和寬均為整數(shù)，我們立刻能夠想到可以對面積進行因數(shù)對分解[1]：

60=60×1=30×2=20×3=15×4=12×5=10×6；

答：這個長方形可能的長和寬有（60,1）（30,2）（20,3）（15,4）（12,5）（10,6）.

【鋪墊2】

面積為600的長方形，長和寬均為整數(shù)，則長和寬可能是多少？

同樣是已知面積反推長和寬，且長和寬均為整數(shù)，所以我們?nèi)匀豢梢杂娩亯|1中的因數(shù)對分解法；

但由于面積600分解出的因數(shù)對較多，僅僅依靠因數(shù)對枚舉費時[2]且缺少驗證手段[3]，所以可以考慮先對600進行質(zhì)因數(shù)分解[4]：

600=2^3×3×5^2；

有了標準形式，我們再使用因數(shù)個數(shù)定理[5]：

d(600)=(3+1)×(1+1)×(2+1)=24；[6]

所以600有24個因數(shù)，理論上存在12個因數(shù)對，我們可以在“600=2^3×3×5^2”的輔助下嘗試枚舉[7]——

600=600×1=300×2=200×3=150×4=120×5=100×6=75×8=60×10=50×12=40×15=30×20=25×24；

我們清點一下以上因數(shù)對，發(fā)現(xiàn)不多不少剛好是12對，于是自信滿滿地寫下答語——

答：這個長方形可能的長和寬有（600,1）（300,2）（200,3）（150,4）（120,5）（100,6）（75,8）（60,10）（50,12）（40,15）（30,20）（25,24）共12組.

【正題】

鋪墊到此結(jié)束，接下來我們回歸正題——

面積為6465.95的長方形，長和寬均為一位小數(shù)，則長和寬可能是多少？

現(xiàn)在我們明白了——數(shù)論是解析整數(shù)的學問，而上題卻出現(xiàn)了小數(shù)，所以讓我們很難想到對其進行質(zhì)因數(shù)分解；

那如何才能將鋪墊題中的知識運用在這道題中呢？

我們可以將有小數(shù)的題進行擴倍改造：

一個長方形的長擴為原來的10倍，寬也擴為原來的10倍，那么面積應該擴為原來的100倍[8]；

于是我們可以將上題等價轉(zhuǎn)化為——

面積為646595的長方形，長和寬均為整數(shù)，則長和寬可能是多少？

646595是一個相當大的數(shù)，我們肯定不愿意一上來就對它進行因數(shù)對分解，而是應該“遇事不決質(zhì)因分解”：

注意到646595末尾為5，所以646595=5×129319；

對129319分別除以2、3、5、7、11、13均不能整除[9]，而129319÷17=7607；

對7607分別除以2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83均不能整除，而7607除以89商85余42，第一次出現(xiàn)商小于除數(shù)，那么我們可以判定7607為質(zhì)數(shù)[10]；

經(jīng)過漫長的計算，我終于得到646595分解質(zhì)因數(shù)的標準形式——

646595=5×17×7607；

接著我們計算646595的因數(shù)個數(shù)——

d(646595)=(1+1)×(1+1)×(1+1)=8；

所以646595有8個因數(shù)，理論上存在4個因數(shù)對，我們可以在“646595=5×17×7607”的輔助下嘗試枚舉——

646595=646595×1=129319×5=38035×17=7607×85；

我們清點一下以上因數(shù)對，發(fā)現(xiàn)不多不少剛好是4對，于是自信滿滿地寫下答語——

且慢！

別忘了我們的正題——

面積為6465.95的長方形，長和寬均為一位小數(shù)，則長和寬可能是多少？

既然我們是長和寬都擴了10倍來做的題，得到以上四組長和寬之后，只需要將它們?nèi)汲?0，就可以得到正題的答案——

答：這個長方形可能的長和寬有（64659.5,0.1）（12931.9,0.5）（3803.5,1.7）（760.7,8.5）共4組.

【參考】

1. ^任何非零自然數(shù)都可以寫出有限對因數(shù)相乘的形式，例如24=1×24=2×12=3×8=4×6.

2. ^因數(shù)對枚舉（N=a×b）通常是將N的其中一個因數(shù)b從1開始依次枚舉，我們將可能的因數(shù)b設為b1,b2,b3,···，當bn為兩位數(shù)時，b(n)與b(n+1)的差距會很大，越到后期，越要枚舉更多次才能找到下一個因數(shù)，所以僅僅依靠因數(shù)對枚舉來找出較大自然數(shù)N的所有因數(shù)對是相當費時的.

3. ^當枚舉的次數(shù)較多時，我們需要一個檢驗的辦法，比方說通過某種算法得出某數(shù)有88個因數(shù)，由于因數(shù)兩兩成對，那么長和寬的組合有44組，接下來再去枚舉，心里就有底了.（此處暫時忽略因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)的情況，事實上，只有平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)才是奇數(shù)，那時會出現(xiàn)正方形，我們暫不討論）

4. ^非零自然數(shù)N可寫成從小到大排列的若干質(zhì)數(shù)的若干次方依次相乘的形式，且該形式稱為分解質(zhì)因數(shù)的標準形式，標準形式是唯一的，例如24分解質(zhì)因數(shù)的標準形式是：24=2^3×3.

5. ^非零自然數(shù)N分解質(zhì)因數(shù)得到唯一的標準形式后，根據(jù)每種質(zhì)因數(shù)的次數(shù)可求出N的因數(shù)個數(shù)，具體算法是“指數(shù)加一再連乘”，例如24=2^3×3^1，24有(3+1)×(1+1)=8個因數(shù)，也可寫為d(24)=8.

6. ^600的質(zhì)因數(shù)有2、3、5三種，它們的指數(shù)分別是3、1、2，特此說明.

7. ^分解質(zhì)因數(shù)的標準形式告訴我們一個非零自然數(shù)有哪幾種“零件”（質(zhì)因數(shù)），以及每種“零件”的個數(shù)（指數(shù)），將不同種類的零件的不同個數(shù)通過乘法“組裝”在一起的過程就是制造其所有因數(shù)的過程.

8. ^舉例：面積為0.48的長方形長是0.8，寬是0.6，若長、寬均變?yōu)樵瓉淼?0倍也就是長為8、寬為6，那么面積就是8×6=48，此時48是原面積0.48的100倍.

9. ^使用整除特征可以快速判斷，具體做法略.

10. ^判定非零自然數(shù)N為質(zhì)數(shù)的方法是：用比N小的質(zhì)數(shù)從小到大依次去除N，直到第一次出現(xiàn)商小于除數(shù)都未曾整除，則判定N為質(zhì)數(shù).（具體原理略）