在講FFT的時(shí)候，我意識(shí)到同學(xué)還是要掌握一點(diǎn)點(diǎn)線性代數(shù)的知識(shí)為好。
從哪兒開(kāi)始講起呢？
首先，從映射講起
設(shè) U , V 是兩個(gè)非空集合，對(duì)于 U 中的每一個(gè)元素 u \in U, 按照某個(gè)規(guī)則在V中
都有唯一的 元素 v \in V 與 u 相對(duì)應(yīng), 那么這就定義了一個(gè)映射 T, 記作
T: U -> V
?? u |-> v
U稱為為映射T 的定義域(domain)， V 稱為映射T的陪域(codomain),
映射的值構(gòu)成的全體稱為值域(range), T 的值域就是面的集合
{ v \in V : 存在 u \in U 使得 v = T(u)}
Range(T) 是 Codomain(T)的的子集，如果二者相等，則稱T是滿射(surjection),
另外， 如果 u_1 和 u_2 不等 就能推出 T(u_1) 和 T(u_2)不等，那么稱T是單射(injection).
如果T就是單射又是滿射，那么稱T是雙射(bijection).

我們?cè)诟咧泻透邤?shù)里會(huì)學(xué)到很多函數(shù)，如 y = sin(x), y = x^2 等等，這些函數(shù)實(shí)際上是一類
特殊的映射，他們的定義域和陪域恰好是數(shù)域的子集。如果大家暫時(shí)不想了解更多數(shù)域的定義，那么只要知道 實(shí)數(shù)集 和 復(fù)數(shù)集 都是數(shù)域就可以了， 因此實(shí)數(shù)集可以稱為實(shí)數(shù)域，
復(fù)數(shù)集可以稱為復(fù)數(shù)域。 具體來(lái)說(shuō)，在丘維聲的《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》中給出了數(shù)域的定義：
設(shè)集合 F 是復(fù)數(shù)集的一個(gè)子集，且滿足 0, 1 都在集合F中，并且對(duì)加減乘除封閉，那么稱
這個(gè)集合是一個(gè)數(shù)域。 按照這個(gè)定義整數(shù)集不是數(shù)域，因?yàn)?2 和 3 做除法的結(jié)果不再整數(shù)
集合中，也就是說(shuō)整數(shù)集對(duì)除法不封閉。

我們以 y = x^2 為例，這里沒(méi)有明確給出定義域和陪域，因此實(shí)際上定義是不完整的，我們
只能按照某種慣例來(lái)補(bǔ)充一下，因?yàn)?y = x^2 僅僅給出映射的規(guī)則。 我們可以明確一種，
如果
T : R -> R
??? x |-> x^2
這樣這個(gè)函數(shù)的定義域是 R, 陪域是R. 顯然這個(gè)映射不是滿射, 也不是單射。

我們學(xué)習(xí)了很多函數(shù)，如對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)， 這些函數(shù)的映射
法則都是比較復(fù)雜的，但是定義域和陪域都是很簡(jiǎn)單的，都是實(shí)數(shù)域或者復(fù)數(shù)域的子集。
而線性代數(shù)則是要研究一類特殊的映射，它的映射規(guī)則比較簡(jiǎn)單，但是定義域和陪域則
要更加復(fù)雜。
這里說(shuō)的映射規(guī)則比較簡(jiǎn)單，具體來(lái)說(shuō)我們研究的映射是線性映射， 要是定義域是實(shí)數(shù)域的
話，那么定義域是實(shí)數(shù)域的線性映射實(shí)際就是下面的線性函數(shù)
?T : R -> R
???? x |-> kx
其中 k \in R 是一個(gè)常數(shù).
我們可以用北太天元畫出多個(gè)這樣的函數(shù)（讓k取不同的值則得到不同的線性函數(shù))，
北太天元的代碼是
k = 1;
x =-5:0.1:5;
y = k*x;
plot(x, y, 'r-*', 'LineWidth', 5);
title( [ 'y = ', num2str(k), 'x 的函數(shù)圖像'])

這樣的線性函數(shù)，我們看到了這樣的函數(shù)圖像是一個(gè)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線, 這樣的函數(shù)有什么
性質(zhì)呢?
T(x) = k*x
具有如下的性質(zhì)
對(duì)于任意的 u, v 屬于T的定義域, 對(duì)于任意的常數(shù) c, 我們有
1. T( u+v) = T(u) + T(v)
2. T( cu ) = c T(u) ,

第一條，我們稱為加性(addivitity)，也就是說(shuō) 加法+ 和映射T 是可交換的,
第二條，我們稱為齊次性(homogeneity of degree 1), 也就是說(shuō) 數(shù)乘 和 映射 T 是可交換的。
這兩條加起來(lái)就是線性(linearity).
我們就用不再用說(shuō)函數(shù)的圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的直線來(lái)描述線性函數(shù)，而是用這兩條性質(zhì)來(lái)定義
線性函數(shù)， 滿足這兩條的函數(shù)就是線性函數(shù)，滿足這兩條的映射就是線性映射。

對(duì)于 T : R->R 的線性函數(shù)，我們從它滿足兩條性質(zhì)就可以很容易推到出它經(jīng)過(guò)原點(diǎn),
另外，我們?cè)O(shè) k = T(1), 那么 T(x) = T(x*1) = x T(1) = kx, 也就是說(shuō)，我們只要知道
T在1處的值，就可以知道T在任意的x\in R的值.

