牛頓384、假設你是拉格朗日，你會這么干…

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拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)是怎么來的呢？——網友提問

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376~383》…

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“需要各位指點一下 謝謝”網友補充說。

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…
空間之刃（發(fā)布于2020-09-20 11:42，8人贊同了該回答）：

假設你是拉格朗日。

你看到羅爾定理：f（a）=f（b）時，ab之間存在一點t，使f'（t）=0。

你說這個定理非常好用，但f（a）=f（b）這個條件太罕見了。想在f（a）≠f（b）時也能用。怎么辦？

于是，你這個拉格朗日就發(fā)威了：

函數(shù)f（a），不管f（a）和f（b）是啥，ab之間存在t，讓f’（t）=k。把k求出來，不就行了。

（“k的幾何意義是和弦AB平行的切線的斜率，由于平行線斜率相等，所以弦AB的斜率也是k?！爆F(xiàn)代學者說。

“羅爾中值定理里，弦AB的斜率為0，即f'（t）=0。拉格朗日中值定理里，弦AB的斜率不為0。”現(xiàn)代學者說。

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…）

怎么求呢？

移項，f'（t）-k=0

這不就是羅爾定理的f'（t）=0的形式嘛。

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

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對f'（t）-g積分就是羅爾定理的原函數(shù)。

…積、分、積分：見《牛頓353~358》…

于是，令F（x）=f（x）-kx [這就是f'（t）-k的積分結果]。再根據羅爾定理的條件，令F（a）=F（b），把k求出來就齊活了。

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F（a）=f（a）-ka

F（b）=f（b）-kb

又因為F（a）=F（b）

所以f（a）-ka=f（b）-kb

解得k=[f（b）-f（a）]/（b-a）

代入就是拉格朗日中值定理。

對于拉格朗日中值定理的證明，北大教材一個版本，清華教材一個版本，同濟教材又一個版本。而這個做法跟那三個都不一樣。仔細一看會發(fā)現(xiàn)一個非常搞笑的事。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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如果正規(guī)解積分的話：

F（x）=∫[f'（x）-k]dx=f（x）-kx+C

…∫：積分符號，為字母s的拉長…見《牛頓338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

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其中C是一個與x無關的任意常數(shù)。

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

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這個C換一個就是北大版的輔助函數(shù)，再換一個就是清華版的，再換一個就是同濟版的。而我為了圖省事，直接讓C=0。

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不止是圖省事。我做的時候是假設我根本不知道拉格朗日中值定理的最終形態(tài)，是一步步做出來的。

而他們那些方法，都是已知最終形態(tài)是什么，湊出過程而已。

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

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這樣做當然能把C湊出花來了。

可惡的是，這些家伙都不說實話，而是給這些東西賦予非常復雜的幾何意義，把人說得云里霧里不知所云。

…復、雜、復雜：見《歐幾里得133》…

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評論:
rlgl（2020-10-27）：

！?。]錯??！我自己寫完就是個輔助函數(shù)g（x）=f（x）-kx（k就是那個ab斜率，簡寫下），結果一看書就懵b了，還以為我少搞了個啥條件。

看了半天感覺自己沒得錯啊，就來百度了。

李子（編輯于2018-04-12 07:33）：

我覺得同濟七的說明、感覺像是知道定理然后去湊的一樣。。。

就是感覺像湊的一樣。。

為啥我發(fā)不了圖。。

“我們知道函數(shù)的微分dy=f’（x）△x是函數(shù)的增量Δy的近似表達式，一般情況下只有當|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；

而有限增量公式卻給出了當自變量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很?。r，函數(shù)增量Δy的精確表達式，這就是該公式的價值所在。

請看下集《牛頓385、拉格朗日中值公式給出了函數(shù)增量Δy的精確表達式》”

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