一個(gè)學(xué)科學(xué)了一年會(huì)有什么變化。 從陌生到初識(shí)，再慢慢熟悉，再不經(jīng)意間已經(jīng)著迷，再最終決定將余生與之作伴，這是我與概率這一年里的故事。 我希望此刻流淌而出的文字在將來某一刻會(huì)成為激勵(lì)自己的源泉，我希望未來的自己再看到這里時(shí)能夠回想起一段造就他的歲月，無論他此刻如何，希望他能堅(jiān)持自己。 去年九月，也就是大二上，我開始接觸概率論這門課，在此之前我對(duì)它的了解可能僅僅停留在高考那點(diǎn)內(nèi)容。所以一開始我并沒太把這門學(xué)科放在心上，心里只有抽代與提前選了的實(shí)變，但上了幾節(jié)課之后，我突然發(fā)現(xiàn)，實(shí)變與概率論前期授課內(nèi)容存在高度重合，比如都會(huì)講測(cè)度和sigma代數(shù)或者不可測(cè)集的構(gòu)造什么的，很多時(shí)候上節(jié)課概率論老師剛講的東西下一節(jié)課實(shí)變老師就講了，很多概率老師為了趕進(jìn)度霍霍過去的內(nèi)容我在實(shí)變里面學(xué)到了。當(dāng)然最主要的是實(shí)變老師本人對(duì)概率論有著非常濃厚的興趣，會(huì)給我們補(bǔ)充很多概率的內(nèi)容，同時(shí)概率論老師也講得很好，所以在兩個(gè)老師的熏陶下我打下了比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 在后來進(jìn)入狀態(tài)之后我概率論的進(jìn)度也開始補(bǔ)了上來，一部分原因是實(shí)變的積分理論自學(xué)完讓我覺得基本的基礎(chǔ)夠了，另一部分原因是我抽代已經(jīng)放棄掉了。概率論提上自學(xué)進(jìn)程之后我攻克的第一個(gè)難關(guān)就是中心極限定理，我的目標(biāo)是領(lǐng)會(huì)林德貝格的充要條件，這時(shí)我需要做非常多準(zhǔn)備。除了關(guān)于特征函數(shù)的一些性質(zhì)，還有一些估值方法以及收斂的問題。啟發(fā)我理解這個(gè)定理的，除了教材作者李賢平的精心安排，還有另外兩本書，我從普林斯頓概率論讀本上領(lǐng)會(huì)了第一個(gè)版本的中心極限定理的證明思路以及了解到了要注意些什么問題。除此之外，我看到費(fèi)勒的書一個(gè)關(guān)于增點(diǎn)的定理，從啟發(fā)我從直觀的角度去理解卷積。這樣帶來的直觀使我在此后對(duì)于定理的理解中幾乎沒了困難，同時(shí)也影響了我直到今天以來的學(xué)習(xí)與思考的方式。 后來慢慢發(fā)現(xiàn)，像中心極限定理這種從現(xiàn)實(shí)的需求中來，在抽象的數(shù)學(xué)中又能有直觀的體會(huì)的數(shù)學(xué)，便是概率這門學(xué)科最大的特色。我突然發(fā)現(xiàn)這門學(xué)科有著一種非常吸引我的魅力，它仿佛講數(shù)學(xué)與我的生活交融為一體。我開始對(duì)它著迷了。 在這個(gè)學(xué)期接下來的日子里，我實(shí)變方面繼續(xù)學(xué)了微分理論，學(xué)了一些Lp空間的理論以及它們的表示定理，概率方面學(xué)了各種大數(shù)定律，重對(duì)數(shù)律，雖然這兩個(gè)當(dāng)時(shí)證明看懂了，但直到前幾個(gè)月我才覺得自己真正學(xué)會(huì)了。 后來疫情了，提前回家，我?guī)Я薘oyden的實(shí)分析，林正炎的概率不等式，陳希孺的數(shù)理統(tǒng)計(jì)。陳希孺那本書沒時(shí)間看，其實(shí)也不是沒時(shí)間，主要是臨時(shí)改了主意，因?yàn)槲覜Q定提前選隨機(jī)過程那門課，所以想提前預(yù)習(xí)一下。概率不等式算是看了一大半，學(xué)了不少技巧，Royden那本書第三部分的抽象測(cè)度論也學(xué)了，書最后講到了Haar測(cè)度和概率泛函的不動(dòng)點(diǎn)定理，算是結(jié)了個(gè)不錯(cuò)的尾。然后回校前剩下的時(shí)間我選擇了讀一本隨機(jī)過程基礎(chǔ)，這本書講的是應(yīng)用隨機(jī)過程，里面豐富的例子以及金融上的應(yīng)用給我第二個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)隨機(jī)過程時(shí)帶來了非常深刻的影響。一方面就是我確實(shí)就去選了金融數(shù)學(xué)那門課，那門課給我學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)的工具非常多的應(yīng)用機(jī)會(huì)，另一方面就是隨機(jī)過程的教學(xué)直接從最抽象的理論出發(fā)，后來才知道老師教的內(nèi)容幾乎直接涵蓋了兩門研究生課程的量，而我前期積攢的大量例子使得我在學(xué)習(xí)的時(shí)候并不完全陌生，反而是感覺非常親切，同時(shí)也感到驚喜。老師幾乎兩三次課就把我假期學(xué)了快10天的東西覆蓋完了，而我一開始以為能夠輕松應(yīng)對(duì)的事情也變得非常富有挑戰(zhàn)，后來學(xué)完之后，發(fā)現(xiàn)前方的路已然無比廣闊。 我必須承認(rèn)隨機(jī)過程這門課是目前為止對(duì)我影響最大的，可能在這四年便是如此。老師八十多頁(yè)的講義，每一個(gè)字現(xiàn)在看來仍值得欣賞，從剛開始需要課下話四五倍的時(shí)間勉強(qiáng)消化，到后來具備了自學(xué)能力能夠在課堂上就跟上與做出思考。從離散的馬氏鏈到一般的馬氏過程，從鞅到隨機(jī)積分再到隨機(jī)方程，我感覺每節(jié)課都能收獲到知識(shí)。 在我逐漸理解這門課的知識(shí)之后我開始有一些問題去問老師，最開始是在QQ上問，偶爾線下問。有一次上完課在教室外面遇見了，他問起我是哪個(gè)年級(jí)的，同時(shí)也了解了我的一些學(xué)習(xí)狀況，我就是在那時(shí)第一次說了那句“以后想做概率方面的研究”。后來我的學(xué)習(xí)中受到這位老師非常多的指導(dǎo)，我也從他身上學(xué)到了很多。當(dāng)他給我介紹完kpz方程相關(guān)的理論并引我入門之后，我突然發(fā)現(xiàn)概率的今天與未來發(fā)展會(huì)是那么光明與值得期待。 從對(duì)概率與測(cè)度一無所知，到學(xué)了實(shí)變概率論測(cè)度論數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)過程分形幾何平穩(wěn)過程，一年前的自己絕對(duì)不可能想象到自己能在一年后的丘賽拿獎(jiǎng)，還是在概統(tǒng)賽道?；仡^一看才發(fā)現(xiàn)一年時(shí)間真的改變了很多，我希望下一個(gè)一年也可以繼續(xù)堅(jiān)持。 接下來首先是先得浪費(fèi)一個(gè)月把當(dāng)時(shí)不懂事的債給還了，所以這個(gè)第一年就算提前到這了吧。然后新的一學(xué)年里補(bǔ)好分析基礎(chǔ)并入門spde和有向聚合物模型。 9月，再續(xù)下一個(gè)一年。