線性函數(shù)的映射規(guī)則太簡(jiǎn)單了，我們可以可以考慮更加復(fù)雜的定義域和陪域。
我們先舉一個(gè)比較復(fù)雜的定義域
U = P_1 = {? a_0 + a_1 x :? a_0 , a_1 \in R}
這是一個(gè)次數(shù)小于或者等于1次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式集合，我們可以定義一個(gè)映射， 例如，
這個(gè)映射是 求導(dǎo) T:
T : U???????? ->?? U
??? a_0+a_1 x |-> a_1
這里的定義域是 P_1, 陪域也是 P_1, 可以看到這不是一個(gè)滿射, 也不是一個(gè)單射。
這個(gè)映射是一個(gè)線性映射，因?yàn)槲覀兛梢则?yàn)證它滿足 additivity 和 homogeneity of degree 1
如
任意 u = a_0 + a_1 x \in U, v = b_0 + b_1 x \in U, c \in R
顯然 u+v = (a_0+b_0) + (a_1+b_1) x, c u = c*a_0 + c*a_1 x
T(u+v) = a_1+b_1 = T(a_0+a_1 x) + T(b_0+b_1 x)
T(c*u ) = c*a_1? = c* T(u)
在這里，我們并沒(méi)有擔(dān)心 u+v 是不是仍然屬于 T 的定義域 U , c*u 是不是屬于T的定義域 U,
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，顯然 U 關(guān)于 加法 和 數(shù)量乘法(數(shù)乘) 是封閉的，也就是U是滿足
1. 任給 u\in U, v \in U 可以推出 u+v \in U,
2. 任給 c \in R, u \in U 可以推出 c u \in U.
但是對(duì)于一般的集合，我們可能不能保證這一點(diǎn), 總之為了使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們可以要求
上面的兩條總是滿足的，而且為了我們獲得更多的運(yùn)算的便利性，我們可以定義
線性空間（又稱為向量空間) 以及向量。

什么叫線性空間呢？ 按照丘維聲的《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》的定義有半頁(yè)多，大家暫時(shí)不用全部記住
也可以，總之，我們舉了幾個(gè)例子，大家有一個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)。 我們?cè)诟咧械臅r(shí)候?qū)W習(xí)的
向量空間(vector space) 定義成了向量的集合， 而向量定義成了既有大小又有方向的物理量，
還把某些向量和 R^2, R^3 建立起了一一對(duì)應(yīng)， 這些仍然還是正確的。 但是為了進(jìn)一步的推廣，
大學(xué)的線性代數(shù)的課采用了不一樣的講法， 首先定義的向量空間或者說(shuō)是線性空間(linear space),
向量空間和線性空間完全是同義詞，向量空間是具有某種性質(zhì)的一個(gè)集合， 然后再定義線性空間
的元素是向量。

線性空間定義成什么樣的集合呢？首先要定義集合里的兩個(gè)元素的加法，然后還要定義集合里的
元素和一個(gè)數(shù)相乘， 這里說(shuō)的數(shù)就是屬于某個(gè)數(shù)域的元素。 因此線性空間的定義是說(shuō)，設(shè)V
是一個(gè)非空的集合，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域，定義加法+: VxV-> V 和數(shù)乘 . : F x V -> V 并且滿足
一系列的性質(zhì)，如加法滿足交換律和結(jié)合律 等等， 那么就(V,F)是一個(gè)線性空間。

我們前面提到的多項(xiàng)式 P_1={a_0 + a_1 *x : a_0, a_1 \in R} 再配上數(shù)域F=R, 加法就是
普通的兩個(gè)多項(xiàng)式相加，數(shù)乘也是普通的一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)多項(xiàng)式， 那么我們實(shí)際上就是得到了一個(gè)
線性空間。
在 P_1 中有一個(gè)特殊的元素（或者特殊的向量，因?yàn)镻_1是一個(gè)線性空間，而線性空間的元素
就是向量) 稱為 零向量，記作 0, 它就是 零多項(xiàng)式， 它的特點(diǎn)是，它與 P_1中的任意元素的
和都是0。

下面再談?wù)?基(basis)，維數(shù)(dimension)， 線性組合(linear combination),

我們首先講講線性組合，對(duì)于一個(gè)向量空間(V,F)而言，設(shè) v_1, ..., v_n 是 V 中的向量
，c_1, ..., c_n 是數(shù)域F 中的數(shù)，那么 c_1 V_1 + ... + c_n V_n 是 V_1, ..., V_n
的一個(gè)線性組合, c_1, ..., c_n 稱為線性組合的系數(shù)。

基的概念，我們還是從多項(xiàng)式講起 P_1 = {a_0 + a_1 x : a_0 , a_0 \n R} 是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的
線性空間，我們可以看到?? 1, x 這兩個(gè)多項(xiàng)式還是挺特殊的， 任意的P_1中的一個(gè)向量
可以表示成 這兩個(gè)向量的一個(gè)線性組合? a_0 * 1 + a_1 * x , 而且這種表示還具有唯一性，
也就是說(shuō)，不同的多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)不同的系數(shù)。另外，我們剛才說(shuō)的任意P_1中的一個(gè)向量
都可以由 1, x 的線性組合來(lái)表示，這被稱為完備性，也就是說(shuō) 1 和x 可以表示 P_1中的
所有向量。 這么特殊的1 和 x 組成的向量組 即具有對(duì)P_1的線性表示的完備性又具有線性
表示的唯一性，那么就可以給予這個(gè)向量組一個(gè)特殊的名字，稱為P_1這個(gè)向量空間的基。

然后，我們?cè)僬務(wù)剰囊粋€(gè)線性空間U到一個(gè)線性空間V的映射， 映射的矩陣,
然后談到逆映射， 逆映射的矩陣， 逆矩陣， 單位矩陣. ?